Логика высказываний

 

Имеет место и обратное утверждение о том, что каждая тавтология доказуема, т.е. для всякой формулы А, если ╞А, то ├А.

Доказательство этой теоремы не столь тривиально и носит название теоремы о полноте (дедуктивной) исчисления высказываний относительно предложенной семантики. По существу здесь утверждается, что логических средств, т.е. аксиом и правил вывода исчисления высказываний С₂ вполне достаточно для доказательства всех тавтологий. Таким образом, главная цель достигнута: используя минимальные средства, можно обозреть всё множество тавтологий.

Как уже говорилось, первая аксиоматизация классической логики С₂ была предпринята Г.Фреге. Однако в терминах современного символического языка аксиоматизация С₂ появилась у А.Уайтхеда и Б.Рассела. В обеих работах вопрос о полноте просто не возникал. Их целью было показать, что вся логика, а в действительности вся математика, может быть развита внутри их системы, основанной на классической логике. Первая публикация доказательства полноты принадлежит Посту, который исходил из системы Уайтхеда и Рассела. Для доказательства теоремы адекватности Пост использовал двузначные истинностные таблицы (приведенные выше).

 

 

2.5. Алгебраизация

Обратим внимание на то, что некоторые эквивалентности логики высказываний выражают основные свойства пропозициональных связок. Например, эквивалентности (А٧В)↔(В٧А) и (А^В)↔(В^А) выражают коммутативный закон связок конъюнкции и дизъюнкции. Это позволяет представить логику высказываний в виде своеобразной алгебраической структуры.

Непустое множество  Ł с двумя бинарными операциями ٧ и ^ называется решеткой, если Ł удовлетворяет следующим тождествам:

I. (а) х٧х = х

    (б) х^х = х                                          (идемпотентность)

II. (а) x٧y = y٧x

    (б) х^у = у^х                                      (коммутативность)

III.(а) х٧(у٧z) = (х٧у) ٧z

     (б) х^(у^z) = (х^у) ^z                       (ассоциативность)

IV. (а) х٧(х^у) = х

      (б) х^(х٧у) = х                                          (поглощение)

Решетка Ł называется дистрибутивной, если выполняются законы дистрибутивности:

V. (а) х٧(у^z) = (х٧у)^(х٧z)

     (б) х^(у٧z) = (х^у )٧(x^z).

Дистрибутивные решетки лежат в основе большинства хорошо известных многозначных логик.

Дистрибутивная решетка Ł называется решеткой де Моргана, если для одноместного оператора ~ (инволюция) выполняются тождества

VI.    ~ ~х=х

VII.   ~ (х٧у) =~х^~у

VIII. ~ (х^у) =~х٧~у.

Решётка Ł с двумя нульарными операциями 0 и 1 называется ограниченной:

IХ. (а) х٧0=х

      (б) х^1 = х.

Х. (а) х٧1 = 1

      (б) х^0=0.

Ограниченные решётки обычно называются алгебрами. Соответственно ограниченная дистрибутивная решетка < Ł, ٧,^,~,0,1> с отрицанием де Моргана (тождества (VI) - (VIII)) называется алгеброй де Моргана. Алгебра де Моргана, в которой операция ~ выполняет условие

(К). х^~х≤у٧~у    для всех х,у € Ł,

называется алгеброй Клини .

 Характеристическое тождество, превращающее алгебру де Моргана в алгебру Клини:

(К’).(х^~х) ٧(у٧~у)=у٧~у.

В ограниченной решетке  Ł элемент у называется дополнением  х, если х^у=0 и х٧у = 1 В этом случае элемент у обозначают ~х. Булевой алгеброй называется дистрибутивная решетка с дополнениями. Имеется большое число различных (эквивалентных) систем тождеств, определяющих класс булевых алгебр.

Например, алгебра В =< Ł, ٧,^, ~, 0, 1> называется булевой алгеброй, если <Ł, ٧,^ , 0, 1> есть ограниченная дистрибутивная решетка и выполняются следующие два тождества:

(B1). x٧~х=1

(В2). х^~х=0.

Понятно, что булева алгебра является также алгеброй дe Моргана и Клини, поскольку все условия для последних выполняются в булевой алгебре.

Классическим и одним из наиболее важных результатов в теории булевых алгебр стала теорема представления Стоуна: каждая булева алгебра изоморфна алгебре множеств.

Другая теорема представления утверждает: каждая булева алгебра изоморфна подалгебре прямого произведения двухэлементной булевой алгебры В₂; или в другой формулировке: каждая булева алгебра изоморфна подпрямому произведению двухэлементной булевой алгебры В₂ 

Таким образом, благодаря теоремам представления абстрактные элементы булевых алгебр приобретают конкретный смысл.

 

Легко видеть, что между  эквивалентностями классической логики высказываний С₂ и тождествами булевой алгебры существует соответствие. Например, между формулой (А٧В)↔(А٧В) и первым тождеством в (II). Более того, ├А в С₂, т.т.т., когда А*=1 в Ł* где А* есть аналог А на языке алгебры Ł*. Таким образом, возникают средства для алгебраического доказательства дедуктивной полноты логических исчислений.

Алгебры Буля, явившись результатом  исследований Г.Буля в области законов  правильных рассуждений, нашли самое широкое применение в логико-математических исследованиях, в области инженерии контактно-релейных схем, компьютерных наук, аксиоматической теории множеств, теории моделей, и в других областях науки и математики.

 

 

§3.Парадоксы  классической импликации            

Итак, рассмотрим понятие  импликация употребляемое в классической логике. Импликация (от латинского implicatio — тесно связываю ) — логическая операция, связывающая два высказывания в сложное с помощью логической связки, которой в обычной речи в значительной мере соответствует союз «если…,то…». Если А, то В. Здесь А и В — некоторые высказывания.

Символически изображается:    А→В.

 Первый член выражения (А) называется антецедентом (от латинского — предыдущий), основанием импликации, а второй (В) — консеквентом (от лат.— последующий), следствием импликации.

Для того чтобы лучше  уяснить для себя, что же такое импликация и лучше понять существо импликации мы должны выяснить различия между условным суждением и понятием импликация в классической логике.

В условном суждении в  основании высказывается условие, при соблюдении которого, будет истинным следствие. Связь между основанием и следствием в таком суждении подчиняется следующим 4-м правилам:

1) если истинно основание,  то истинно и следствие.

2) если ложно основание,  то нельзя сделать вывода о  ложности следствия.

3) если истинно следствие, то нельзя сделать вывода об истинности основания.

3) если ложно следствие,  то ложно и основание.

 

Рассмотрим пример условного  суждения:

 «Если в бензобаке автобуса закончится горючее, то автобус остановится»

Предположим что основание  истинно, т.е. в бензобаке закончилось горючее, значит истинно и следствие — автобус остановился. Пусть основание ложно (в бензобаке автобуса ещё есть горючее), тогда мы не можем сказать, едет автобус или стоит. Если истинно следствие (автобус стоит), то мы не знаем наверняка, что  в бензобаке закончилось горючее. Если же мы знаем, что автобус не остановился, тогда мы знаем, что в бензобаке ещё есть горючее.

На основании анализа  данного примера можно составить  таблицу, которая характеризует  связь между основанием и следствием условного суждения, по отношению к их истинности или ложности:

 

Основание	следствие
И Л И(?) Л	И Л(?) И Л

 

Здесь буква И означает истинность высказывания, Л — ложность. Стрелка показывает связь между двумя высказываниями. От какого высказывания идут рассуждения показывает            .

 Такого условное  суждение. В классической же логике  импликация упрощает смысл фразы  «если…,то…». Импликация рассматривается  как осмысленное высказывание  и в том случае если не существует никакой содержательной связи (например: связи причины и действия, временной последовательности и т.д.) между антецедентом и консеквентом.

Истинность или ложность импликации в классической логике зависит исключительно от истинности или ложности консеквента и антецедента, не зависимо от связи их по смыслу. Поэтому в классической логике принято считать импликацию ложной только в том случае, когда антецедент истинен, а консеквент ложен. Поэтому таблица истинности имеет вид:

А	В	А→В
1 1 0 0	1 0 1 0	1 0 1 1

 Импликация в классической логике по содержанию является самым широким понятием логического следования.

Острой критике классическая логика, как возможность описания логического следования, подверглась  за то, что она не даёт корректного  описания логического следования. Конечно  же, она удовлетворяет основному требованию: вести от истины только к истине. Но многие положения о следовании плохо согласуются с нашим привычным представлением о нём.

В частности, классическая логика говорит, что из противоречия логически следует всё что угодно. Например, из противоречивого суждения «Сыктывкар-столица республики Коми и Сыктывкар-столица Российской Федерации» следует наряду с любыми другими утверждениями: «Математика-царица наук», «У львов длинные шеи» и т.д. Но между исходным утверждением и этими вытекающими из него нет никакой содержательной связи по смыслу.

Точно также обстоит  дело и с классическим положением о том, что логически истинные высказывания вытекают из любых утверждений. Наш мозг отказывается принять как  истинное, что например, утверждение «Зимой холодно или зимой не холодно», которое является логически истинным, можно вывести из утверждений типа «2*2=4», или «Летом вся земля покрыта снегом».

Согласно определению  классической импликации, истинными  должны считаться утверждения типа: «Если Луна обитаема, то 2*2=4», «Если Земля – куб, то Солнце – треугольник» и в том же духе. Очевидно, что классическая импликация полезна для многих целей логики, она всё-таки плохо согласуется с обычным пониманием условной связи.

Эта импликация плохо  выполняет функцию обоснования. Вряд ли являются в каком-либо разумном смысле обоснованными такие утверждения как: «Если Архимед умер, то законы Ньютона открыты не им», «Если медь – коренной житель Корсики, то она электропроводна».

Трудно согласиться  с тем, что, поставив перед истинным высказыванием произвольное утверждение, мы тем самым обосновали его. Классическая же логика говорит: истинное утверждение может быть обосновано с помощью любого утверждения.

Трудно отнести к  обоснованным такие истинные классические импликации, как: «Если 2*2=5, то Луна обитаема», «Если 5*5=40, то у жирафов длинные шеи» и т.п. Однако классическая логика утверждает: с помощью ложного утверждения можно обосновать всё что угодно.

Эти и подобные им положения, отстаиваемые классической логикой, получили название парадоксов классической импликации. Они не согласуются с привычным представлением о выводе одних утверждений с помощью других.

Следует особо отметить, что здесь  идёт не о парадоксальности классической логики, а о несоответствии, приведённой системы классической импликации, некоторому интуитивному (привычному, сложившемуся независимо от классической логики и до неё) пониманию логического следования.

Так как классическая логика синтаксически  полна и класс тавтологий с  классической импликацией максимально широк, то естественно намечается путь, по которому надо идти в поисках логической системы, которая адекватна понятию «логическое следование»: мы должны сужать классическую логику.

 

 

§4 Способы решения парадоксов

За многие годы существования  логики было предложено очень много  путей решения парадоксов. Рассмотрим некоторые из них.

4.1. Строгая импликация Льюиса

Первым кто указал на то, что классическая логика не может быть признана удачным описанием логического следования, был американский логик Кларенс Ирвинг Льюис (1883-1964) в работе «Simbolik Logik» написанной им совместно с К. Лэнгфордом в 1932 году. Тогда логика находилась на подъёме, она казалась безупречной, и критика Льюиса в её адрес не была воспринята всерьёз. Его даже обвинили в непонимании существа дела. Но он продолжал заниматься этой проблемой и предложил новую теорию логического следования, в которой импликация (классическая) замещалась другим условным суждением – строгой импликацией.

Тот факт что А строго имплицирует  В, обозначается символом А< В. Строгая  импликация определяется с помощью  модального понятия «возможно», которое  принимается как первичное и тогда