Логика высказываний

Идея максимальности L₃ была высказана В. И. Шестаковым. Он  показал, что класс функций, соответствующий L₃, является предполным в Р₃.

Наука новейшего времени, сохраняя глубину фундаментальных принципов, теорий и концепций прошлых периодов своей истории, достигала изощрённых технически и технологически методов и средств получения результатов. Если прибегнуть к метафорическому выражению этой мысли, то можно сказать, что поиск “полезных ископаемых” (новых знаний) происходит в шахтах большой глубины с помощью автоматизированных средств.

В последние годы интерес к исследованию логик Я. Лукасевича не только не убавился но материализовался в двух фундаментальных трудах — Петра Гаека о метаматематических основаниях нечеткой логики и П.Л.О.Чиньоли, Дж.М.Л.Оттавиано и Д.Мундичи об алгебраических основаниях многозначных рассуждений. В каждой из этих книг, рассматриваются логики Я. Лукасевича, что свидетельствует о значительном прогрессе в этом направлении логических исследований.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение

I. Актуализация

Наука «логика» - это особый самобытный мир со своими законами, идеализациями, традициями, спорами и так далее. То о чём она говорит знакомо и близко каждому. Но войти в её мир, почувствовать её внутреннюю согласованность и динамику, проникнуться её своеобразным духом не просто.

Логика является наукой о законах правильного мышления, о требованиях, предъявляемых к  последовательному и доказательному рассуждению. Логические понятия - такие  как определение, классификация, доказательство, рассуждение, опровержение, обобщение и тому подобное применяются каждым человеком в мыслительной деятельности. Но многие делают это неосознанно и нередко с погрешностями, без отчётливого представления обо всей глубине и сложности тех мыслительных действий, с которыми связан каждый, даже самый элементарный акт мышления.

Делая выводы из принципов  и аксиом, доказывая теоремы, учащиеся часто не имеют представления  о сущности доказательства и опровержения, об их видах и т.п.

Также если в качестве одной из главных задач обучения ставить задачу развития и приобретения свойств и качеств личности, необходимых для исследовательской и творческой деятельности, то основной задачей в обучении можно считать задачу формирования и развития умения мыслить по аналогии, умения обобщать, умения анализировать, наблюдать и делать выводы. А для того чтобы правильно реализовать данные логические понятия недостаточно простого логически последовательного мышления. В процессе решения возникающих в жизни проблем важным оказывается, как правило, всё: и последовательность, и интуиция, и эмоции и многое другое. Эффективная тренировка мышления должна способствовать совершенствованию этих сторон.

Понимание принципов  мыслительной деятельности - без сомнения, одно из самых ценных знаний человека. Оно делает ум максимально точным и ювелирно тонким в своём анализе, беспощадным к любой фальши и нелогичности, неизменно последовательным в своих выводах. Всё это, так или иначе, сказывается на всех сторонах и теоретического, и практического приложения математики.

Размышление над основными принципами и операциями мышления способствует развитию и совершенствованию не только собственно логических, но и других мыслительных навыков.

Пожалуй, самым главным  при обучении логике является не столько  знакомство с «инструментарием»  логики, её моделированием, сколько рассмотрение ошибок, парадоксов, которые встречаются в обыденной жизни. Именно этому и посвящен разработанный мною факультативный курс.

В жизни человека очень  часто встречаются парадоксы, решение  которых в большинстве своём  требует моделирования мышления. Но здесь также очень часто возникают парадоксы, связанные с самой моделью. Получается тем самым замкнутый круг, который состоит в невозможности описания такого сложного процесса как мышление.

Многие учащиеся при  решении задач очень часто используют некоторые свойства, но при этом не имеют понятия, какие связи существуют между ними. Во многих доказательствах делают ошибки или заводят сами себя в парадоксальные ситуации и не понимая, что пришли к противоречащим фактам продолжают применять другие свойства и тем самым могут «доказать», что например, все числа равны между собой, 1=3 и т.д.

При поиске причин возникновения  парадоксов и софизмов развиваются  такие логические мыслительные процессы как определение, классификация, доказательство, и тому подобное.

Причинами возникновения  софизмов и парадоксов могут быть как ошибки в восприятии окружающего  мира, ошибки в интуитивном видении  окружающего мира, а также особенности  языка, на котором описывается исследуемый  объект. Именно нахождению таких ошибок и посвящается данная работа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Содержание факультативного курса.

 

Таблица: Тематическое планирование.

 

№	тема	Основная цель
1	Необходимость доказательств.	Показать несостоятельность доказательства проблемной ситуации по одному основанию
2	«Инструменты»   логики. Высказывания      и      их сочетание.	Познакомить учащихся с «инструментарием»  логики: операциями отрицания, дизъюнкции, конъюнкции, импликации, эквиваленции
3	Законы                  логики. Тавталогии.	Познакомить с основными законами классической логики. Дать понятие  тавталогии.
4	Традиционные логические софизмы.	Показать возможности логики по анализу доказательств утверждений, не имеющих место на самом деле; рассказать об известных софизмах
5	Математические софизмы.	Научить выявлять ошибки в рассуждениях, доказательствах
6	Парадоксы.	Дать понятие парадокса, рассказать о парадоксальности некоторых известных  высказываний. Преподнести парадокс как проблемную ситуацию требующую  решения.
7	Парадоксы (продолжение)
8	Парадоксы классической импликации.      Попытки  создания                  новых логических теорий.	Показать парадоксальность формул классической импликации, несоответствие между классической импликацией  и интуитивным представлением логического следования. Показать возможности дальнейшего развития импликации, в общем, и, в частности, строгую импликацию
9	Парадоксы           строгой импликации	Показать развитие научного (математического) обоснования следования. Показать, что при создании новых систем необходимо рассматривать и новые парадоксальные формулы, возможно возникающие.
10	Релевантная импликация	Ознакомить с понятием релевантная  импликация

 

Содержание  занятий.

 

Занятие №1.

Необходимо проведение беседы о необходимости доказательств; приведение примеров (оптические иллюзии), позволяющих говорить о несостоятельности опоры на чувственное восприятие при доказательстве; приведение примера внешне правильного доказательства, доказывающего нелепое утверждение. Беседа о необходимости учёта не только чувственного восприятия объекта исследования, не только интуитивных представлений, не только математической модели, но и их объединения, совокупности многих факторов, влияющих на объект исследования.

Занятие №2.

Беседа о необходимости  моделирования мышления. Логические основы мышления. Задание основных логических операций. Истинность и ложность высказываний. Задания на закрепление.

Занятие №3.

Логическая равносильность. Определение логического закона. Осмысление законов: тождества, противоречия, исключённого третьего, двойного отрицания, идемпотентности, коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, де Моргана. Соотнесение данных законов с интуитивным, обычным (разговорным) представлением. Правильные схемы умозаключений. Главный акцент делается на нахождение правильных схем умозаключений.

Занятие №4.

Софизм «Рогатый»: рассмотрение, нахождение ошибки.

Софизмы «Сидящий», «Сократ», «Два глаза» (здесь и далее см. приложение).

Анализ каждого софизма  сводится к нахождению ошибки в рассуждениях, которая приводит к парадоксальности следствия.

Занятие №5.

Анализ софизмов: « 2»2=5 », « 5=1 », «Все числа равны между  собой», «169=168», «Прямой угол равен  тупому».

Занятие №6.

Беседа о возможности  возникновения парадокса в любой  ранее созданной теории. Рассмотрение парадоксов «Лжец», «Вывеска», и др.

Занятие №7.

Парадоксы «Я знаю, что  ничего не знаю», «Доказано, доказательств  не существует», «Всё истинно», «Нет отрицательных  высказываний» и т.д.

Занятие №8.

Выделение парадоксов. Примеры. Расхождение в интуитивном представлении следования и классической импликации. Переход к необходимости рассмотрения новых логических систем. Строгая импликация Льюиса и Аккермана.

Занятие №9.

Рассмотрение новых  парадоксальных формул. Поиск путей  выхода из сложившейся ситуации.

Занятие №10.

Беседа о необходимости  присутствия связки между антецедентом и консеквентом в классической и  строгой импликации. Определение  релевантной импликации.

 

 

 

 

 

 

 

Приложение

Занятие №1.

1.Оптические иллюзии

1). Разве вам не кажется,  что четырёхугольник, изображенный на рисунке 1, — трапеция (у которой «верхнее» основание меньше «нижнего»)? А на самом деле это квадрат!

2).   Линия   на  рисунке   2,   расположенная   за   двумя   параллельными  полосками, кажется ломаной, а  на самом деле это прямая!

 

3). Параллельны ли заштрихованные  прямые (рис. 3). Ответ: Да!

 

 

4). Стороны прямоугольника  кажутся кривыми! (рис. 4).

5). Кривыми кажутся  также стороны треугольника! (рис.5)

6). Вы видите (рис.6) трехгранный  угол и коробку. Где расположена  коробка внутри трехгранного угла или вне его? При желании можете увидеть любое из этих двух положений!

2. Пример: «На Земле  нет стариков»

Допустим, что мы расположили всех людей в ряд. Первым в ряду стоит только что родившийся младенец, вторым — родившийся на секунду раньше, третьим — ещё на секунду раньше и так далее. Тогда каждый в этом ряду

ребёнок.

Доказательство будем проводить методом математической индукции.

1) для первого человека  в ряду это очевидно — он  ребёнок.

2)  предположим, что  в нашем ряду для к-го человека выполняется, что он ребёнок.

3) тогда для к+1-го человека будет выполняться, что он ребёнок, ведь он старше к-го всего на одну секунду.

Тогда в силу метода математической индукции доказано, что каждый житель имеет возраст ребёнка, следовательно на Земле вообще нет стариков.■                 

 

Задача №1: доказать, что  на Земле нет детей.

Решение сводится к рассмотрению примера выше, но первым в ряду стоит  глубокий старик, вторым - родившийся на секунду позже, третьим - ещё на секунду  позже и т.д.

Задача №2: на Земле  есть либо старики, либо дети.

 

Занятие №2

Задачи:

1.  даны два высказывания:

А= «Число 3 является делителем  числа 17» 

В= «Число 6 - простое число»

В чём заключаются  следующие высказывания:

а) 

б)

в) А&В

г) А↔В

д) А→В ?

 

2.  даны следующие элементарные высказывания

А= «Число 3 является делителем  числа 171»

В= «Коля Петров - отличник»

С= «Число 2 больше числа 3»

Д= «Идёт дождь»

И пусть В истинно, а Д - ложно. Применяя к данным высказываниям операции   отрицания,   дизъюнкции,   импликации   и   эквиваленции можно получить 34 сложных высказывания, в которых ровно одна логическая операция. Сколько среди них истинных?

 

3.   определите     истинностные     значения     следующих     сложных высказываний:

а.   «Либо число 12 делится на 3, либо число 12 делится  на 4».

б.   «2+5=7, а 7+3=10».

в.   «Если марсианин  живёт на Луне,  а иркутянин  в городе Иркутске, то москвич живёт  в Москве»

г.   «Солнце светит ярче Луны, значит 2*2=4

д. «Если 2*2=4, то 2*3=5 тогда и только тогда когда 2+2+2=7»

4.  Для высказываний из предыдущего задания построить символьные модели.

5.  Найдётся ли такой день недели, когда:

а)  утверждение «если  сегодня понедельник, то завтра пятница» истинно;

б)  утверждение «если  сегодня понедельник, то завтра вторник» ложно?

 

Занятие №3

Задания:

1. установить  с помощью  таблиц истинности,  какие из  следующих формул - тавталогии:

2. Установите, какие из  следующих высказываний истинны:

                                      

3.  Установить, какие из следующих предложений равносильны в логике высказываний: «Я читал эту книгу», «Я не видел этого фильма», «Я читал эту книгу, но не видел этого фильма», «Неверно, что эту книгу я не читал», «Неверно, что я не видел этот фильм», «Неверно, что я не читал эту книгу или видел этот фильм»

4. Можно ли на основании  теоремы Пифагора утверждать, что

а.   Треугольник  со сторонами 3, 4, 5 - прямоугольный.

б.   Треугольник  со сторонами 3, 4, 6 - не прямоугольный?

5.  Можно ли на  основании посылок «Если предмет интересен, то он полезен» и «Предмет не интересен» заключить, что предмет бесполезен?

6.  Ученику на экзамене  нужно было доказать, что последовательность, заданная формулой общего члена,  является арифметической прогрессией.  Он рассуждал так: «Если последовательность - арифметическая прогрессия, то

. Проверка показала, что для  данной последовательности это равенство    выполняется.    Следовательно,    данная  последовательность   - арифметическая прогрессия». Правильно ли данное рассуждение?