Оптимизация портфеля финансовых активов инвестора

       Таким образом, в процессе формирования портфеля достигается новое инвестиционное качество с заданными характеристиками. Таким образом, портфель ценных бумаг является тем инструментом, с помощью которого инвестору обеспечивается требуемая устойчивость дохода при минимальном риске. 

2. Методы  оптимизация портфеля финансовых активов

 
 

     На  практике используют множество методик  формирования оптимальной структуры  портфеля ценных бумаг. Большинство  из них основано на методике Марковица. Он впервые предложил математическую формализацию задачи нахождения оптимальной  структуры портфеля ценных бумаг  в 1951 году, за что позднее был удостоен Нобелевской по экономике.

       Основными постулатами, на которых построена  классическая портфельная теория, являются следующие:

• Рынок состоит из конечного числа активов, доходности которых для заданного периода считаются случайными величинами.
• Инвестор в состоянии, например, исходя из статистических данных, получить оценку ожидаемых (средних) значений доходностей и их попарных ковариаций и степеней возможности диверсификации риска.
• Инвестор может формировать любые допустимые (для данной модели) портфели. Доходности портфелей являются также случайными величинами.
• Сравнение выбираемых портфелей основывается только на двух критериях – средней доходности и риске.
• Инвестор не склонен к риску в том смысле, что из двух портфелей с одинаковой доходностью он обязательно предпочтет портфель с меньшим риском.

       Рассмотрим  подробнее сформировавшиеся на данный момент портфельные теории, некоторые  из которых будут применены далее  при проведении практического расчета  оптимального портфеля ценных бумаг. 
 
 

1. Модель  Марковица

 

       Основные  концепции современной теории портфеля изложены в монографии, написанной доктором Гарри Марковицем. Первоначально  Марковиц предположил, что управление портфелем является проблемой структурного, а не индивидуального выбора акций, что обычно практикуется. Марковиц доказывал, что диверсификация эффективна только тогда, когда корреляция между  включенными в портфель рынками  имеет отрицательное значение. Если у нас есть портфель, составленный из одного вида акций, то наилучшая  диверсификация достигается в том  случае, если мы выберем другой вид  акций, которые имеют минимально возможную корреляцию с ценой  первой акции. В результате этого  портфель в целом (если он состоит  из этих двух видов акций с отрицательной  корреляцией) будет иметь меньшую  дисперсию, чем любой вид акций, взятый отдельно. Марковиц предположил, что инвесторы действуют рациональным способои и при наличии выбора предпочитают портфель с меньшим  риском при равном уровне прибыльности или выбирают портфель с большей  прибылью, при одинаковом риске. Далее  Марковиц утверждает, что для данного  уровня риска есть оптимальный портфель с наивысшей доходностью, и таким  же образом для данного уровня доходности есть оптимальный портфель с наименьшим риском.

       Портфель, доходность которого может быть увеличена  без сопутствующего увеличения риска  или портфель, риск которого можно  уменьшить без сопутствующего уменьшения доходности, согласно Марковицу, неэффективны.

     Для измерения риска служат показатели рассеивания, поэтому чем больше разброс величин возможных доходов, тем больше опасность, что ожидаемый доход не будет получен. Мерой риска является дисперсия, а так же среднеквадратическое отклонение (корень из дисперсии). Так, дисперсия рассчитывается по следующей формуле: 

                                                                                                         (1.2) 
 

       Где r_i – доходность i-ого актива, -средняя доходность актива, n – количество наблюдений.

       В отличии от вероятностной модели, параметрическая модель допускает  эффективную статистическую оценку. Параметры этой модели можно оценить  исходя из имеющихся статистических данных за прошлые периоды. Эти статистические данные представляют собой ряды доходностей  за последовательные периоды в прошлом.

       Для определения взаимосвязи и направления  изменения доходности двух активов  используют такой показатель, как  ковариация, которые рассчитывается по следующей формуле: 

                                                                                _(1.3) 

       Совокупный  риск портфеля можно разложить на две составные части: рыночный риск, который нельзя исключить и которому подвержены все ценные бумаги практически  в равной степени, и собственный  риск, который можно избежать при  помощи диверсификации. При этом сумма  вложенных средств по всем объектам должна быть равна общему объему инвестиционных вложений, т.е. сумма относительных  долей в общем объеме должна равняться единице. [4]

       Таким образом, общая формула риска  портфеля следующая: 

                                                      _(1.4)                    

       где - это дисперсия, x_i  и x_j – соответствующие доходности, а Cov_i,j – ковариация между активами i и j.

       Так как портфель состоит из нескольких активов, то необходимо определять ожидаемую  доходность всего портфеля в целом. Эта величина не может быть больше максимальной доходности по активам  в отдельности. Так, формула ожидаемой  доходности портфеля выглядит как средневзвешенная ожидаемая доходность входящих в  него активов: 

                                                              (1.5)

где - ожидаемая доходность портфеля;

- ожидаемая доходность активов,  входящих в состав портфеля;

- удельный вес каждого актива  в портфеле.

     Таким образом, модель Марковица в общем  виде выглядит следующим образом (выражения (1.6)-(1.10):

  ,                         (1.6) ,                                                                    (1.7)      ,                                                                          (1.8)                                                     ,                                                                                                            (1.9)                                                                                                                      (1.10) 

     Неравенство (1.7) показывает, что ожидаемая доходность портфеля в целом не должна быть меньше средней доходности по активам. В неравенстве (1.8) отражено то, что общая доходность портфеля не может превышать максимальную доходность ценной бумаги, входящей в портфель. x_i  - это доли активов в портфеле. Очевидно, что в сумме они должны давать 1, и они не могут быть отрицательными (выражения (1.9)-(1.10)).

     Марковиц  ограничивает решение модели тем, что  из всего множества «допустимых» портфелей, т.е. удовлетворяющих ограничениям, необходимо выделить те, которые рискованнее, чем другие. При помощи разработанного Марковицем метода критических линий  можно выделить неперспективные  портфели. Тем самым остаются только эффективные портфели.

     Отобранные  таким образом портфели объединяют в список, содержащий сведения о  процентом составе портфеля из отдельных  ценных бумаг, а также о доходе и риске портфелей.

       Таким образом, данная модель является самой  популярной в решении задач оптимизации  портфеля активов, однако используются и другие модели. 

2. Индексная модель Шарпа

 

       Как следует из модели Марковитца, задавать распределение доходов отдельных  ценных бумаг не требуется. Достаточно определить только величины, характеризующие  это распределение: математическое ожидание; дисперсию и вариацию между  доходами отдельных ценных бумаг. Это  следует проанализировать до составления  портфеля. На практике для сравнительно небольшого числа ценных бумаг произвести такие расчеты по определению  ожидаемого дохода и дисперсии возможно. При определении же коэффициента корреляции трудоемкость весьма велика. Так, например, при анализе 100 акций  потребуется оценить около 500 вариаций.

       Во  избежание такой высокой трудоемкости Шарп предложил индексную модель. Причем он не разработал нового метода составления портфеля, а упростил проблему таким образом, что приближенное решение может быть найдено со значительно меньшими усилиями. Шарп ввел так называемый В-фактор, который играет особую роль в современной теории портфеля.

       Основные  допущения модели  Шарпа состоят  в следующем:

       — в качестве характеристики доходности ценной бумаги принимается математическое ожидание доходности;

       —под  единичным портфелем ценных бумаг  понимается портфель, состоящий из всех рассматриваемых ценных бумаг, взятых в равной пропорции;

       — взаимосвязь доходности ценной бумаги и доходности единичного портфеля ценных бумаг  описывается линейной функцией;

       — под риском ценной бумаги понимается степень зависимости изменений  доходности ценной бумаги от изменений  доходности единичного портфеля;

       — считается, что данные прошлых периодов, используемые при расчете доходности и риска, отражают в полной мере будущие  значения доходности.

       Модель Шарпа соединяет доходность  ценной бумаги с доходностью  единичного портфеля и риском  этой ценной бумаги с помощью  функции линейной регрессии. Формула  доходности ценной бумаги следующая: 

                                                                                 (1.11) 

       Ri- доходность ценной бумаги;

       R_sp - доходность единичного портфеля за один период t наблюдений (далее R_sp^t);

       βi- коэффициент чувствительности к  изменению доходности ценной бумаги, коэффициент регрессии в уравнении  доходности;

R_i–средняя доходность ценной бумаги;

      R_sp – средняя доходность единичного портфеля. 

       Коэффициент β характеризует степень зависимости  доходности ценной бумаги от доходности единичного портфеля. Чем выше β,  тем сильнее зависит доходность ценной бумаги от колебаний доходности единичного портфеля, т. е. от колебаний  доходности остальных ценных бумаг, входящих в единичный портфель. Существует риск того, что оцениваемая доходность ценной бумаги не будет принадлежать построенной линии регрессии. Этот риск называются остаточным риском (σ_ri). Остаточный риск характеризует степень разброса значений доходности ценной бумаги вокруг линии регрессии. Остаточный риск определяют как среднеквадратическое отклонение доходности ценной бумаги от линии регрессии. Доходность портфеля ценных бумаг - это средневзвешенная доходностей ценных бумаг, его составляющих: 

                                                                (1.12) 

       где  W_i – доля акции в общем портфеле. 
 
 

       Риск  портфеля ценных бумаг определяется следующим образом: 
 

                                                                (1.13) 

       где σ_sp - показатель риска единичного портфеля, σ_ri - остаточный риск ценной бумаги. Эти показатели рассчитываются по следующим формулам: 

                                                                       (1.14)

                                                                                        (1.15) 

       где T - рассматриваемое количество периодов времени,  

       Задача  формирования оптимального портфеля по модели Шарпа, где мы максимизируем  доходность инвестиционного портфеля и устанавливаем допустимый уровень  риска, будет выглядеть следующим образом: 

                                                         (1.16) 

       где σ_req – допустимый уровень риска.

       Задача  формирования оптимального портфеля, где мы минимизируем общий риск инвестиционного  портфеля с фиксированным уровнем  доходности, имеет следующий вид:  
 

                                                       (1.17)

       где R_req – фиксированный уровень доходности. 

       Модель  Шарпа рационально использовать при рассмотрении небольшого числа  ценных бумаг, принадлежащих одной  или нескольким отраслям. С помощью  этой модели хорошо поддерживать оптимальную  структуру уже созданного инвестиционного  портфеля. Недостатком этой модели можно считать то, что не учитываются  глобальные тенденции, которые влияют на доходность портфеля, однако этот фактор очень сложно предусмотреть, поэтому, в принципе, данную задачу необходимо решать в краткосрочном периоде.