Основные типы задач кинематики и методы их решения

Критерий правильности выбора модели. Если в данной задаче физическая величина, описывающая неосновное свойство, откоторого мы абстрагируемся, много меньше другой, характернойдля этой задачи, величины той же размерности, то модель выбрана, верно.

Заметим, что один и тот же материальный объект или одно ито же явление в различных условиях могут быть рассмотрены врамках различных моделей, если они удовлетворяют критериям правильности выбора этих моделей.

Механика-раздел физики, изучающий движение тел, т.е. изменение их положения в пространстве с течением времени.

Тело отсчета – тело, относительно которого рассматривается движение других тел.

Часы – неподвижный относительно тела отсчета прибор для измерения времени, принцип действия которого основан на сравнении длительности исследуемого временного интервала с длительностью выбранного за эталон периодического процесса.

Система отсчета – совокупность системы координат, связанной с телом отсчета, и набора синхронизированных часов, размещенных в разных точках координатной системы.

Материальная точка – физическое понятие (модель, абстракция), представляющее тело, размерами (и формой) которого можно пренебречь в условиях данной задачи.

Положение материальной точки относительно данной системы отсчета (в данной системе отсчета) S задается ее координатами или радиус-вектором r .

Радиус-вектор материальной точки r относительно данной системы отсчета – вектор, начало которого находится в начале координат этой системы, а конец – в месте расположения материальной точки:

r =xi + yj + zk ={x, y, z} ,

где i , j и k – орты декартовой системы координат: i =1 , j =1, k =1; x, y, z – координаты материальной точки.

Траектория движения материальной точки – линия, описываемая в пространстве концом радиус-вектора материальной точки.

Перемещение материальной точки за некоторый промежуток времени называется вектор Δr, направленный от положения точки в начальный момент времени t к ее положению в конечный Δt:

Δr(t) = r(t + Δt) − r(t) ={x(t + Δt) − x(t), y(t + Δt) − y(t), z(t + Δt) − z(t)} .

Скорость материальной точки υ относительно данной системы отсчета – физическая величина, равная производной радиус-вектора материальной точки по времени (производная берется при постоянных ортах системы координат, поскольку они жесткосвязаны с телом отсчета):

 

 

где, – проекции скорости υ на соответствующие оси системыкоординат.При этом модуль скорости υ равен:

 

В соответствии с определением скорость всегда направлена по касательной к траектории.

Зная закон изменения скорости материальной точки υ(t) ,и радиус-вектор в начальный момент времени t0, можно найти закон движения:

 

Пройденный путьs представляет собой скалярную физическую величину равную расстоянию, пройденному материальной точкой вдоль траектории.

 

Пройденный путь и длина вектора перемещения совпадают, только при движение тела по прямой в одном направлении. Во всех остальных случаях модуль перемещения меньше длины пути. Пройденный путь это положительная скалярная величина, не убывающая со временем.

Механическая система – совокупность материальных тел.

Система материальных точек – совокупность тел, каждоеиз которых можно считать материальной точкой. Далее будем считать, что всякую рассматриваемую нами механическую системуможно рассматривать как систему материальных точек.

Абсолютно твердое тело – тело (система материальных точек), расстояния между двумя любыми материальными точкамикоторого не меняются в условиях данной задачи.

Поступательное движение абсолютно твердого тела – движение, при котором прямая, соединяющая любые две материальные точки тела, перемещается параллельно самой себе.

 

2.2Равномерное  прямолинейное движение. Уравнение  этого движения. Скорость. Единицы  скорости.

Для количественной характеристики процесса движения тела водится понятие скорости движения.

Движение материальной точки в каждый данный момент времени, т.е. в каждой точке траектории, характеризуется так называемой мгновенной скоростью.

Мгновенной скоростью поступательного движения тела в момент времени t называется отношение очень малого перемещения s к малому промежутку времени, за которое произошло это перемещение.

Мгновенная скорость – векторная величина. Вектор мгновеннойскорости направлен по касательной к траектории движения тела. По абсолютной величине он равен, пределу, к которому стремится средняя скорость при беспредельном уменьшение промежутка времени, за который она определяется.

Вектор скорости – вектор, связанный с данной движущейся материальной точкой. Если материальная точка  участвует в нескольких движениях, то результирующая скорость равна геометрической векторной сумме скоростей этих движений.

В международной системе единиц СИ единицей измерения скорости является метр/секунду. Кроме того применяются внесистемные единицы: км/ч и другие.

Равномерным прямолинейным движением называется такое движение, при котором материальная точка движется по прямой и в любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

Вектор скорости равномерного прямолинейного движения материальной точки направлен вдоль ее траектории в сторону движения. Вектор скорости при равномерном прямолинейном движении равен вектору перемещения за любой промежуток времени, поделенному на этот  промежуток времени:

v=r/t

Примем линию, по которой движется материальная точка, за ось координатОх, причем  за положительное направление оси выберем направление движения точки. Тогда, спроектировав векторы rи vна эту ось, для проекции r=│rx│и v=│vx│этих векторов мы можем записать:

v=r/t

Отсюда получаем уравнение равномерного движения:

r=vt

При равномерном прямолинейном движение путь s, пройденный телом, равен абсолютной величине вектора перемещения. Поэтому для этого движения можем записать также:

s=vt

Тогда для координаты тела в любой момент времени имеем:

x= x0+s=x0+vt

где x0-координата тела в начальный момент времени.

2.3 Переменное движение. Средняя скорость. Ускорение. Единицы измерения ускорения.

Переменное или неравномерное движение это движение, при котором вектор скорости изменяется во времени.

Средней скоростью называется величина, равная отношению перемещения тела за некоторый промежуток времени к этому промежутку времени:

Иногда под средней скоростью, понимают  скалярную величину равную отношению пути, пройденного телом за некоторый промежуток времени:

Именно эта скорость имеется в виду, когда, например, говорят о средней скорости движения автомобиля в городе или средней скорости поезда.

При неравномерном  поступательном движении скорость тела  непрерывно изменятся с течением ремени. Процесс изменения скорости тела характеризуется ускорением. Ускорением называется векторная величина, равная отношению очень малого изменения вектора скорости к малому промежутку времени, за которое произошло это изменение:

 

Если за промежуток времени t тело из точки А траектории переместилось в точку В и его скорость изменилась от  v1 до v2, то изменение скорости за этот промежуток времени равно разности векторов v2 и v1:

 

Направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорости  при очень малых значениях промежутка времени t, за который происходит изменение скорости.

Если тело движется прямолинейно и скорость его возрастает, то направление вектора ускорения  совпадает с направлением вектора скорости v2, при убывание скорости по модулю, направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости v2.

При движении тела по криволинейной траектории направление вектора скорости изменяется  в процессе движения, вектор ускорения   при этом может оказаться направлен под любым углом к вектору скорости v2. Самый простой вид неравномерного движения-это равноускоренное движение. Равноускоренным называется движение с ускорением, постоянным по модулю и направлению:

  =const.

 

Из формулы следует, что при выражении скорости в метрах в секунду, а времени в секундах ускорение выражается в метрах на секунду в квадрате:

 

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно и равноускорено движущейся точки, при котором за время 1 с скорость точки изменяется на 1 м/с.

При равноускоренном движении с начальной скоростью v0 ускорение равно

 

где – скорость в момент времени.  Отсюда скорость равноускоренного движения равна

 

Для выполнения расчетов скоростей и ускорений необходимо переходить от записи уравнений в векторной форме к записи уравнений в алгебраической форме. Векторы начальной скорости и ускорения могут иметь различные направления, поэтому переход от уравнения в векторной форме к уравнениям  в алгебраической форме может оказаться довольно сложной задачей. Задача нахождения модуля и направления скорости равноускоренного движения в любой момент времени может быть успешно решена следующим путем. Как известно, проекция суммы двух векторов на какую-либо координатную ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Поэтому для нахождения проекции вектора скорости на  произвольную ось ОХ нужно найти алгебраическую сумму проекций векторов   и на ту же ось:

   (2.5)

 

 

Проекцию вектора на ось считают положительной, если от проекции начала к проекции конца вектора нужно идти по направлению оси, и отрицательной – в противоположном случае.

Из последнего уравнения следует, что графиком зависимости проекции скорости равноускоренного движения от  времени является прямая. Если проекция начальной скорости на ось ОХ равна нулю, то эта прямая проходит через начало координат.

Установим связь проекции вектора перемещения на координатную ось ОХ при  равномерном прямолинейном движении с проекцией вектора  скорости  на ту же ось и временем. При равномерном прямолинейном движении график зависимости проекции скорости от времени является прямой, параллельной оси абсцисс. Проекция перемещения тела за время t при равномерном движении со скоростью v определяется выражением sx=vxt. Площадь прямоугольника лежащего под прямой  прямо пропорциональна произведению или проекции перемещения.

Уравнение для координаты точки при  равноускоренном движении. Для нахождения координаты х точки в любой момент времени  нужно к начальной координате х0 точки прибавить проекцию вектора перемещения на ось Ох:

x=x0+sx

Из выражений  следует :

x=x0+v0xt+axt2/2

Из уравнений 2.5 и 2.7  можно получить уравнение, связывающие проекции конечной скорости  начальной скорости и ускорения  с проекцией перемещения тела:

 

В случае равенства проекции начальной скорости нулю получаем выражение

 

Из этого выражения можно найти проекции скорости или  ускорения по известному значению  проекции перемещения:

 

 

 

 

 

2.4 Равномерное  движение по окружности.

 Среди различных видов криволинейного движения особый интерес представляет равномерное движение тела  по окружности. Это самый простой вид  криволинейного движения. Вместе с тем любое сложное криволинейное движение тела на достаточно малом участке его траектории можно приближенно рассматривать как равномерное движение по окружности.

Центростремительное ускорение, при равномерном движении по окружности значение скорости  остается постоянным, а направление  вектора скорости  изменяется   в процессе движения. Определим ускорение тела, движущегося равномерно по окружности радиусом R. За интервал времени t тело пройдет путь s=vt. Этот путь равен длине дуги АВ. Векторы скоростей в точках А и В направлены по касательным  к окружности в этих точках, угол между векторами  равен углу между радиусами ОА и ОВ.

Для нахождения вектора ускорения нужно найти разность векторов скорости и определить отношение изменения скорости к малому интервалу времени t, за который произошло это изменение:

 

 

При изменении положения тела на окружности меняется направление на центр окружности. Следовательно, при равномерном движении тело по окружности модуль  ускорения имеет постоянное значение, но направление вектора ускорения изменяется со временим. Ускорение при  равномерном движении по окружности называется центростремительным ускорением:

 

Промежуток времени, за который тело совершает полный оборот  при движении по окружности, называется  периодом. Период обращения тела по окружности  обозначается буквой Т. Так как длина окружности s равна 2πR, период обращения  при равномерном движении тела со скоростью по окружности  радиусом R равняется:

 

Величина, обратная периоду обращения, называется частотой обращения. Частота обращения обозначается греческой буквой «ню» и показывает, сколько оборотов по окружности совершает тело в единицу времени: