Основные типы задач кинематики и методы их решения

 

 

Единица измерения частоты в системе СИ -1/с. Используя формулы, которые записаны выше можно получить формулы для вычисления центростремительного ускорения:

 

 

 

 

3.1. Основные типы задач кинематики и методы их решения

3.1.1. Классификация задач кинематики

Основной задачей кинематики является определение кинематических характеристик тел, движущихся относительно даннойсистемы отсчета.

Большинство задач кинематики можно условно отнести к следующим типам задач или их комбинациям:

1) кинематика материальной  точки,

2) принцип суперпозиции  движений,

3) уравнения кинематической  связи,

4) кинематика простейших  механических систем.

Как правило, один из типов задач имеет основное, другие подчиненное по отношению к условию задачи значение.

3.1.2Общая схема решения задач кинематики

I. Определиться с моделями материальных объектов и явлений.

1. Нарисовать чертеж, на котором изобразить рассматриваемые тела.
2. Выбрать систему отсчета и изобразить на чертеже ее систему координат (из соображений удобства).
3. Изобразить и обозначить кинематические характеристики тел.
4. Выбрать модели тел и их движения (если это не сделано в условии задачи).

II. Записать полную систему  уравнений для искомых величин.

1. Записать в проекциях на оси координат:

1. законы движения,
2. законы изменения скорости,
3. законы изменения ускорения.

2. Записать начальные условия.

3. Записать уравнения кинематических связей.
4. Использовать результаты ранее решенных задач и особые условия задачи (например, заданные соотношения между характеристиками системы).

III. Получить искомый результат в аналитическом и численном видах.

1. Решить систему полученных уравнений.
2. Провести анализ решения (проверить размерность и лишние корни, рассмотреть характерные случаи, установить область применимости).
3. Получить численный результат.

 

3.2. Примеры решения различных задач по кинематике.

3.2.1 Качественные задачи по кинематике.

1. Санки скатываются с горы; шарик скатывается по наклонному желобу. Какое из этих тел движется поступательно?

Ответ: Санки.

2. Земля вращается с запада на восток. Почему же, подпрыгивая вверх, мы попадаем на то же место, а не смещаемся к западу?

Ответ: Потому, что в системе отсчета, связанной с Землей, человек покоится.

3. Какова траектория движения точек винта самолета по отношению к летчику? по отношению к Земле?

Ответ: Окружность, винтовая линия.

4. Какие из приведенных зависимостей описывают равномерное движение?

1) s = 2t + 3; 2) s = 5t2; 3) s = 3t; 4) õ = 4 – t; 5) х = 7.

Ответ: 1, 3, 5.

5. На рисунке 1 изображен график изменения координаты тела, движущегося прямолинейно. Нарисуйте график изменения пути этого движения.                                                                                                 

Рис. 1:

Ответ:

 

   

 

 

  

 

 

 

 

6. Даны графики перемещений для трех прямолинейных движений (рис. 2). Чем отличаются друг от друга эти движения? Скорость, какого из них наибольшая, наименьшая?

Рис. 2

Ответ. Скорости движений различны: а — наибольшая скорость; в — наименьшая скорость.

7. Почему дождевые капли в безветренную погоду оставляют наклонные прямые полосы на стеклах равномерно движущегося железнодорожного поезда?

Ответ: В системе отсчета «Земля» траектория капли — вертикальная линия. В системе отсчета «вагон» движение капли по стеклу есть результат сложения двух прямолинейных движений: движения вагона и падения капли в воздухе. Поэтому след капли на стекле наклонный.

8. Пассажир скорого поезда смотрит в окно на вагоны встречного поезда. В момент, когда последний вагон встречного поезда прошел мимо его окна, пассажир ощутил, что его движение резко замедлилось. Почему?

Ответ: Относительная скорость взаимного движения поездов равна сумме скоростей движений обоих поездов относительно Земли. Ясно, что эта скорость больше скорости движения одного поезда относительно неподвижных предметов.

9. Какие из приведенных зависимостей описывают равнопеременное движение?

1) õ = 3 + 2t; 2) s = 3 + 2t; 3) s = 3t2; 4) s = 3t – t2; 5) s = 2 – 3t + 4t2.

Ответ: 1, 3, 4, 5.

10. На рисунке 3 даны графики, характеризующие движение пешехода. Опишите это движение, пользуясь обоими графиками.

 

а           б

Рис. 3

Ответ: Рисунок 3, а представляет собой график изменения координаты, а рисунок 3, б — график пути. На первом графике показано, что пешеход вернулся в то место, откуда он начал движение; на втором по ординате точки С можно определить весь пройденный им путь. Отрезки ОА и ВС соответствуют движению; АВ — остановке. В обоих направлениях скорость движения одинакова. Это видно по наклону прямых ОА и ВС к оси времени.

11. На рисунке даны графики ускорений четырех движущихся тел. Как движутся эти тела?

   

                                   а                           б                                  в                                г 

 

 

                            

Ответ: а) Равноускорено; б) равнозамедленно; в) ускоренно (с равномерно возрастающим ускорением); г) ускоренно (с изменяющимся ускорением).

12. Какую скорость переменного движения показывает спидометр автомобиля?

Ответ: Близкую к мгновенной.

13. Почему при выстреле надо направлять ружье чуть выше цели? Когда превышение должно быть больше: при близкой или далекой цели?

Ответ: Потому, что на пулю будет действовать сила тяжести. Далекой.

14. У каких часов линейная скорость конца минутной стрелки больше — у карманных или у больших настенных? Решите тот же вопрос для угловой скорости.

Ответ: У больших настенных часов. Угловая скорость будет одинаковой.

 

 

 

Задачи вызывающие затруднение у учащихся при изучение темы кинематика

Задача 1:

Тело движется равномерно вдоль оси Х. Со скоростью v = 2 м/с противоположно положительному направлению оси Х. Найдите положение тела в момент времени t1 = 10 с после начала движения, если начальная координата x0 = 5 м. Чему равен путь, пройденный телом? 

Решение.

Выписываем в левом верхнем углу «Дано» и делаем рисунок. Иногда это полезно делать одновременно. 

Дано: v = 2 м/с  t1 = 10 с  x0 = 5 м  x(t1) = ? s(t1) = ? t1

 

Из условия задачи видно, что физической моделью задачи является материальная точка, двигающаяся по прямой с постоянной скоростью.

Математической моделью такого процесса является математическое уравнение для координат материальной точки:

x = x0+ vxt.

По условию задачи vx= -v и формула для координаты принимает вид:

x = x0 - vt.

Пройденный телом путь равен

s = vt.

В этих уравнениях t – параметр, переменная величина. Уравнения показывают, как изменяется координата материальной точки и пройденный ею путь со временем t. Можно для большей ясности писать x(t) и s(t). Смотрим в условие задачи, что нам нужно найти. Координату и пройденный путь в момент времени t1. Физика закончилась. Переходим в состояние «математик» и смотрим, что нам предстоит решить. В этой задаче работы для математика нет. Надо подставить вместо t ее численное значение t1 и подсчитать численный ответ. Обратите внимание, t - переменная величина, а t1 – число.

В школьных задачах по физике, как правило, не бывает сложной математики. Поэтому когда Вы оформляете решение задачи в чистовике, математическую часть можно излагать предельно кратко. Леша Щекин на контрольных и олимпиадах выписывал исходную систему уравнений, потом сразу выписывал ответ в общем виде и численный ответ. Это правильно. Но когда Саша Головко записывал «Дано», потом замирал на какое-то время, а потом сразу писал ответ, то это уже слишком. Так поступать не следует. Экзаменатор может подумать, что Вы списали. 

Итак, мы имеем:

x(t1) = x0 – vt1 = 5 м – 2 м/с*10 с = -15 м.

Пройденный телом путь равен

s(t1) = vt1 = 2 м/с*10 с = 20 м.

Анализ решения. 

Из уравнение для координаты видно, что тело  движется к началу координат, в момент времени t = 0 оно проходит координату x0 = 5 м, в момент времени 2,5 с оно проходит через начало координат и уходит. С размерностями величин все в порядке. Поэтому у нас есть основания надеяться, что мы правильно решили задачу. 

Задача 2

Из пунктов А и В, расстояние между которыми l = 55 км, одновременно начали двигаться с постоянными скоростями навстречу друг другу по прямому шоссе два автомобиля. Скорость первого автомобиля v1 = 50 км/ч, а второго v2 = 60 км/ч. Через сколько времени после начала движения автомобили встретятся? Найдите пути, пройденные каждым автомобилем за это время. 

Решение.

 
 

Дано: l = 55 км  v1 = 50 км/ч  v2 = 60 км/ч t1 = ? s1= ?

Представим движение автомобилей как движение материальных точек. Примем пункт А за начало координат и направим координатную ось Х в сторону пункта В (см.рис.). Движение автомобилей будет описываться уравнениями:

x1(t) = x01 + v1xt,

x2(t) = x02 + v2xt.

Начальные условия:

x01 = 0,x02 = l.

Так как вектор скорости первого автомобиля направлен в положительном направлении, а второго – в отрицательном, то

v1x = v1,v2x = -v2.

Поэтому первые два уравнения перепишем в виде:

x1(t) = v1t,

x2(t) = l – v2t.

Когда в момент времени t1 автомобили встретятся, они будут иметь равные координаты:

x1(t1) = x2(t1),

или

v1t1 = l – v2t1.

Откуда

t1 =l/(v1 + v2) = 0,5 ч.

Пройденные пути равны

s1 =v1t1 = 25 км,s2 = v2t1 = 30 км.

Анализ задачи. Задача слишком простая, чтобы что-то еще анализировать. Можно сложить s1 + s2, получается 55 км, значит, решили правильно, скорее всего. 

Задача 3

Движение точки на плоскости описывается уравнениями

х = 6 м + 3 м/с*t,

y = 4 м/с *t.

Определить траекторию движения точки и построить ее на плоскости XOY. 

Решение.

Исключим из обоих уравнений параметр t. Для этого выразим время из первого уравнения и подставим во второе, получим:

y = 4x/3 – 8 м.

Это уравнение прямой линии с угловым коэффициентом 4/3 и пересекающая ось OY в точке –8. Можно построить ее по точкам, при х = 0y = -8 м и при y = 0х = 6 м. 

Направление скорости движения точки укажем стрелкой. 

Задача 4

На рисунке изображен график зависимости от времени координаты точки, движущейся вдоль оси Х. Как двигалась точка? Постройте графики модуля v и проекции vxскорости, а также пути в зависимости от времени. 

Решение.

В течение первых 3 с координаты точки изменялись от 2 м до – 4 м, следовательно, точка двигалась противоположно положительному направлению оси Х. Проекция скорости равна:

V1x = (- 4 – 2 )/ 3 м/c = - 2 м/c,

А модуль скорости равен v1 = 2 м/с. 

Следующие 4 с точка не двигалась, ее координаты не изменялись, v2x = v2 = 0. Потом в течение 2 с точка двигалась в положительном направлении оси Х о пришла в начало координат (х = 0).Проекция и модуль скорости соответственно равны

v3x = v3 = (0 – (-4))/2 м/с = 2 м/с.

На рисунке «а» изображен график проекции скорости, на рисунке «б» – график модуля скорости, на рисунке «в» - график пути. При построении графика пути не забывайте, что путь не может быть отрицательным и при движении не убывает.