Математическое моделирование течений жидкостей и газов в кольцевом канале

;            (1)

;        (2)

                       (3)                           

                                                       (4)                                                   

где * – заданная плотность, ν=*/* – кинематический коэффициент вязкости, * – коэффициент вязкости, называемый «динамическим»; р - давление; v_r, v_θ, v_z - компоненты вектора скорости; ∇² – оператор Лапласа, имеющий в цилиндрической системе координат следующий вид:

                                                       (5)                    

     2.2.1Получение уравнений, описывающих течение жидкости

Упрощение исходных уравнений (1)-(4) производится с учетом сформулированных ранее гипотез, определяющих концептуальную модель реального течения. В силу стационарности и осесимметричности течения все частные производные по времени и координате θ равны нулю, то есть 

 

 Поскольку массовые  силы не учитываются, то все  в уравнениях (1)-(4) надо положить равными нулю.

Далее, так как вектор скорости параллелен оси z, то он имеет лишь одну компоненту, отличную от нуля, то есть или .  В этом случае из уравнения неразрывности (4) непосредственно следует, что

,

 то есть неизвестная  величина  не зависит от переменной z и является лишь функцией пространственной координаты r, то есть компонента скорости  .

Кроме того, из уравнений (1) и (2) получаем

 

С учетом всего вышеизложенного  уравнение (3) упрощается и может  быть записано через обыкновенные производные  вместо частных

                                                           (6)

    2.2.2 Формулировка краевых условий

В обыкновенное дифференциальное уравнение (6)  входит две неизвестные  функции – v=v(r) и p= p(z), зависящие от разных переменных. Следовательно,  левая и правая части уравнения(6) должны быть равны некоторой константе,  которая определяется с учетом дополнительных условий относительно     неизвестной функции p=p(z). Действительно, если

 или                                                          (7)

то после его интегрирования находим,  что p(z) = C₁z +C₂ и для нахождения

функции p=p (z) достаточно задать два граничных условия, например,

z=0: p(0)=p₀ ;        

                               z=1: p(1)=p₁.                                                       (8)

Необходимо сформулировать условия однозначности определения  функции v= v(r). Необходимо задать два следующих граничных условия:

                                                                                                          (9)

                                                                                  (10)

Они представляют собой выражения  условия прилипания или непроскальзывания жидкости на внутренних поверхностях труб.

3. Исследование полученной математической модели

Таким образом,  предложенная модель представляет собой совокупность

двух двухточечных краевых  задач (7.2), (8) и (6), (9), (10) для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами относительно двух неизвестных функций –v(r) и p(z). Причем краевая задача для функции p(z) интегрируется отдельно от второй краевой задачи для функции v(r). Для таких краевых задач решение существует, единственно, а их уравнения допускают непосредственное прямое интегрирование.

В построенной математической модели пять числовых пара метров, каждый из которых может принимать значения из некоторого диапазона допустимых значений.

 

3.1 Приведение краевой задачи к безразмерному виду

Прежде всего, необходимо выполнить анализ подобия полученной задачи.  С этой целью определим  характерные величины или масштабы для зависимых и независимых  переменных.  Для пространственных переменных они определяются интервалом,  на котором происходит их изменение – для радиальной координаты – радиусы трубы r₁ и r₂,  для осевой – длиной трубы l₀, в которой известно падение давления ∆p₀=p₀ – p₁.Поэтому приведение этих переменных к безразмерному виду можно выполнить следующим образом:

;                                                   (11)

Для скорости мы не можем  указать характерную величину, используя  исходные данные задачи. В этом случае в качестве нормирующей величины можно выбрать такую комбинацию известных данных,  чтобы она совпадала по размерности с размерностью скорости. Обозначим эту неизвестную величину через ν_* и выполним приведение к безразмерному виду уравнения (6).

 

Тогда на основании равенства  порядков величин,  характеризующих  баланс внешнего перепада давления и  сил внутреннего трения, можно  заключить, что в качестве характерной  величины для скорости ν_*  может быть выбран комплекс  . То есть безразмерная скорость может быть введена по правилу

                                                          (12)

В новых безразмерных переменных совокупность двух полученных краевых задач перепишется в следующем виде:

• Для функции получаем простейшее уравнение –

,                                                                   (13)

 которое должно быть  проинтегрировано с учетом граничных  условий 

                               (14)

- для функции   уравнение имеет вид

,                                                       (15)

а граничные условия для  него

                                   (16)                                                         

Отметим, что в правой части уравнения (15) стоит константа, которая определяется из интегрирования предыдущей краевой задачи для уравнения (13).

 

4. Нахождение решения двухточечных краевых задач

Прямое двукратное интегрирование уравнения (13) даёт выражение

,

подстановка, которого в  граничные условия (14) приводит к  нахождению констант интегрирования - . Окончательное выражение для распределения безразмерного давления имеет вид:

                                                              (17)

С учетом найденного решения (17) уравнение (15) примет вид

 

Сделаем замену переменных:  ,  тогда краевые условия (16) станут                (18)

 

Левая часть последнего уравнения  может быть представлена в ином виде, а само уравнение запишется следующим  образом:

 

Проинтегрировав последнее  уравнение один раз, получим

         или          

Еще раз выполним интегрирование полученного уравнения и найдем выражение для V

                                              (19)

Определим константы интегрирования из условий . 

 

 Вычтем из первого  уравнения второе и получим

 

Подставив вычисленное  в уравнение, найдем :

 

Подставим вычисленные константы  в уравнение (19)

 

Таким образом, окончательное  выражение для безразмерной скорости потока в трубе запишется следующим  образом:

                              (20)

4.1 Анализ полученного решения

Прежде всего, требуется  убедиться, что полученные выражения (17) и (20)  являются решением краевой  задачи.

 

 

 

Так как , то . 

 

 

Теперь требуется проанализировать поведение полученных решений. Функция  безразмерного давления P (ζ) линейно убывает на отрезке [0,1],  принимая значения на его концах равные, соответственно, 1  и 0. Функция является монотонно убывающей с постоянным углом наклона,  равным –1. Поведение её представлено на рис.14б.

 

Рис. 14.(а) Изменение скорости V(ξ) в сечении трубы, (б) изменение давления       P(ζ)  вдоль трубы

 

Функция V(ξ) представляет собой «перевернутую» параболу. Функция монотонно возрастает и убывает на отрезке [0,1] по параболическому закону, в точках ξ=0 и ξ=1 обращается в ноль. Максимальное значение ее, достигаемое при ξ=0.544, равно  0.126.

 

5. Разработка вычислительного алгоритма

Распределение скорости по сечению трубы определяется выражением,

получаемым после перехода от безразмерной функции V(ξ) к размерной v(r)

                                             (21)

Используя решение (16), можно  получить выражение для объемного  расхода жидкости. С этой целью  достаточно выбрать элементарную площадку в

ортогональном сечении трубы  dS=drdl,  где dr - элементарное приращение

радиальной координаты от произвольной точки в сечении  трубы с координатами (r,θ), dl – элементарное изменение по дуговой координате θ. Отметим, что dl=r*dθ. Элементарный   расход через площадку dS можно определить как произведение скорости на площадь элементарной поверхности, то есть

dQ=v(r)dS или dQ=v(r)rdθdr

Полный расход жидкости через  поперечное сечение трубы определится  путем интегрирования выражения  для dQ по всему сечению

 

Так как подынтегральная  функция не зависит от переменной θ, то выражение для определения  расхода можно записать в виде одномерного интеграла

                                                    (22)

После подстановки выражения  для скорости из (21) в выражение (22) и интегрирования находим:

 

                                (23)

Выражение (23) может быть представлено также в другом виде

                                                         (24)

Выражение (24) может быть преобразовано к традиционному  виду, если

ввести в него  величину, определяемую как средняя скорость течения – отношение объемного расхода к площади поперечного сечения

                                                (25)

 

                                                       (26)

Поскольку в гидравлике принято  записывать закон сопротивления  в виде

                 

То приравнивая левые  части уравнений (25) и (26) получим  выражение для коэффициента гидравлического сопротивления

                                             (27)

Где –диаметр трубы, - число Рейнольдса

                           (28)

Так как в трубе кольцевого сечения местные гидравлические сопротивления отсутствуют, то с учетом (28) и того что

 

Где  - гидравлический диаметр канала, определяемый как отношение учетверенной площади поперечного сечения канала к его периметру

 

Находим выражение для  гидравлического коэффициента сопротивления  трения

                                                                  (29)

Где

Отметим, что выражение (29) является точным аналитическим решением поставленной задачи.

Максимальное значение скорости течения жидкости в трубе равно

                                                     (30)

Сравнивая полученное выражение (30) с выражением для средней скорости (25), устанавливаем соотношение между  и

                                                              (31)

Показывающее, что максимальная скорость в 1.5 раза превосходит величину средней скорости потока в трубе.

Распределение давления по длине трубы определяется линейной зависимостью от осевой координаты

                                                         (32)

то есть скорость падения  давления в потоке определяется отношением величины полного падения давления к длине трубы (падение давления на единице длины канала).

Распределение напряжений и  другие динамические характеристики движения жидкости определяются компонентами тензора  напряжений. В случае модели вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости для цилиндрической системы координат они имеют вид [9]:

(33)

 

                            

Для рассматриваемой задачи подстановка решения (17) в формулы (33) с учетом того, что лишь осевая компонента скорости отлична от нуля, приводит к выражениям

            (34)

 

 Величина интенсивность  сил трения, действующих на внутренней  поверхности трубы, определяется  касательным напряжением на стенках

 

(35)

 

Расчет числа Рейнольдса для оценки возможности ламинарного  режима течения удобно проводить  с использованием следующей формулы

 

Коэффициент трения для кольцевой  цилиндрической трубы рассчитывается как отношение интенсивности  сил трения на стенке к гидродинамическому напору

 

(36)

 

Полученные выражения  позволяют установить формулу, связывающую  коэффициент трения и гидравлический коэффициент сопротивления λ, определяемый выражением (29),

                                                                            (37)

Расчет диссипативной  функции Рэлея, характеризующей  переход механической энергии потока в тепло за счет действия сил внутреннего  трения в жидкости, осуществляется по формуле [ландау, с. 78-79]