Математическое моделирование течений жидкостей и газов в кольцевом канале

В этой работе устанавливают функцию, которая описывает эксцентриситет по длине кольцевого пространства e₁(z). В более сложной модели, она может быть названа функцией динамики вращения бурильных труб и взаимодействия жидкости.

2.1 Определяющие уравнения. Течение в кольцевом пространстве между внутренним и внешним цилиндрами с изменяемым эксцентриситетом является трехмерным. Уравнения сохранения импульса есть следующие уравнения:

 

   

   

                             (2)

u, v и w являются осевыми, радиальными и тангенциальными компонентами скорости. Чтобы избежать решения системы связанных трехмерных дифференциальных уравнений, используется размерный анализ для исключения некоторых членов уравнений. Процедура, как правило, известна как приближение теории смазка и она здесь обобщена.

Поскольку основным является поток в осевом направлении, компонента скорости в радиальном направлении гораздо меньше, чем в других двух направлениях, то есть, u, w >> v. Кроме того, поскольку нефтескважина длинная и угол между внутренней и внешней стенками цилиндра по направлению потока мал, изменение компонент скорости в осевом и азимутальном направлениях намного меньше, чем в радиальном направлении и, следовательно, производные по отношению к радиальному направлению гораздо больше, чем другие.

 

Если соответствующими членами уравнения Навье-Стокса пренебрегают, основываясь на анализе размерностей и давления модифицируют, чтобы включить гидростатические эффекты, система дифференциальных уравнений становится

 

 

                        (3)

 

Граничные условия - нулевая скорость на внешней и внутренней стенках цилиндра (внутренний цилиндр неподвижен). Легко заметить, что в этих потоках, давление является функцией только осевой и азимутальной координаты: p=p(z,q).

Уравнения осевого и тангенциального сохранения импульса (количества движения) могут быть проинтегрированы с соответствующими граничными условиями для получения профилей скорости в осевом и тангенциальном направлениях. Каждая составляющая скорости изменяется в зависимости от осевого, тангенциального и радиального направлений, как показано в формулах. Зависимость от осевой и тангенциальной координаты неявно определяется через выражение для радиального зазора, уравнения (1), и неизвестного градиента давления.

           (4)

                                                                    (5)

 

До этого момента, поле давления р(z,θ), пока неизвестно. Для того, чтобы оценить его, используются интеграл уравнения непрерывности, как показано ниже,

 

 

Каждый член уравнения может быть оценен как функция от производной по осевой и тангенциальной координатам от интеграла вдоль радиального направления от профиля скорости, представленного в уравнениях (4) и (5).

 

 

 

Поскольку давление не является функцией радиальной координаты, градиент давления в выражении профилей скорости (уравнения (4) и (5)), может быть удален из интеграла по радиальной координате и интегральное уравнение непрерывности можно переписать в виде

 

После вычисления интегралов для профилей скорости, интегрирование уравнения неразрывности приводит к дифференциальному уравнению для поля давления

                            (6)

 

где

 

 

 

Зависимость F1 и F2 от осевой и тангенциальной координат дается через определение радиальной координаты для внешнего цилиндра R, задаваемой формулой (1).

Область, на которой уравнения (6) определены, 0 ≤ z ≤ L и 0 ≤ θ ≤ 2 , где L – длина кольцевого пространства. Соответствующие граничные условия фиксируют давление на входе и выходе из кольцевого пространства и периодические условия

 

 

Переменные могут быть записаны в безразмерной форме так

 

где – средняя осевая скорость

 

(7)

 это интеграл  осевого профиля скорости в  радиальной координаты

 

 

Существенные безразмерные параметры есть

• Число Рейнольдса: ;
• Коэффициент трения: ;
• Радиус отношения: ;
• Параметр эксцентриситета: где е^* - характеристика эксцентриситета;
• Безразмерная длина: .

3. МЕТОД РЕШЕНИЯ

Дифференциальное уравнение (6) было решено методом конечных разностей (центральные разности). Прямоугольная сетка с равноотстоящими NZ узлами в осевом направлении и Nθ узлами вдоль азимутного направления была использовано для дискретизации области, как показано на рис. 2.

Рис.2. Область, в которой  решается уравнение для давления. Высота канала варьируется с аксиальной и азимутальной координатами.

Функции F1 и F2 были вычислены  в каждом узле пересечения (координатных линий) с целью вычисления соответствующих производных. Результирующее алгебраическое уравнение для каждого узла (i,j) связывает давление P(i,j) с четырьмя соседними (P_(i-1,j), P_(i+1,j), P_(i,j-1), P_(I,j+1).

 

 

Полученная система линейных алгебраических уравнений является разряжённой. Матрица была сохранена в Формате Сжатия Разреженных Строк. Для случаев, представленных здесь, число узлов было 4100.

По заданной (или наложенной) разности давлений и геометрической конфигурации кольцевого пространства, определяется поле давления. С помощью поля давления, может быть вычислено поле скорости по формулам (4) и (5), а средняя осевая скорость из формулы (7). Затем вычисляются число Рейнольдса и коэффициент трения потока.

4. РЕЗУЛЬТАТ

4.1 Постоянный  эксцентриситет. Для того чтобы определить точность приближения, принятому в теории смазки, было проанализировано течение через эксцентричное кольцевое пространство с постоянным эксцентриситетом вдоль осевого направления. В этом случае поле давления может быть вычислено аналитически

 

Интеграл от осевого профиля  скорости в радиальном направлении  является функцией только тангенциальной координаты, а зависимость определяется через определение положения внешнего цилиндра R(q). Осевая средняя скорость может быть вычислена с помощью интеграла от по координате q и произведение коэффициента трения и числа Рейнольдса легко вычисляется. Оно представлено как функция эксцентриситета на рис. 3 при k=0.2, k=0.5 и k=0.8.

Рис. 3. в функции от параметра эксцентриситета к=0.2, к=0.5, и к=0.8, представленные моделью смазки и двумерным решением, представленным Escudier[8].

График также показывает результаты, представленные Escudier’ом¹³, которые получены на основе решения дифференциальных уравнений, описывающих осевую компоненту поля скорости в поперечной сечении эксцентричного кольцевого пространства, с использованием метода конечных объемов.

При наиболее высоком отношении  радиусов k =0.8, соглашение превосходно во всем диапазоне эксцентриситета, относительная разница между предсказанием обеих моделей составляет менее 1%. При промежуточных значениях отношения радиусов, например, при k=0.5, соглашение все еще достаточно хорошее во всем диапазоне изменения эксцентриситета. Максимальное расхождение имеет место при большом эксцентриситете, но оно менее 10%. При низких отношениях радиуса, например, k =0.2, соглашение не хорошее. Как известно, точность модели смазки выше тогда, когда меньше высота течения в канале, который в данном случае соответствует большему отношению радиусов. Когда расстояние между двумя поверхностями цилиндров относительно большое (малый эксцентриситет), гипотеза, что приводит к приближению теории смазки, не выполняется. Как упоминалось ранее, в нефтяных скважинах отношения радиусов, как правило, выше k =0.5, при котором предсказания модели смазки является точным. Важно отметить, что время вычислений, необходимое для вычисления коэффициента трения, предсказываемого с помощью модели смазки, соответствует времени, необходимого для вычисления линейного интеграла (7), и все результаты, представленные в этом разделе, были получены менее чем за 5 с, что на несколько порядков меньше, чем при полных решениях, представленных Escudier’ом [8].

Значение f´Re падает c ростом эксцентриситета, т.е. при фиксированном градиенте давления скорость течения увеличивается, как внутренний цилиндр перемещается от центра внешнего цилиндра. Изменение коэффициента трения с эксцентриситетом может быть объяснено на основе анализа распределения осевой скорости при трех значениях эксцентриситета (ε=0, ε=0.33, и ε=0.98), представлено на рис. 4. Предсказания были при отношении радиусов k=0.5. Когда два цилиндра концентрические, течение осесимметрично, как и ожидалось. Максимальная скорость приближенно . При смещении от центра внутреннего цилиндра, большая часть потока возникает в области большого зазора между цилиндрическими поверхностями. При ε=0.33 максимальная скорость приблизительно и при ε=0.98 она примерно равна . Распределение осевой скорости, представленное на рис.4, также хорошо согласуется с тем, что сообщил Escudier и др.[8].

Fig. 4 Axial velocity u/U at eccentricity «=e/ „R−Ri…=0, «=0.33, and «=0.98. The radius ratio is k=0.5.

Fig. 5 Axial velocity u/U ¯ at eccentricity «=e/ „R−Ri…=0, «=0.33, and «=0.98. The radius ratio is k=0.8

Поведение при большом  отношении радиусов (к=0.8) подобно, как  показано на рис.5. Отношение максимальной осевой скорости к средней скорости как функции от эксцентриситета представлено на рис. 6. При малом эксцентриситете это практически не зависит от отношения радиусов. Оно достигает максимума при ε примерно равным ε=0.65.

Из этих результатов ясно, что модель смазки может точно  описать поток в эксцентричном  кольцевом пространстве при к≥0.5, при очень малых вычислительных затратах.

Рис.6. Максимум скорости

как функция параметра эксцентриситета.

4.2 Изменение эксцентриситета  вдоль направления течения. Влияние изменения эксцентриситета по длине скважины анализируется на основе изучения потоков через кольцевое пространство, в котором изменение положения центра внутреннего цилиндра вдоль осевого направления описывается синусоидальной функцией, как изображено на рис. 7.

 

λ и А это длина волны  и амплитуда синусоидальной функции, описывающей эксцентриситет внутреннего  цилиндра. Описанные здесь варианты были получены при k=0.5, и также различные значения . Когда амплитуда изменения исчезает, ситуация концентрического кольцевого канала восстанавливается. В данном частном случае давление зависит только от осевой координаты и градиент давления в направлении потока является постоянным.

Рис.7. Эскиз кольцевого канала с позицией центра внутреннего цилиндра, описываемого с помощью синусоидальной функции

Когда амплитуда синусоидального  изменения отлична от нуля, промежуток между двумя цилиндрами является функцией аксиальных и азимутальных координат. Течение является не осесимметричным и имеет место градиент давления в осевом и азимутном направлении. Осевая и тангенциальная скорости в различных поперечных сечениях пространства кольцевого канала при и показаны на рис. 8-10.

Рис.8. (a) Поля осевой и азимутальной скорости. Максимум осевой скорости . (b) Поле давления. Осевое положение есть z/L=0.25, амплитуда синусоидальных изменений есть A/(R_o-R_i)=0.98, и длина волны есть .

Проанализированные сечения  отмечены на рис.7. Рисунок 8 показывает поля скорости (осевой и тангенциальной) и давления при z/L=0.25, поперечное сечение, при котором появляется минимальное расстояние между двумя стенками. Локальный эксцентриситет ε=0.98. Максимальная осевая скорость приближенно  , которая больше, чем максимальная скорость, имеющая место при ε=0.98, когда эксцентриситет постоянен вдоль длины пространства кольцевого канала . Давление в узкой области сечения канала больше, чем на более широкой области, как показано на рис. 8(б), из-за сходящейся геометрии в осевом направлении.

Рис.9. (а) Поля осевой и азимутальной скорости. Максимум осевой скорости есть u_max/ =2.89. (b) Поле давления. Осевое положение есть z/L=0.35, амплитуда синусоидальных изменений эсцентриситета есть A/(R₀-R_i)=0.98, и длина волны l/R₀=164.

Рис.10. (а) Поля осевой и азимутальной скорости. Максимум осевой скорости есть u_max/ =1.6. (b) Поле давления. Осевое положение есть z/L=0.5, амплитуда синусоидальных изменений эсцентриситета есть A/(R₀-R_i)=0.98, и длина волны l/R₀=164.

Этот градиент давления в  азимутном направлении достаточен, чтобы вести жидкость из узкой  щели в широкую область разрыва. На z/L=0.35, азимутный поток меняет направление как показано на рис. 9. Высокое давление в сечении широкой области зазора управляет потоком к узкой стороне зазора. Это происходит потому что, при этом осевом положении широкий зазор области сходится, и узкая область зазора расходится в направлении потока. Несмотря на то что, локальный эксцентриситет в z/L=0.5 равен нулю, т.е. представляет собой концентрические цилиндры, поток не осесимметричен, т.е. u=u(z,θ), и есть тангенциальный поток, как показано на рис. 10. К тому же изменение давления в сечении связано с изменением эксцентриситета вдоль осевого направления. Максимальная скорость примерно , тогда как в концентрических кольцевых потоках максимальная скорость составляет около .

Рис.11. Коэффициент трения как функция амплитуды синусоидального  изменения эксцентриситета вдоль  осевого направления.

Рис.12. Коэффициент трения как функция волнового числа  синусоидального изменения эксцентриситета вдоль осевого направления.