Модели управления рисками брокерской компании на валютном рынке

Значение нижней границы интервала изменения стоимости портфеля является мерой (оценкой) риска, Value-at-Risk - VaR. Считается, что с вероятностью, равной разности между 100% и принятой долей отброшенных неблагоприятных случаев, убытки портфеля не превысят значения VaR. Эта вероятность называется доверительной вероятностью.

Таким образом, метод Value-at-Risk позволяет выразить риск сколь угодно сложного портфеля одним числом.

Однако, для расчета VaR необходимо обладать оценками волатильностей и корреляций для цен (доходностей) инструментов, составляющих портфель. При этом можно использовать как исторические, так и прогнозируемые значения волатильностей и корреляций.    В качестве длины временного горизонта для расчета VaR может быть выбран срок, определяемый выбранной стратегией управления портфелем (например, срок между заседаниями коллегиального органа, принимающего решения о судьбе инвестиционной позиции) или срок, за который портфель можно реализовать на рынке. Таким образом, значение VaR может учесть риск ликвидности. Что касается выбора уровня доверительной вероятности, то тут нельзя дать однозначного совета. В разных организациях используются различные значения доверительной вероятности. Чаще всего используются значения 95%, 99%, 97.5%, 99.9%.

Существуют три основных метода расчета VaR:

• параметрический (дельта-нормальный)
• исторического моделирования
• Монте-Карло [6]

 

1. Параметрический VaR

 

Параметрический метод  расчета VaR подразумевает аналитическое  получение требуемой оценки риска  на основе статистической модели финансового результата по портфелю.

В основе практически  любого параметрического метода (также, как и метода Монте-Карло) лежат  две основных составляющих:

• модель зависимости стоимости финансового результата по портфелю от изменений факторов риска;
• модель волатильностей и корреляций факторов риска.

Учитывая необходимость аналитического расчета потерь в рамках доверительного интервала по портфелю для параметрического метода используются достаточно простые  модели связи портфеля с факторами  риска и простые модели волатильностей и корреляций факторов.

На практике обычно используются два параметрических метода расчета VaR:

• дельта-нормальный VaR
• дельта-гамма VaR

Дельта-нормальный VaR. Наиболее популярным параметрическим методом  расчета Value-at-Risk, является дельта-нормальный метод. При расчете Value-at-Risk дельта-нормальным методом используются предположения о нормальности распределения всех рыночных факторов, влияющих на стоимость портфеля и о линейной связи между изменениями факторов риска и финансовыми результатами по составляющим портфеля. В этом случае, результат по портфелю будет представлять собой сумму нормально распределённых величин, т.е. тоже нормально распределенную величину.

Значение Value-at-Risk согласно дельта-нормальному методу может быть рассчитано согласно следующей формуле:

 

где

D_i - чувствительность (дельта) портфеля к i-му фактору риска (сумма коэффициентов линейной связи с i-м фактором результатов по всем составляющим портфеля);

K - коэффициент, зависящий от выбранной доверительной вероятности (показывает во сколько раз потери для заданной доверительной вероятности больше стандартного отклонения нормального распределения);

s - ковариация i-го и j-го факторов риска;

N - количество факторов риска.

Таким образом, для использования данного метода необходимо знать матрицу ковариаций рыночных факторов (волатильности отдельных факторов будут учтены в данной матрице, как ковариация фактора самого с собой). Эта матрица может быть получена как на основе исторических данных, так и на основе прогнозов.

Двумя наиболее часто  используемыми значениями коэффициента K являются - 2.33 (для вероятности 99%) и 1.65 (для вероятности 95%).

Преимущества дельта-нормального  метода:

• относительная простота реализации.
• быстрота вычислений.
• позволяет использовать различные варианты значений волатильностей и корреляций.

Недостатки дельта-нормального  метода:

• невозможность использования других распределений, кроме нормального, в силу чего не учитываются "тяжелые хвосты".
• невозможность корректного учета рисков нелинейных инструментов.
• сложность для понимания топ-менеджментом.
• вероятность значимых ошибок в используемых моделях.

 

2. Расчет VaR методом исторического моделирования

 

Идея метода исторического  моделирования состоит в использовании исторических изменений цен на составляющие портфель финансовые инструменты для построения распределения будущих изменений цен и потенциальных прибылей и убытков портфеля в целом.

В самой простой и  очевидной реализации данный метод  подразумевает переоценку портфеля в течение некоторого значительного исторического периода (от нескольких месяцев до нескольких лет) с фиксацией максимальных убытков на выбранном временном горизонте с заданной доверительной вероятностью.

Такой подход позволяет  рассмотреть инструменты, составляющие портфель "так как они есть", без каких либо погрешностей, превносимых моделями. Однако это не всегда возможно и не всегда дает однозначно положительный результат.

Во-первых, использование  исторических котировок для конкретных инструментов может быть невозможно (например, в связи трудностями их получения) или явно некорректно, когда инструмент явно поменял свои характеристики на момент расчета по сравнению с историей. Например, риск облигации или векселя не может оцениваться "в лоб" историческим методом, так как со временем у них снижается дюрация и, следовательно, риск. Акции, векселя, иные ценные бумаги могут перейти из одного эшелона в другой, что также поменяет их свойства и т.д.

Данные проблемы могут  быть решены, если оценивать не инструменты по отдельности, а перейти к факторной модели. Это позволит использовать только историю изменений факторов риска, которую проще получить и которая значительно более устойчива с точки зрения сохранения актуальности.

Второй возможной проблемой может быть значительное изменение актуальной конъюнктуры рынков по сравнению накопленной историей. К сожалению, для украинской практики это весьма актуально. Может кардинально измениться волатильности рынков, доходности, измениться поведение регулирующих органов, произойти политические события, существенно влияющие на финансовую сферу и т.д. К сожалению, в данной ситуации опираться на значительную историю вряд ли будет возможно, расчеты VaR желательно будет проводить с учетом текущих оценок и прогнозов, т.е. параметрическим методом или методом Монте-Карло.

Преимущества метода исторического моделирования:

• относительная простота реализации.
• быстрота вычислений.
• возможность избавиться от погрешностей моделирования.
• возможность корректного учета рисков нелинейных инструментов.
• легко объяснить суть метода топ-менеджменту.
• устойчивость оценок.

Недостатки метода исторического  моделирования:

• некорректность результатов в случае, если базовый период не был репрезентативным.
• невозможность использования прогнозных значений волатильностей и корреляций. Неприменимость при значительном изменении положения на рынках.

 

3. Расчет VaR методом Монте-Карло [6]

 

Метод Монте-Карло является самым сложным методом расчета VaR, однако, его точность может быть значительно выше, чем у других методов. Метод Монте-Карло подразумевает осуществление большого количества испытаний - разовых моделирований развития ситуации на рынках с расчетом финансового результата по портфелю. В результате проведения данных испытаний будет получено распределение возможных финансовых результатов, на основе которого путем отсечения наихудших согласно выбранной доверительной вероятности может быть получена VaR-оценка.

Также как и для  параметрического VaR использование  метода Монте-Карло подразумевает  построение следующих моделей:

• модель зависимости стоимости финансового результата по портфелю от изменений факторов риска;
• модель волатильностей и корреляций факторов риска.

Метод Монте-Карло не подразумевает свертывания и  обобщения формул для получения  аналитической оценки портфеля в целом, поэтому и для результата по портфелю и для волатильностей и корреляций можно использовать значительно более сложные модели. Так как оценка VaR методом Монте-Карло практически всегда производится с использованием программных средств, данные модели могут представлять собой не формулы, а достаточно сложные подпрограммы. Т.е. метод Монте-Карло позволяет использовать при расчете рисков модели практически любой сложности.

Преимущества метода Монте-Карло:

• возможность расчета рисков для нелинейных инструментов.
• возможность использования любых распределений.
• возможность моделирования сложного поведения рынков - трендов, кластеров высокой или низкой волатильности, меняющихся корреляций между факторами риска, сценариев "что-если" и т.д.
• возможность дальнейшего, практически ничем не ограниченного развития моделей.

Недостатки метода Монте-Карло:

• сложность реализации.
• требует мощных вычислительных ресурсов.
• сложность для понимания топ-менеджментом.
• при простейших реализациях может оказаться близок или к историческому или параметрическому VaR, что приведет к наследованию всех их недостатков.
• вероятность значимых ошибок в используемых моделях.

При осуществлении оценок риска с использованием метода Монте-Карло  одной из основных проблем является моделирование поведения факторов риска - каждого в отдельности и совместного.

Для моделирования поведения  отдельного фактора риска, как правило, требуется произвести моделирование  псевдослучайной величины с равномерным  распределением или нескольких коррелирующих псевдослучайных величин.

В статьях ниже рассмотрены  несколько подходов к решению  данных задач:

-      Использование  инвертированной функции распределения 

Большинство современных  языков программирования и электронных  таблиц включают функцию, возвращающую равномерно распределенную псевдослучайную величину (u). Случайная величина с функцией распределения F(x) может быть легко получена на основе равномернораспределённой величины путем подстановки её в функцию, обратную функции распределения (инвертированную функцию распределения): y = F^-1(u) Инвертированные функции распределения для большинства стандартных распределений имеются в виде встроенных в пакетах электронных таблиц, например, MS Excel. Также значение данной функции может вычисляться численно на основе известной функции распределения.

-. Моделирование нормального распределения методом Бокса-Мюллера

Нормально распределенная случайная величина может быть легко  смоделирована с использованием двух равномерно распределенных случайных величин u1 и u2 с помощью одной из следующих формул:

При этом случайные величины, моделируемые с помощью данных формул, являются независимыми.

Для оценки риска портфеля методом Монте-Карло необходимо уметь моделировать поведение нескольких факторов риска с учетом их взаимной корреляции - моделировать совместное распределение факторов риска.

Если факторы риска  должны быть представлены в виде нормальных распределений, то каждый из них может  быть представлен в виде линейной комбинации нескольких независимых нормально распределенных случайных величин. Ниже рассмотрим, как с помощью k независимых нормально распределенных случайных величин n₁,..., n_k можно построить k коррелирующих друг с другом, нормально распределённых факторов f₁,..., f_k с матрицей взаимной корреляции (p_ij) (далее для простоты изложения будем считать, что все величины представляют собой чистый "белый шум" - N(0;1) , т.к. нормальные распределения могут быть легко приведены к "белому шуму" путем линейных преобразований).

Пусть F - столбец факторов, N - столбец исходных независимых случайных величин, а P - матрица корреляций факторов. Тогда необходимо найти матрицу A - (a_ij), которая позволяла бы произвести следующее преобразование: