Автор: Пользователь скрыл имя, 28 Марта 2012 в 15:34, реферат
Чаще всего эксперимент ставят для решения одной из двух основных задач. Первую задачу называют экстремальной. Она заключается в отыскании условий процесса, обеспечивающих получение оптимального значения выбранного параметра. Признаком экстремальных задач является требование поиска экстремума некоторой функции. Эксперименты, которые ставят для решения задач оптимизации, называют экстремальными.
В случае k факторов расчет крутого восхождения по оси каждого фактора производят аналогичным образом, так как коэффициенты b1 определяются независимо друг от друга. При этом движение по осям всех факторов осуществляют одновременно.
Шаг движения по градиенту выбирают таким, чтобы его минимальная величина была больше ошибки, с которой фиксируют фактор. Максимальную величину шага ограничивает область определения фактора. Необходимо учитывать, что при движении к оптимуму малый шаг потребует значительного числа экспериментов, а большой шаг может принести к проскоку области оптимума. Шаг движения выбирают для одного фактора, а для остальных его рассчитывают по зависимости
где Dl - выбранный шаг движения для фактора l; Di -— шаг движения для i-го фактора; bi, bl - коэффициенты регрессии i-го и l-го факторов; ei, el - интервалы варьирования i-го н l-го факторов.
Движение по градиенту должно начинаться от нулевой точки (основного уровня каждого фактора), так как коэффициенты регрессии вычислены для функции отклика, разложенной в ряд Тейлора в окрестности нулевой точки. Если коэффициенты регрессии значительно отличаются друг от друга, то рекомендуют изменить интервалы варьирования факторов и провести новую серию экспериментов, ибо при различии коэффициентов на порядок и более многофакторный эксперимент при крутом восхождении может превратиться в однофакторный. Рассчитав шаг движения для каждого фактора, находят условия «мысленных» опытов. «Мысленными» называют эксперименты, условия проведения которых на стадии крутого восхождения установлены с учетом шага движения для каждого фактора. С целью проверки результатов крутого восхождения часть мысленных экспериментов реализуется.
Если при движении к оптимуму возникает ситуация, препятствующая изменению каких-либо факторов, то эти факторы можно фиксировать на оптимальных уровнях, продолжая движение по остальным факторам. Крутое восхождение прекращается, если найдены условия оптимизации или если ограничения на факторы подтверждают дальнейшее движение по градиенту неразумным.
Рассмотрим метод Бокса - Уилсона на примере исследования модифицирования чистого алюминия молибденом. В качестве параметра оптимизации y выбрали число зерен алюминия в 1 см2, определяющееся металлографическими исследованиями.
На параметр оптимизации оказывают существенное влияние следующие факторы: x1 - количество введенного в алюминий молибдена, %; x2 - температура перегрева, 0С; x3 - время нагрева, мин; x4 - скорость охлаждения. x1, x2, x3 - факторы количественные; x1 - фактор качественный, принимающий два значения: быстрое охлаждение в графитовом тигле и медленное охлаждение в шамотном тигле. Выбранные интервалы варьирования и уровни факторов указаны в табл. 16.16.
Таблица 16.16
Уровни и интервалы варьирования факторов
Наименование Факторы
x1
x2
x3
x4
Основной уровень
0,40
840
60
-
Интервал варьирования
0,15
100
60
-
Верхний уровень (+)
0,55
940
120
Графитовый тигель
Нижний уровень (-)
0,25
740
0
Шамотный тигель
Была реализована полуреплика 24-1 с определяющим контрастом 1 = x1x2x3x4. Матрица планирования и результаты исследований представлены в табл. 16.17. Опыты не дублировали. Для определения дисперсии параметра оптимизации было проведено три эксперимента при нахождении факторов на основных уровнях (графитовый тигель). Полученные значения параметра оптимизации yu, его среднее значение , отклонения значений параметра оптимизации от его среднего значения и квадраты этих отклонений приведены в табл. 16.18.
Таблица 16.17
Матрица планирования
Номер экспер.
Порядок реализации экспер.
x0
x1
x2
x3
x4
y
1
4
+
+
+
+
+
100
2
3
+
-
+
+
-
81
3
8
+
+
-
+
-
95
4
5
+
-
-
+
+
36
5
7
+
+
+
-
-
130
6
2
+
-
+
-
+
69
7
1
+
+
-
-
+
90
8
6
+
-
-
-
-
64
Таблица 16.18
Вспомогательная таблица для расчета
Номер экспер.
yu
1
80
0
0
2
82
2
4
3
78
-2
4
Дисперсия параметра оптимизации
Находим коэффициенты модели
Средняя квадратичная ошибка в определении коэффициентов регрессии
Доверительный интервал коэффициентов регрессии
Dbi = ± ts { bi }
При 5 % уровне значимости и числе степеней свободы f = n0 – 1 = 2 табличное значение критерия tт = 4,3. Следовательно, Dbi = ±3,053.
Все коэффициенты регрессии по абсолютной величине больше доверительного интервала, поэтому их можно признать статистически значимыми. Таким образом, получили модель в виде полинома первой степени: y=83,1 + 20 x1 + 11,9 x2 - 5,1x3 - 9,4 x4.
Согласно полученной модели параметр оптимизации возрастает с увеличением значений факторов x1, x2 и уменьшением значений факторов x3, x4. Наибольшее влияние на параметр оптимизации оказывает фактор x1.
Проверку адекватности модели производим по F - критерию Фишера. Для вычисления дисперсии адекватности составим вспомогательную табл. 16.19.
Таблица 16.19
Вспомогательная таблица для расчета
Номер опыта
yj
1
100
101
-1
1
2
81
79
+2
4
3
95
96
-1
1
4
36
37
-1
1
5
130
130
0
0
6
69
71
-2
4
7
90
87
+3
9
8
64
66
-2
4
Табличное значение Fт-критерия при 5% уровне значимости и числах степеней свободы для числителя 3 и для знаменателя 2 равно 19,2, FP<Fт. Следовательно, модель адекватна. Полученное уравнение используем для крутого восхождения по поверхности отклика. Крутое восхождение (табл. 16.20) начинаем из нулевой точки (основные уровни): x1 = 0,40; x2 = 840; x3 = 60; x4 - медленное охлаждение (шамотный тигель), так как быстрое охлаждение приводит к уменьшению параметра оптимизации (b4 = —9,4). Шаг движения для фактора x2 принят D2 = 100С. По формуле (16.14) вычисляем шаг движения для факторов x1 и x3:
Таблица 16.20
Параметры крутого восхождения по поверхности отклика
Наименование
x1
x2
x3
x4
y
Основной уровень
0,40
840
60
-
-
Коэффициент bi
20
11,9
-5,1
-9,4
-
Интервал варьирования ei
0,15
100
60
-
-
bixei
3
1190
-306
-
-
Шаг Di
0,0252
10
-2,57
-
-
Округленный шаг
0,03
10
-3
-
-
Мысленный опыт
0,43
850
57
Шамотный тигель
-
То же
0,46
860
54
То же
-
Реализованный опыт 9
0,49
870
51
“
108
Мысленный опыт
0,52
880
48
“
-
Продолжение таблицы 16.20
То же
0,55
890
45
“
-
Реализованный опыт 10
0,58
900
42
“
196
Реализованный опыт 11
0,61
910
39
“
366
Реализованный опыт 12
0,64
920
36
“
313
Лучший результат получен в 11 эксперименте. Величина параметра оптимизации удовлетворила исследователей, и работа была закончена. Таким образом, потребовалось 12 экспериментов для того, чтобы определить оптимальные условия модифицирования алюминия молибденом.
Информация о работе Полный факторный эксперимент второго порядка