Автор: Пользователь скрыл имя, 28 Марта 2012 в 15:34, реферат
Чаще всего эксперимент ставят для решения одной из двух основных задач. Первую задачу называют экстремальной. Она заключается в отыскании условий процесса, обеспечивающих получение оптимального значения выбранного параметра. Признаком экстремальных задач является требование поиска экстремума некоторой функции. Эксперименты, которые ставят для решения задач оптимизации, называют экстремальными.
-
y7
7
+
+
+
-
-
+
-
-
y7
8
+
-
-
+
+
-
y8
8
+
-
+
-
+
-
+
-
y8
Определяющими контрастами реплики являются соотношения
1= x1x2x3x4; 1= x2x3x5.
Перемножив определяющие контрасты, получим третье соотношение
1= x1x4x5.
Полная характеристика разрешающей способности рассматриваемой реплики будет определяться обобщающим определяющим контрастом, имеющим вид
1= x1x2x3x4= x2x3x5= x1x4x5.
Схему смешивания оценок находим последовательным умножением обобщающего определяющего контраста на x1, x2, x3 и т. д.
x1= x2x3x4= x1x2x3x5= x4x5 b1 → β1 + β234 + β1235 + β45;
x2= x1x3x4= x3x5=x1x2x4x5 b2 → β2 + β134 + β35 + β1245;
x3= x1x2x4= x2x5=x1x3x4x5 b3 → β3 + β124 + β25 + β1345;
x4= x1x2x3= x2x3x4x5= x1x5 b4 → β4 + β123 + β2345 + β15;
x5= x1x2x3x4x5=x2x3= x1x4 b5 → β5 + β12345 + β23 + β14;
x1x2= x3x4= x1x3x5=x2x4x5 b12 → β12 + β34 + β135 + β245;
x1x3= x2x4= x1x2x5=x3x4x5 b13 → β13 + β24 + β125 + β345.
Для 1/16 реплики генерирующими соотношениями
x4= x1x2x3; x5= x1x2; x6= x1x3; x7= x2x3
матрица планирования представлена табл. 16.10. Определяющими контрастами этой реплики будут соотношения
1) 1= x1x2x3x4; 2) 1= x1x2x5; 3) 1= x1x3x6; 4) 1= x2x3x7.
Если попарно перемножить определяющие контрасты 1х2; 1х3; 1х4; 2х3; 2х4; 3х4, то получим
1= x3x4x5; 1= x2x4x6; 1= x1x4x7; 1= x2x3x5x6;
1= x1x3x5x7; 1= x1x2x6x7.
Произведения определяющих контрастов по три: 1x2x3; 1х2х4; 2х3х4; 1х3х4 - будут равны
1= x1x4x5x6; 1= x2x4x5x7;
1= x5x6x7; 1= x3x4x6x7.
Умножая определяющие контрасты по четыре, получим
1= x1x2x3x4x5x6x7.
Чтобы полностью характеризовать разрешающую способность данной реплики, запишем обобщающий определяющий контраст
1= x1x2x3x4= x1x2x5=x1x3x6=x2x3x7=x3x4x5=
x1x2x6x7= x1x4x5x6= x2x4x5x7= x5x6x7=x3x4x6x7= x1x2x3x4x5x6x7.
Если эффектами взаимодействия, начиная с тройных, можно пренебречь, то коэффициенты будут оценками:
b1 → β1 + β25 + β36 + β47; b2 → β2 + β15 + β37 + β46; b3 → β3 + β16 + β27 + β45;
b4 → β4 + β35 + β26 + β17; b5 → β5 + β12 + β34 + β67; b6 → β6 + β13 + β24 + β57;
b7 → β7 + β23 + β14 + β56.
Таким образом, получаем весьма сложную систему смешивания . Все линейные эффекты оказались смешанными с несколькими парными взаимодействиями, поэтому разрешающая способность этой дробной реплики очень низкая. Пользоваться такой репликой можно лишь в том случае, если все парные взаимодействия близки к нулю.
Выбор дробной реплики зависит от конкретной задачи. Для получения линейной модели рекомендуют выбирать дробные реплики с возможно большей разрешающей способностью, т. е. реплики, у которых линейные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия близкими к нулю. При выборе дробной реплики важно учитывать насыщенность плана, т. е. соотношение между числом опытов и числом коэффициентов, определяемых по результатам этих экспериментов. Дробная реплика, полученная заменой всех эффектов взаимодействия новыми факторами, называется насыщенной. Применение насыщенных планов требует минимального числа экспериментов. Число экспериментов в матрице насыщенной дробной реплики равно числу коэффициентов линейной модели. Гипотезу адекватности модели в этом случае проверить невозможно, так как число степеней свободы равно нулю.
Например, 1/16-реплика от полного факторного эксперимента 27 (табл. 16.10) является насыщенной, так как линейная модель не содержит коэффициентов, которые необходимо определить по результатам восьми экспериментов. При этом не остается степеней свободы дли проверки адекватности модели.
Дробные реплики широко применяют при получении линейных моделей. Эффективность применения дробных реплик зависит от удачного выбора системы смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия. При построении дробных реплик используют следующее правило: новый фактор, введенный в планирование, нужно поместить в столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь.
16.4. Свойства матриц полного и дробного
факторных экспериментов
Для матриц таких экспериментов характерны следующие свойства.
1. Свойство симметричности относительно центра эксперимента - алгебраическая сумма элементов столбца каждого фактора равна нулю:
где j - номер опыта; i - номер фактора; N - число опытов в матрице.
2. Свойство нормировки - сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов:
3. Свойство ортогональности - сумма построчных произведений элементов любых двух столбцов равно нулю:
где i, l - номера факторов, причем i¹l.
Ортогональность является одним из наиболее важных свойств матрицы. Ортогональность матрицы позволяет оценить все коэффициенты уравнения регрессии независимо друг от друга, т. е. величина любого коэффициента не зависит от того, какие величины имеют другие коэффициенты. Если тот или иной коэффициент регрессии окажется незначимым, то его можно не учитывать, не пересчитывая остальных.
4. Свойство ротатабельности: точки в матрице планирования подбирают так, что математическая модель, полученная по результатам полного или дробного факторных экспериментов, способна предсказывать параметры оптимизации с одинаковой точностью в любых направлениях на равных расстояниях от центра эксперимента. Это очень важное свойство матрицы, так как, начиная эксперимент, исследователь не знает, в каком направлении предстоит двигаться в поисках оптимума.
16.5. Проведение эксперимента и обработка его результатов
После выбора плана эксперимента, основных уровней и интервалов варьирования факторов переходят к эксперименту. Каждая строка матрицы - что условия эксперимента. Для исключения систематических ошибок рекомендуется эксперименты, предусмотренные матрицей, проводить в случайной последовательности. Порядок проведения следует выбирать по таблице случайных чисел (табл. 11). Например, если требуется провести восемь экспериментов, то из случайного места таблицы последовательно выписывают числа, лежащие в интервале от 1 до 8, при этом не учитываются уже выписанные и числа больше восьми. Так, например, начиная с числа 87 (1-я строка табл. 16.11), получаем следующую последовательность реализации экспериментов:
Номер опыта в матрице
Порядок реализации экспериментов 7 2 8 3 1 4 5 6
Таблица 16.11Фрагмент таблицы случайных чисел
87
63
88
23
62
51
07
69
59
02
89
49
14
98
53
41
92
36
07
76
85
37
84
37
47
32
25
21
15
08
82
34
57
57
35
22
03
33
48
84
37
37
29
38
37
89
76
25
09
69
44
61
88
23
13
01
59
47
64
04
99
59
96
20
30
87
31
33
69
45
58
48
00
83
48
94
44
08
67
79
41
61
41
15
60
11
88
83
24
82
24
07
78
61
89
42
58
88
22
16
13
24
40
09
00
65
46
38
61
12
90
62
41
11
59
85
18
42
61
29
88
76
04
21
80
78
27
84
05
99
85
75
67
80
05
57
05
71
70
21
31
99
99
06
96
53
99
25
13
63
Для компенсации влияния случайных погрешностей каждый эксперимент рекомендуется повторить n раз. Эксперименты, повторенные несколько раз при одних и тех же значениях факторов, называют параллельными. Под дублированием понимают постановку параллельных экспериментов. Обычно число n параллельных экспериментов принимают равным 2-3, иногда – 4-5. При проведении исследований приходится иметь дело с тремя вариантами дублирования экспериментов: 1) с равномерным дублированием экспериментов; 2) с неравномерным дублированием экспериментов; 3) без дублирования экспериментов.
При равномерном дублировании все строки матрицы планирования имеют одинаковые числа параллельных экспериментов. В случае неравномерного дублирования числа параллельных экспериментов неодинаковы. При отсутствии дублирования параллельные эксперименты не проводятся. Наиболее предпочтительным из трех вариантов дублирования является первый. При этом варианте эксперимент отличается повышенной точностью, а математическая обработка экспериментальных данных - простотой. Характер дублирования влияет на содержание математической обработки результатов наблюдений. Рассмотрим методику обработки результатов эксперимента для каждого из трех вариантов дублирования.
Обработка результатов эксперимента при равномерном дублировании. Для каждой строки матрицы планирования по результатам n параллельных экспериментов находят среднее арифметическое значение параметра оптимизации:
где u - номер параллельного эксперимента; yju - значение параметра оптимизации в u-м параллельном эксперименте j-й строки матрицы.
С целью оценки отклонений параметра оптимизации от его среднего значения для каждой строки матрицы планирования вычисляют дисперсию эксперимента по данным n параллельных экспериментов. Статистической дисперсией называют среднее значение квадрата отклонений случайной величины от ее среднего значения:
Ошибка sj эксперимента определяется как корень квадратный из дисперсии
В этом случае ошибка при большом рассеянии будет значительной. Рассеяние результатов эксперимента определяется влиянием неуправляемых факторов, погрешностями измерений и другими причинами. Большое рассеяние изучаемой величины может произойти из-за наличия в эксперименте сомнительных результатов. Для проверки сомнительных, т. е. резко выделяющихся результатов, используют специальные критерии; одним из таких критериев является отношение U (ГОСТ 11.002-73). Чтобы оценить принадлежность резко выделяющихся результатов yj max или yj min к данной нормальной совокупности и принять решение об исключении или оставлении их в составе выборки, находят отношение
или
где yj max - наибольшее значение параметра оптимизации среди его значений, полученных в n параллельных экспериментах j-й строки матрицы планирования; yj min - наименьшее значение параметра оптимизации среди его значений, полученных в n параллельных экспериментах j-й строки матрицы планирования.
Результат сравнивают с величиной b, взятой из ГОСТ 11.002-73 (табл. 1) для числа n параллельных экспериментов и принятого уровня значимости a. Число n параллельных экспериментов и объем выборки n в рассматриваемом случае понятия равноценные. Если Umax³b, то сомнительный результат может быть исключен, в противном случае его считают нормальным и не исключают.
Аналогично производится оценка результата yj min: если Umin³b, то сомнительный результат признают анормальным; при Umin<b подозреваемый в анормальности результат считают нормальным. Чтобы числа параллельных экспериментов были одинаковы во всех строках матрицы, необходимо повторить те, результаты которых были признаны анормальными. В математической статистике для проверки гипотез пользуются критериями согласия. Для того чтобы принять или забраковать гипотезу при помощи этих критериев, устанавливают уровни значимости их. Уровень значимости представляет собой достаточно малое значение вероятности, отвечающее событиям, которые в данной обстановке исследования можно считать практически невозможными.
Информация о работе Полный факторный эксперимент второго порядка