Полный факторный эксперимент второго порядка

                                        (16.11)

где  - среднее арифметическое значение параметра оптимизации в j-м эксперименте; - значение параметра оптимизации, вычисленное по модели для условий j-го опыта; f - число степеней свободы, равное N - (k + 1); k - число факторов.

          Последним этапом обработки результатов эксперимента является проверка гипотезы адекватности найденной модели. Проверку этой гипотезы производят по F-критерию Фишера:

                                                           (16.12)

          Если значение FP<Fт для принятого уровня значимости и соответствующих чисел степеней свободы, то модель считают адекватной. При FP>Fт гипотеза адекватности отвергается. Таким образом, обработка результатов эксперимента при равномерном дублировании экспериментов может быть представлена следующей схемой:

          1) для каждой строки матрицы планирования по формуле  вычисляют среднее арифметическое значение  параметра оптимизации;

          2) по формуле (16.4) определяют дисперсию  каждого опыта матрицы планирования;

          3) используя критерий Кохрена, проверяют гипотезу однородности дисперсий  опытов;

          4) если дисперсии опытов однородны, то по формуле (16.5) вычисляют дисперсию  воспроизводимости эксперимента;

          5) по формулам (16.6), (16.7), (16.8) определяют коэффициенты уравнения регрессии;

          6) по зависимости (16.9) находят дисперсии s2{bi} коэффициентов регрессии;

          7) по формуле (16.10) устанавливают величину доверительного интервала Dbi;

          8) проверяют статистическую значимость коэффициентов регрессии;

          9) по зависимости (16.11) определяют дисперсию  адекватности;

          10) с помощью F-критерия проверяют гипотезу адекватности модели.

          В заключение необходимо отметить, что использование критериев Кохрена, Стьюдента и Фишера предполагает нормальное распределение результатов эксперимента.

          Обработка результатов эксперимента при неравномерном дублировании. Результаты отдельных экспериментов иногда получаются ошибочными, и их приходится исключать. Вследствие этого числа параллельных экспериментов оказываются неодинаковыми. Бывают и другие случаи, когда по тем или иным причинам не удается провести одинаковое число параллельных экспериментов в каждом из основных. При неодинаковых числах параллельных экспериментов нарушается ортогональность матрицы планирования и, как следствие, изменяются формулы для определения коэффициентов регрессии и их ошибок. Расчет коэффициентов регрессии и их ошибок при неодинаковых числах параллельных опытов усложняется.

          Обработка результатов эксперимента при неравномерном дублировании производится по следующей схеме:

          1. Для каждой строки матрицы планирования находят  - среднее арифметическое значение параметра оптимизации

где nj - число параллельных экспериментов в j-й строке матрицы.

          2. Для каждой строки матрицы вычисляют дисперсию  эксперимента;

          3. Проверяют с помощью критерия Бартлета гипотезу однородности дисперсий. Для этого подсчитывают дисперсию  воспроизводимости эксперимента по формуле

где fj - число степеней свободы, с которым определялась дисперсия  i-го эксперимента.

          После этого определяют величину

где

          Бартлет показал, что величина Q приближенно подчиняется c2 -  распределению с (N - 1) степенями свободы, где N - число сравниваемых дисперсий.

          Если Q меньше  (табл. 16.15) для данного числа (N - 1) степеней свободы и принятого уравнения значимости, то дисперсии однородны, и наоборот. Критерий Бартлета основан на нормальном распределении. Если распределение случайной величины не подчиняется нормальному закону, то проверка однородности дисперсий может привести к ошибочным результатам.

          Рассмотрим применение критерия Бартлета для проверки однородности дисперсий. Матрица планирования предусматривала выполнение четырех экспериментов. Первый был повторен пять раз,  второй - шесть, третий и четвертый - по четыре раза. При этом дисперсия первого эксперимента  равна 3,5; второго – 4,22; третьего — 5,88; четвертого — 11,36. Необходимо проверить, верна ли гипотеза об однородности дисперсий.

Таблица 16.15

    Значения c2 при 5 % - ном  уровне значимости

Число степеней свободы             

Значения c2             

Число степеней свободы             

Значения c2

1             

3,84             

16             

26,3

2             

5,99             

17             

27,6

3             

7,82             

18             

28,9

4             

9,49             

19             

30,1

5             

11,07             

20             

31,4

6             

12,59             

21             

32,7

7             

14,07             

22             

33,9

8             

15,51             

23             

35,2

9             

16,92             

24             

36,4

10             

18,31             

25             

37,7

11             

19,68             

26             

38,9

12             

21,0             

27             

40,1

13             

22,4             

28             

41,3

14             

23,7             

29             

42,6

15             

25,0             

30             

43,8

          Дисперсия параметра оптимизации

  Вычисляем величину с:

          Определяем Q:

          Табличное значение  для трех степеней свободы (N –1 = 3) и 5 % уровня значимости равно 7,82. Так как Q<, то гипотеза однородности дисперсий принимается.

          4. Вычисляют коэффициенты bi уравнения регрессии, дисперсии s2{bi} коэффициентов регрессии и ошибки s{bi} в определении коэффициентов.

          5. Для каждого коэффициента регрессии находят расчетное значение t-критерия

          Сравнивают расчетное значение tp с табличным значением tт критерия. Табличное значение критерия находят для принятого уровня значимости и числя степеней свободы f, которое в рассматриваемом случае определяют по зависимости

          Коэффициент значим при tр>tт и незначим при tp<tт. Статистически незначимые коэффициенты могут быть исключены из уравнения регрессии. При исключении статистически незначимых коэффициентов из уравнения оставшиеся коэффициенты пересчитывают с использованием метода наименьших квадратов.

          6. Определяют дисперсию адекватности

где nj - число параллельных экспериментов в j-й строке матрицы.

          7. Проверяют гипотезу адекватности полученной модели с помощью F-критерия, используя для этого формулу (16.12). Если FP<Fт для принятого уровня значимости и соответствующих чисел степеней свободы, то модель считают адекватной. При FP>Fт гипотеза адекватности отвергается.

          Обработка результатов эксперимента при отсутствии дублирования. Обработку результатов эксперимента в этом случае производят по следующей схеме.

          1. Для вычисления дисперсии  воспроизводимости эксперимента выполняют несколько параллельных опытов в нулевой точке (в центре плана). При постановке опытов в нулевой точке все факторы находятся на нулевых уровнях. По результатам исследований в центре плана вычисляют дисперсию  воспроизводимости эксперимента

где n0 - число параллельных экспериментов в нулевой точке; yu - значение параметра оптимизации в u-м опыте;  - среднее арифметическое значение параметра оптимизации в n0 параллельных экспериментах.

          2. Закончив эксперимент, вычисляют коэффициенты модели. Свободный член b0 определяют по формуле

          Коэффициенты регрессии, характеризующие линейные эффекты, вычисляют по зависимости

          Коэффициенты регрессии, характеризующие эффекты взаимодействия, определяют по формуле

где i, l - номера факторов; j - номер строки или опыта в матрице планирования; yj-значение параметра оптимизации в j-м опыте; xij, xlj - кодированные значения (±1) факторов i и l в j-м опыте.

          3. Проверяют статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии. Проверку значимости коэффициентов можно производить двумя способами: 1) сравнением абсолютной величины коэффициента с доверительным интервалом; 2) с помощью t-критерия.

          При проверке значимости коэффициентов первым способом для определения доверительного интервала вычисляют дисперсии коэффициентов регрессии по зависимости

                                                 (16.13)

где s2{bi}  - дисперсия i-го коэффициента регрессии; N - число строк или опытов в матрице планирования.

          Из формулы (16.13) следует, что дисперсии всех коэффициентов равны. Доверительный интервал Dbi определяют по формуле (16.10). Значение t-критерия, входящего в эту формулу, находят по таблице для принятого уровня значимости  и  числа  степеней  свободы f, которое определяют по зависимости f = n0 - 1. Коэффициент регрессии значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала. При проверке значимости коэффициентов вторым способом вычисляют критерий tp

и сравнивают его с табличным tт. Коэффициент значим, если tp>tт для принятого уровня значимости и числа степеней свободы, определенного по формуле f = n0 -1. Критерий Стьюдента t вычисляют для каждого коэффициента регрессии. Статистически незначимые коэффициенты регрессии могут быть исключены из уравнения.

          4. Определяют дисперсию , адекватности по формуле

где yj - наблюденное значение параметра оптимизации в j-м эксперименте; - значение параметра оптимизации, вычисленное- по модели для условий j-го эксперимента; f - число степеней свободы, которое для линейной модели определяется по зависимости  f = N - (k + 1), где k - число факторов.

          5. Проверяют гипотезу адекватности модели но F-критерию, используя для определения Fр- критерия формулу (16.12).

          Если Fp<Fт для принятого уровня значимости и соответствующих чисел степеней свободы, то модель считают адекватной. При Fp>Fт гипотеза адекватности отвергается. В этом случае для получения адекватной модели принимают одно из следующих решений: 1) переходят к планированию второго или более высокого порядка; 2) уменьшают интервалы варьирования и ставят новый эксперимент, повторяя эти действия до получения адекватной линейной модели.

          Если линейная модель адекватна, то переходят к методу крутого восхождения. Необходимо заметить, что крутое восхождение эффективно тогда, когда все коэффициенты при факторах значимы. Незначимость некоторых коэффициентов может получиться вследствие неудачно выбранных интервалов варьирования; включения факторов, не влияющих на параметр оптимизации; большой ошибки эксперимента.

          Принятие решения в данной ситуации зависит от того, какая из трех гипотез выбрана. Если принята первая гипотеза, то изменяют интервалы варьирования по незначимым факторам и ставят новую серию экспериментов. Если принята вторая, то не влияющие факторы стабилизируют и исключают из экспериментов. Если принята третья гипотеза, то увеличивают число параллельных экспериментов. Увеличение их числа приводит к уменьшению дисперсии коэффициентов и величины доверительного интервала, в результате все или часть коэффициентов могут оказаться значимыми. Возможен случай, когда все коэффициенты, кроме b0, незначимы, а модель адекватна. Такая ситуация чаще всего возникает из-за слишком узких интервалов варьирования или вследствие большой ошибки эксперимента. В этой ситуации возможны два решения: 1) расширение интервалов варьирования или 2) повышение точности эксперимента путем улучшения методики проведения и увеличения числа параллельных экспериментов.

16.6. Крутое восхождение по  поверхности отклика

          Градиентом называют вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Градиент (Ñj) непрерывной однозначной функции j есть вектор:

где  - частная производная функции по i-му фактору;

- единичные векторы и направлении осей факторов.

          Согласно теореме Тейлора о разложении аналитической функции в ряд, частные производные функции по факторам равны по величине и знаку соответствующим коэффициентам регрессии. Следовательно, градиент Ñy функции отклика y есть вектор:

          Движение по градиенту обеспечивает наиболее короткий путь к оптимуму, так как направление градиента - это направление самого крутого склона, ведущего от данной точки к вершине.

          Если изменять факторы пропорционально их коэффициентам с учетом знака, то движение к оптимуму будет осуществляться по самому крутому пути. Этот процесс движения к области оптимума называют крутым восхождением. Технику расчета крутого восхождения рассмотрим на примере задачи с одним фактором x1 (рис.16.2). Предположим, что кривая I представляет собой неизвестную функцию отклика. В результате реализации плана эксперимента с центром в точке О получено уравнение регрессии y = b0 + b1x1, адекватно описывающее функцию отклика в области значений фактора x1 от  -1 до +1. Значение коэффициента регрессии b1 равно тангенсу угла между линией регрессии и осью данного фактора. Если шаг движения по оси x1 принять равным Dx, то, умножив его на b1, получим координаты (Dx и b1Dx) точки А, лежащей на градиенте. После второго шага расстояние по оси x1, будет равно 2Dx. Умножив 2Dx на b1, найдем координаты 2Dx и 2b1Dx точки В, лежащей на градиенте, и т. д. Затем проводят эксперименты с условиями, отвечающими точкам на градиенте. По результатам этих экспериментов  определяют область оптимума. В практических задачах для сокращения объема эксперимента проводят не все, а только часть экспериментов, предусмотренных крутым восхождением. Условия проведения выбирают так, чтобы область оптимума можно было заключить в «вилку». После этого эксперименты проводят в точках интервала, образованного точками «вилки», до нахождения наилучшего результата.