Автор: Пользователь скрыл имя, 28 Марта 2012 в 15:34, реферат
Чаще всего эксперимент ставят для решения одной из двух основных задач. Первую задачу называют экстремальной. Она заключается в отыскании условий процесса, обеспечивающих получение оптимального значения выбранного параметра. Признаком экстремальных задач является требование поиска экстремума некоторой функции. Эксперименты, которые ставят для решения задач оптимизации, называют экстремальными.
16.2. Полный факторный эксперимент
К оптимизации приступают при наличии некоторых результатов предварительных исследований изучаемого объекта. Решение задачи оптимизации начинают с выбора области эксперимента. Выбор этой области производят на основе анализа априорной информации. В области эксперимента устанавливают основные уровни и интервалы варьирования факторов. Основным или нулевым уровнем фактора называют его значение, принятое за исходное в плане эксперимента. Основные уровни выбирают таким образом, чтобы их сочетание отвечало значению параметра оптимизации, по возможности более близкому к оптимальному. Каждое сочетание уровней факторов является многомерной точкой в факторном пространстве. Сочетание основных уровней принимают за исходную точку для построения плана эксперимента. Построение плана эксперимента состоит в выборе экспериментальных точек, симметричных относительно исходной точки или, что одно и то же, центра плана.
Интервалом варьирования фактора называют число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень фактора, а вычитание - нижний. Интервал варьирования не может быть выбран меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора, а также не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровни выходили за пределы области определения фактора. При этом необходимо учитывать, что увеличение интервалов варьирования затрудняет возможность линейной аппроксимации функции отклика.
Для удобства записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных уровни факторов кодируют. В кодированном виде верхний уровень обозначают +1, нижний - 1, а основной 0. Кодированное значение фактора xi определяют по зависимости
где - натуральное значение i-го фактора; - натуральное значение основного уровня i-го фактора; - интервал варьирования i-го фактора.
При кодировании качественных факторов, имеющих два уровня, верхний уровень обозначается +1, а нижний - 1. Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом. Если число уровней каждого фактора m, а число факторов k, то число N всех сочетаний уровней факторов, а следовательно, и число экспериментов определяется зависимостью
N = mk.
Цель первого этапа планирования экстремального эксперимента - получение линейной модели. Он предусматривает варьирование факторов на двух уровнях. Возможное количество сочетаний уровней факторов в этом случае равно 2k.
Факторный эксперимент осуществляют с помощью матрицы планирования, в которой используют кодированные значения факторов. Так, например, для двух факторов полный факторный эксперимент типа 2k можно представить матрицей, приведенной в табл. 16.1. Число строк в матрице равно количеству экспериментов. Знаками +1 и -1 обозначают уровни факторов x1 и x2. Значения функции отклика, полученные при выполнении экспериментов, обозначены через y1, y2, y3 и y4.
Для упрощения записи условий эксперимента в матрице планирования вместо +1 пишут только +, а вместо -1 — только -.
Для движения по градиенту необходима линейная модель. При k = 2 моделью будет уравнение регрессии вида y=b0 + b1x1 + b2x2.
Значения коэффициентов в этом уравнении определяют с помощью значений функции отклика, полученных в результате экспериментов.
Под числом степеней свободы в статистике понимают разность между числом опытов и количеством коэффициентов модели, вычисленных по результатам этих экспериментов независимо друг от друга. Число степеней свободы f при линейной модели определяется по зависимости
f = N – (k+1),
Таблица 16.1
Матрица факторного эксперимента 22 Матрица планирования
Номер
экспер.
x1
x2
y
Номер
экспер.
x0
x1
x2
x1x2
y
1
-
-
y1
1
+
-
-
+
y1
2
+
-
y2
2
+
+
-
-
y2
3
-
+
y3
3
+
-
+
-
y3
4
+
+
y4
4
+
+
+
+
y4
где N - число экспериментов; k - число факторов.
Так, например, при двух факторах число N экспериментов равно четырем, а для определения коэффициентов уравнения регрессии y=b0 + b1x1 + b2x2 достаточно результатов трех. Таким образом, число степеней свободы в рассматриваемом случае, равное единице, может быть использовано для проверки адекватности модели. Величина и знак коэффициента указывают на вклад данного фактора в общий результат при переходе с нулевого на верхний или нижний уровень фактора.
Линейным называют эффект, характеризующий линейную зависимость параметра оптимизации от соответствующего фактора. Эффектом взаимодействия называют эффект, характеризующий совместное влияние нескольких факторов на параметр оптимизации. Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценить линейные эффекты и все эффекты взаимодействия. Для полного факторного эксперимента типа 22 уравнение регрессии с учетом эффектов взаимодействия можно представить зависимостью
y=b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1x2.
Для этого эксперимента матрица планирования приведена в табл. 16.2. В этой матрице содержится столбец фиктивной переменной x0. Он вводится для оценки свободного члена b0. Столбец x1x2 получен перемножением столбцов x1 и x2. Он введен для расчета коэффициента b12 При k = 2 построение матриц полного факторного эксперимента не вызывает затруднений, так как все возможные сочетания уровней факторов легко найти простым перебором. При увеличении числа факторов количество возможных сочетаний уровней быстро возрастает, поэтому возникает необходимость в некоторых приемах построения матриц. Рассмотрим два наиболее простых приема. Первый прием основан на правиле чередования знаков. В первом столбце (x1) знаки чередуются поочередно, во втором они чередуются через 2, в третьем - через 4, в четвертом - через 8, в пятом - через 16 и т. д. по степеням двойки.
Второй прием основан на последовательном достраивании матрицы. Для этого при добавлении нового фактора необходимо повторить комбинации уровней исходного плана сначала при значении нового фактора на верхнем уровне, а затем на нижнем. Последовательное достраивание матрицы при увеличении числа факторов от 2 до 5 показано в табл. 16.3.
Таблица 16. 3
Схема построения матрицы при увеличении числа факторов от 2 до 5
Номер опыта
x0
x1
x2
x3
x4
x5
1
+
+
+
+
+
+
2
+
-
+
+
+
+
3
+
+
-
+
+
+
4
+
-
-
+
+
+
5
+
+
+
-
+
+
6
+
-
+
-
+
+
7
+
+
-
-
+
+
8
+
-
-
-
+
+
9
+
+
+
+
-
+
10
+
-
+
+
-
+
11
+
+
-
+
-
+
12
+
-
-
+
-
+
13
+
+
+
-
-
+
14
+
-
+
-
-
+
15
+
+
-
-
-
+
16
+
-
-
-
-
+
17
+
+
+
+
+
-
18
+
-
+
+
+
-
19
+
+
-
+
+
-
20
+
-
-
+
+
-
21
+
+
+
-
+
-
22
+
-
+
-
+
-
23
+
+
-
-
+
-
24
+
-
-
-
+
-
25
+
+
+
+
-
-
26
+
-
+
+
-
-
27
+
+
-
+
-
-
28
+
-
-
+
-
-
29
+
+
+
-
-
-
30
+
-
+
-
-
-
31
+
+
-
-
-
-
32
+
-
-
-
-
-
16.3 Дробный факторный эксперимент
При большом числе факторов (k>3) проведение полного факторного эксперимента связано с большим числом, экспериментов, значительно превосходящим число коэффициентов линейной модели. Если при получении модели можно ограничиться, линейным приближением, т. е. получить адекватную модель в виде полинома y=b0 + b1x1 + b2x2 +...+ bkxk, то число экспериментов можно резко сократить в результате использования дробного факторного эксперимента. Так, например, в полном факторном эксперименте типа 22 при линейном приближении коэффициент регрессии b12 можно принять равным нулю, а столбец x1x2 матрицы (табл. 16.4) использовать для третьего фактора x3.
Таблица 16.4
Матрица планирования
Номер экспер.
x0
x1
x2
x3 (x1x2)
y
1
+
+
+
+
y1
2
+
-
+
-
y2
3
+
+
-
-
y3
4
+
-
-
+
y4
В этом случае линейная модель будет определяться уравнением y=b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3. Для определения коэффициентов этого уравнения достаточно провести четыре эксперимента вместо восьми в полном факторном эксперименте типа 23. План эксперимента, предусматривающий реализацию половины экспериментов полного факторного эксперимента, называют полурепликой. При увеличении числа факторов (k>3) возможно применение реплик большей дробности. Дробной репликой называют план эксперимента, являющийся частью плана полного факторного эксперимента. Дробные реплики обозначают зависимостю 2k-p, где p - число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия. При p = 1 получают полуреплику; при p = 2 получают ¼ - реплику; при p = 3 получают ⅛ - реплику и т. д. по степеням двойки. Так, например, если в полном факторном эксперименте 23 (табл. 16.5) один из эффектов взаимодействия (x1x2, x1x3, x2x3, x1x2x3) заменим четвертым фактором x4, то получим полуреплику 24-1 от полного факторного эксперимента 24. Если два эффекта взаимодействия заменить факторами x4 и x5, то получим ¼-реплику 25-2 от полного факторного эксперимента 25.
Таблица 16.5
Матрица полного факторного эксперимента типа 23
Номер экспер.
x0
x1
x2
x3
Информация о работе Полный факторный эксперимент второго порядка