Контрольная работа по «Экономико-математические методы и прикладные модели»

     3) Оценить адекватность построенных  моделей, используя свойства независимости  остаточной компоненты, случайности  и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

     4) Оценить точность моделей на  основе использования средней  относительной ошибки аппроксимации.

     5) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели  (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

     6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования  представить графически.

 Вычисления  провести с одним знаком в  дробной части. Основные промежуточные  результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями). 

      Решение  

      1) Проверим наличие  аномальных наблюдений методом Ирвина:

, где  среднеквадратическое отклонение рассчитываем, используя следующие формулы:

 ,     

      Построим  следующий ряд, используя MS Excel:

      

           

      Анамальных  наблюдений во временном ряду нет, так как расчетные значения λ _t меньше табличного λ _t < 1,6 . 

      2) Построим линейную  модель вида Y_р(t) = a₀ + a₁t по методу наименьших квадратов. Коэффициенты а₀ и а₁ линейной модели найдем из решения нормальной системы уравнений:

     

      Известно, что 

      Построим  следующую таблицу, используя MS Excel:

                     

      Линейная  модель имеет вид: Y(t) = 3,9 + 4t 

 

      4) Оценим адекватность  построенной модели  используя MS Excel. Для нахождения необходимых показателей построим таблицу:

      ξ_t = 0, значит модель адекватна. 

• В нашем  примере общее число поворотных точек 5.

         _{Критерий  случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 имеет вид:}

_{5 > 2}

      _{Так как число поворотных точек всех моделей  больше 2 (условие  выполняется), следовательно, критерий случайности ряда остатков выполнен.}

• Условие соответствия ряда остатков нормальному закону распределения проведен по RS - критерию:

    0,93

   

      Расчетное значение - критерия не попадает в интервал [2,7;3,7], следовательно гипотеза о нормальном распределении ряда остатков отвергается. 

      5) Оценим точность  построенной модели  на основе относительной  ошибки аппроксимации, рассчитанной по формуле:

      

      _{Так как ошибка не превышает 15%, значит, точность модели считается приемлемой.}  

      6) Строим прогноз  по построенным  моделям:

      Точечный прогноз получается путем подстановки в модель значений времени t, соответствующих периоду упреждения k: t = n+k. Так, в случае трендовой модели в виде полинома первой степени - линейной модели роста - экстраполяция на k шагов вперед имеет вид:

      Точечный  прогноз на следующие две недели имеет вид:

Y_n+1= 3,9 + 4(9+1)=43,9

Y_n+2= 3,9 + 4(9+2)= 47,9 

      Учитывая, что модель плохой точности будем прогнозировать с небольшой вероятностью Р=0,7

      Доверительный интервал:

      Критерий  Стьюдента (при доверительной  вероятности  р = 0,7; ν = n-2= 9-2=7), равен: t= 1,119

             

      

    Интервальный  прогноз равен  U₁₀ = 43,9 ± 1,25

                                                            U₁₁= 47,9 ± 0,85

 
 

      7) Представим графически  результаты моделирования  и прогнозирования  для этого составим  таблицу: