Контрольная работа по «Экономико-математические методы и прикладные модели»

      Задача 1

      Решить  графическим методом  типовую задачу оптимизации

      Финансовый  консультант фирмы «АВС» консультирует  клиента по оптимальному инвестиционному  портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25 000 долл.) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».

        Анализируются акции «Дикси –  Е» и «Дикси – В». Цены на  акции: «Дикси – Е» - 5 долл. за  акцию; «Дикси – В» - 3 долл. за  акцию.

      Клиент  уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук.

      По  оценкам  «АВС», прибыль от инвестиций в эти акции в следующем  году составит: «Дикси – Е» - 1,1 долл.; «Дикси – В» - 0,9 долл.

      Задача  консультанта состоит в том, чтобы  выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.

      Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии  к ее элементам  и получить решение  графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему? 

      Решение:

1. Для решения задачи приведем все вышеперечисленные величины в таблицу:

 
 

   2) Математическая  формализация задачи.

     Пусть: X₁ – количество акций «Дикси-Е»,

                X₂ – количество акций «Дикси-В».

     Тогда стоимость акций будет задаваться целевой функцией:

     

     Экономико-математическая модель задачи имеет вид:

     

     Ограничения по необходимому максимуму количества акций:

     

     3) Для  получения решения графическим методом строим прямые:

     

 Построим  прямые ограничения (Рис. 1):

          (5000; 8333,3)

              (3500; 2500)

                  (5000; 0)

                   (0; 5000)

 и линию уровня:

      (0; 0); (4500; -5500)

 

     

      Построим  векто-градиент перпендикулярный линии уровня , При перемещении линии уровня в направлении вектора-Градиента получаем точку С, это и есть точка максимума, найдем ее координаты – оптимальное решение.

    5х₁ +3 х₂ = 25 000         5х₁ +3 х₂ = 25 000         30000 – 5 х₂ + 3 х₂ = 25000

     х₁ + х₂ =  6000;            х₁ = 6000 – х₂;               х₁ = 6000 – х₂;

   

    - 2 х₂ = -5000           х₂ = 2500

     х₁ = 6000 – х₂;          х₁ = 3500.

     Точка С (3500;2500)

      Значение  целевой функции в  точке С (2500; 3500) равно:

     

     Ответ: чтобы обеспечить оптимальную прибыль от инвестиций необходимо купить: акций Дикси- Е - 3500 шт. и акций Дикси- В - 2500 шт., при этом прибыль от двух видов купленных акций составит – 6100 долл..

     Если  решать задачу на min то надо двигаться по линии вектора-градиента в обратном направлении линии уровня и иксы поменяют друг с другом свои значения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Задача 2 

      Использовать  аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования

     На  основании информации, приведенной  в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

 

       Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 45 кг, а II – уменьшить на 9 кг;
• оценить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 11 ед., на изготовление которого расходуется 9, 4 и 6 кг соответствующего вида сырья.

 
 

     Решение: 

      1) Сформулируем экономико-математическую модель исходной задачи на максимум выручки от реализации готовой продукции.

      Обозначим переменные:

      Пусть  х₁ – число единиц продукции A;

             х₂ – число единиц продукции Б;

             х₃ – число единиц продукции В.

      Число ограничений исходной задачи линейного  программирования соответствует числу используемых для изготовления изделий типов сырья и равно 3. Зная цены изделий, нормы расхода сырья на их изготовление и запасы сырья, формулируем математическую модель исходной задачи линейного программирования:

                  

                  

      Оптимальный план выпуска продукции будем  искать с помощью настройки «Поиск решения» MS Excel. Сначала занесем исходные данные:

             

                                  

      Теперь  будем искать  оптимальное решение  с помощью настройки «Поиск решения»:

        

      В результате будет получена следующая  таблица:

         

Рисунок 3

      Использование надстройки  «Поиск решение»  программного средства позволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий x₁ =0; x₂ =8; x₃ =20. Целевая функция имеет максимальное для данных условий задачи значение f(x) = 400.

      Таким образом, чтобы получить максимум выручки в размере 400 ден. ед. необходимо изготовить 8 единиц продукции Б и 20 единиц продукции В, а продукция вида А убыточна (x₁ =0) ее можно не производить.  

      2) Сформулируем двойственную задачу и найдем ее оптимальный план.

      Обозначим переменные:

      Пусть  y₁ – цена единицы ресурса продукции A;

             y₂ – цена единицы ресурса продукции Б;

             y₃ – цена единицы ресурса продукции В.

      Математическая  модель двойственной задачи имеет вид:

   g(y_1, y_2, y₃)= 360y₁ + 192y₂ + 180y₃   → min 

      

      Найдем  решение двойственной задачи с помощью  теоремы двойственности. Проверим выполнение системы неравенств прямой задачи:

      

      Для нахождения оценок (у₁,у₂,у₃) используем вторую теорему двойственности . Так как третье ограничение выполняется как строгое неравенство, то у₃ =0. Так как х₂ ≠ 0 и х₃ ≠ 0,то получаем систему уравнений:

                             

      Двойственная задача имеет оптимальное решение у* = ( , , ).

Сырье первого типа имеет цену , сырье второго типа имеет цену , сырье третьего типа имеет цену 0.

      Проверим  выполнение первой теоремы двойственности:

      f(x^*) = 0+10·8+16·20 = 400

      g(y^*) = 360 + 192 + 0 = 400       f(x*) = g(y*)

      3) В прямой задаче х₁=0, так как при достаточно высоких затратах производство продукции I приносит небольшую прибыль.

      В двойственной задаче у₃=0, так как III вид сырья является избыточным и не расходуется полностью на производство продукции. 

      4) а) Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане.

      Так как цена третьего сырья у₃=0, то сырье третьего типа не дефицитно.

      Дефицитное  сырье первого и второго типа, так как в оптимальном плане  исходной задачи используется полностью. Сырье второго типа более дефицитно (у₂ = ), чем сырье первого типа (у₁ = ).

      б) Определим, как изменится общая стоимость продукции: