Контрольная работа по «Экономико-математические методы и прикладные модели»

n="justify">      Увеличение  запасов сырья I типа на одну единицу приведет к росту прибыли на единиц.

      Уменьшение  сырья II типа на одну единицу приведет к уменьшению прибыли на единиц.

      I – возрастает на 45

      II – уменьшается на 9

      По  теореме об оценках 

      

      Таким образом, общая прибыль уменьшится на 5 единиц и   составит     400 – 5 = 395 ед.

      Определим, как изменится план выпуска продукции, если запас сырья I вида увеличить на 45 кг., а II – уменьшить на 9 кг:

      Предположим, что изменения производятся в пределах устойчивости двойственных оценок, т. е. не меняется структура оптимального плана.

        

      

      Так как х₁ = 0, а третье ограничение выполняется как строгое неравенство, то определим изменение плана выпуска из системы уравнений:

                           

                   

      То  есть оптимальный план выпуска будет  иметь вид:

      х₁=0      х₂=14,5     х₃=15,625

        f(x^*) = 395 (ден.ед) 

      в) оценим целесообразность включения в план изделия Г вида ценой 11ед., если нормы затрат сырья 9, 4 и 6 кг.

      Вычислим  величину

      Затраты на изготовление единицы изделия  Г составят:

       ,  

   -2,3 < 0, т.е. затраты на производство изделия Г меньше его цены, следовательно, включать изделие Г в план производства выгодно, так как оно принесет дополнительную прибыль. 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Задача 3 

      Используя балансовый метод  планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий

      Промышленная  группа предприятий (холдинг) выпускает  продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – продукции второго вила, третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов у_i вектора конечной продукции Y.

      Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А = (а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

 
 
 
 
 

      Решение: 

      1) Составим матрицу А коэффициентов прямых затрат.

       По условию задачи:

                       0,3  0,4  0,1                     

          А =    0,1  0,2  0,4       

                     0,3  0,4  0,1                     

                                                                                                   200

      Составим  вектор столбец конечной продукции: Y =    300

                                                                                                   200

      Модель  Леонтьева в матричной форме имеет вид:

   X = A·X+Y, где

   А – матрица коэффициентов прямых материальных затрат;

   Х – вектор столбец валовой продукции  по соответствующим отраслям;

   Y – вектор столбец конечной продукции.

       Находим матрицу (Е – А):

                      1  0  0                0,3  0,4  0,1            0,7  -0,4  -0,1

   (Е  – А) =     0  1  0       –       0,1  0,2  0,4    =    -0,1  0,8  -0,4

                       0  0  1               0,3  0,4  0,1            -0,3  -0,4  0,9  

      Используя формулу  , находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью MS Excel:

 
 
 
 

       В результате получаем:             

                                  2,000   1,429    0,857

       =     0,750   2,143    1,036

                                    1,000   1,429    1,857

      Все элементы матрицы коэффициентов  полных затрат В неотрицательны, следовательно, матрица А продуктивна.

      Найдем вектор Х величин валовой продукции по отраслям используя формулу Х = BY, где

      В – матрица коэффициентов полных материальных затрат;

      Y – вектор столбец конечной продукции.

        Получаем:

                         2,000    1,429    0,857           200           1000

      Х =BY =    0,750    2,143    1,036    *    300    =   1000  

                           1,000    1,429    1,857           200           1000

  Приступаем  к заполнению таблицы: 

      Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой, вытекающей из формулы ;     ,  где  

      Для получения первого столбца первого  квадранта нужно элементы первого  столбца заданной матрицы А умножить на величину Х₁= 1000; элементы второго столбца матрицы А умножить на Х₂ = 1000; элементы третьего столбца матрицы А умножить на Х₃= 1000.

      Составляющие  третьего квадранта (условно чистая продукция) найдем как разность между  объемами валовой продукции и  суммами элементов соответствующих  столбцов найденного первого квадранта.

   Четвертый квадрант состоит из одного показателя и служит для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Задача 4 

      Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

     В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице

 

     Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель Ŷ(t)=a₀ +a₁ t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3. Построить адаптивную модель Брауна Ŷ(t)=a₀ +a₁k с параметром сглаживания α=0,4 и α=0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.
4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).
5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза при доверительной вероятности p=70%).
7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

     Вычисления  провести с одним знаком в дробной  части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах. 

      Решение: 

1. Проверяем наличие аномальных наблюдений методом Ирвина:

, где  среднеквадратическое отклонение рассчитываем, используя следующие формулы:

 ,     

      Построим  следующий ряд, используя MS Excel:

    

      В результате получаем следующую таблицу:

    

      Анамальных  наблюдений во временном ряду нет, так как расчетные значения λ _t меньше табличного λ _t < 1,6 . 

      2) Построим линейную модель вида Y_р(t) = a₀ + a₁t по методу наименьших квадратов. Коэффициенты а₀ и а₁ линейной модели найдем из решения нормальной системы уравнений:

     

      Известно, что 

      Построим  следующую таблицу, используя MS Excel:

 

      Таким образом, получаем следующие данные:

      Уравнение регрессии зависимости Y_t  от t_t имеет вид: Y(t) = 10,31 + 1,85t

      Также, для получения коэффициентов регрессии можно использовать настройку MS Excel «Анализ данных». Для этого занесем исходные данные в таблицу:

         

      Затем, используя пункт Регрессия настройки - «Анализ данных» оцениваем параметры модели.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Результат регрессионного анализа представлен ниже: 

 

      Таким образом, средствами MS Excel получены коэффициенты уравнения регрессии а₀ = 10,31, а₁ = 1,85, стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

      Уравнение регрессии зависимости Y_t от t_t имеет вид: Y(t) = 10,31 + 1,85t