Контрольная работа по «Экономико-математические методы и прикладные модели»

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт

филиал  в г. Туле 
 

Контрольная работа  

   по  дисциплине «Экономико-математические методы и прикладные модели» 

Вариант №8 
 
 
 

Выполнил: студент 3 курса 

специальности: БУА и А

группа: вечерняя

№ л/д 06 убд 

Руководитель: Луценко А. Г. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Тула 2008

Задача 1 

      Решить  графическим методом  типовую задачу оптимизации

      Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) S₁, S₂, и S₃. содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице. 

 

      Стоимость 1 кг. корма I и II соответственно равна 4 и 6 ден. ед.

      Необходимо  составить дневной рацион, имеющий  минимальную стоимость, в котором  содержание питательных веществ каждого вида было бы не менее установленного предела.

      Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии  к ее элементам  и получить решение  графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему? 

      Решение: 

      1) Обозначим переменные:

      Пусть x₁ – количество корма I

                 x₂ – количество корма II

      С учетом этих обозначений экономико-математическая модель задачи имеет вид:

 

    Ограничения по витамину S₁, S₂, S₃.

    

    Решим полученную задачу линейного программирования графическим методом.

Построим  прямые ограничений:

 

 

 

и линию  уровня:

 

      При перемещении линии уровня в направлении вектора-градиента получаем точку В, это и есть точка минимума, найдем ее координаты – оптимальное решение. 

 
 
 
 

    3х₁ + х₂ = 9                 х₂ = 9 – 3х₁                     х₂ = 9 – 3*2               х₂ = 3          

     х₁ + 2х₂ = 8                х₁ + 2(9 – 3х₁) = 8           - 5 х₁ = -10                 х₁ = 2

     Точка В (2; 3)

      Значение  целевой функции в  точке  В (2; 3) равно:

     

      Ответ:

      Таким образом, если взять  2 кг. корма I вида и 3 кг. корма II вида, то будет обеспечена максимальная полезность корма, при этом затраты составят 26 ден. ед.

      При решении задачи на максимум линию  уровня следует передвигать в  направлении вектора С. При этом и чтобы составить дневной рацион, в котором содержание питательных каждого вида было бы не менее установленного предела, потребовалось бы неограниченное количество корма каждого вида и затраты при этом бесконечно возрасли. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача 2 

     Использовать  аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования

     На  основании информации, приведенной  в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции. 

 

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

• определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции, если запас сырья I вида увеличить на 5 единиц, а II – уменьшить на 5 единиц;
• оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 7 у.е, если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 единицы соответственно.

 
 

Решение 

      1) Обозначим переменные:

      Пусть  х₁ – число единиц продукции I;

             х₂ – число единиц продукции II;

             х₃ – число единиц продукции III.

Прямая  оптимизационная задача имеет вид:

ƒ(x) =3X₁+2X₂+5X₃→ max

при ограничениях

 х₁ + 2х₂ + х₃ ≤ 430

 3х₁ + 2х₃  ≤ 460

 х₁ + 4х₂ ≤ 420

х₁, х₂, х₃ ≥ 0.

     При помощи пакета MS Excel  с использованием инструмента поиск решений находим значение целевой функцию. 

      

  X_опт= (0; 100; 230)

      Таким образом, при изготовлении 0 единиц продукции I вида,  100 единиц продукции II вида и 230 единиц продукции III вида получим максимум выручки в размере 1350 ден. ед. 

      2) Сформулируем двойственную задачу и найдем ее оптимальный план.

      Обозначим переменные:

      Пусть  y₁ – цена единицы ресурса продукции I;

             y₂ – цена единицы ресурса продукции II;

             y₃ – цена единицы ресурса продукции III.

      Экономико-математическая модель двойственной задачи имеет вид:

g(y) = 430у₁ + 460у₂ + 420у₃ →min

при ограничениях:

     1у₁ + 3у₂ + 1у₃ ≥ 3;

     2у₁ + 0y₂ + 4у₃ ≥ 2;

     1у₁ + 2у₂ + 0y₃  ≥ 5;

   у₁, у₂, у₃ ≥ 0.           

      Проверим  является ли план оптимальным:

 

      Значение  целевой функции при этом плане равно:

  f (x) = 3*0 + 2*100 + 5*230 = 1350

      Для нахождения оценок (у₁,у₂,у₃) используем вторую теорему двойственности. Так как третье ограничение выполняется как строгое неравенство, то у₃ =0. Так как х₂ > 0 и х₃ > 0,то получаем систему уравнений:

                               

      Двойственная  задача имеет оптимальное решение у* = (1, 2, ).

g(y)= 430у₁+460у₂+420у₃ = 430 1+460 2 = 1350ден. единиц

f(x) = 1350 ден. единиц

план  оптимален: g(y)= f(x)

      3) Нулевые значения  в оптимальном  плане означают, что:

- выпуск  изделий I вида нерентабелен, так как х₁=0;

- дефицитными  являются I и II вид сырья, так как y₁ и y₂ > 0;

- III вид сырья является избыточным, так как у₃=0. 

      4) а) Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане.

      Так как цена третьего сырья у₃=0, то сырье третьего типа не дефицитно.

      Дефицитное  сырье первого и второго типа, так как в оптимальном плане  исходной задачи используется полностью. Сырье второго типа более дефицитно (у₂ =2), чем сырье первого типа (у₁ =1).

      б) Определим, как изменится  общая стоимость  продукции:

      Увеличение  запасов сырья I типа на одну единицу приведет к увеличению прибыли от реализации готовой продукции на 1 единицу.

      Уменьшение  сырья II типа на одну единицу приведет к уменьшению прибыли на 2 единицы.

      I  – возрастает на 5