Контрольная работа по «Экономико-математические методы и прикладные модели»

      II  – уменьшается на 5

      По  теореме об оценках 

      

      Таким образом, если запасы сырья I вида увеличить на 5 единиц, а запасы сырья II вида уменьшить на 5 единиц, то прибыль уменьшится на 1345-1350 = - 5 единиц.

      Определим, как изменятся план выпуска продукции, если запасы сырья I вида увеличить на 5 единиц, а запасы сырья II  вида уменьшить на 5 единиц

      Предположим, что изменения производятся в пределах устойчивости двойственных оценок, т. е. не меняется структура оптимального плана.

        

        

      Так как х₁ = 0, а третье ограничение выполняется как строгое неравенство, то определим изменение плана выпуска из системы уравнений:

                               

      То  есть оптимальный план выпуска будет  иметь вид:

      х₁=0      х₂=103,75     х₃=227,5

        f(x^*) = 1345 (ден.ед)

      Таким образом, выручка от реализации готовой  продукции уменьшится на 5 ден.ед. 

      в) оценим целесообразность включения в план изделия Г вида ценой 7 у.е., если нормы  затрат сырья 2, 4 и 3 кг.

      Вычислим  величину

      Затраты на изготовление единицы изделия  Г составят:

       ,  

     3 > 0, т.е. затраты на производство изделия Г больше его цены, следовательно, включать изделие Г в план производства нецелесообразно, так как затраты на его производство не окупаются. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Задача 3 

      Используя балансовый метод  планирования и модель Леонтьева, построить  баланс производства и распределения продукции предприятий

      Промышленная  группа предприятий (холдинг) выпускает  продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – продукции второго вила, третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов у_i вектора конечной продукции Y.

      Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А = (а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

 
 
 
 
 

      Решение: 

      1) Составим матрицу  А коэффициентов  прямых затрат.

       По условию задачи:

                       0,0  0,4  0,1                     

          А =    0,4  0,1  0,0       

                     0,3  0,0  0,1                     

                                                                                                    160

      Составим  вектор столбец конечной продукции: Y =    180

                                                                                                    150

      Модель  Леонтьева в матричной форме  имеет вид:

   X = A·X+Y, где

   А – матрица коэффициентов прямых материальных затрат;

   Х – вектор столбец валовой продукции по соответствующим отраслям;

   Y – вектор столбец конечной продукции.

       Находим матрицу (Е – А):

                       1  0  0                0,0  0,4  0,1              1   -0,4  -0,1

   (Е  – А) =     0  1  0       –       0,4  0,1  0,0    =     -0,4  0,9  0,0

                       0  0  1                0,3  0,0  0,1            -0,3   0,0  0,9  

   Вычислим  определитель этой матрицы с помощью MS Excel: 

               

      Определитель  равен: 

                       1  -0,4  -0,1

  ׀Е – А׀ =    -0,4  0,9   0,0    =  0,639

                     -0,3  0,0   0,9  

       Найдем алгебраические дополнения матрицы (Е – А):

                         0,9   0,0

  А₁₁ = (-1)² *   0,0   0,9     = 0,81

                        

                         -0,4  0,0

  А₁₂ = (-1)³ *   -0,3   0,9   = 0,36

  

                        -0,4 0,9

  А₁₃ = (-1)⁴ *  -0,3  0,0   = 0,27 

                         -0,4 -0,1

  А₂₁ = (-1)³ *   0,0   0,9    = 0,36

  

                         1,0  -0,1

  А₂₂ = (-1)⁴ *  -0,3 0,9    = 0,87

  

                         1,0   -0,4

  А₂₃ = (-1)³ *  -0,3    0,0   = 0,12

  

                         -0,4  -0,1

  А₃₁ = (-1)⁴ *  0,9 0,0    = 0,09

  

                        1,0  -0,1

  А₃₂ = (-1)⁵ *  -0,4  0,0   = 0,04

    

                        1,0    -0,4

  А₃₃ = (-1)⁶ *  -0,4   0,9   =  0,74 

  Получаем:

  

                0,81    0,36    0,27

   (Е  – А)   0,36    0,87    0,12

                0,09    0,04    0,74 

      Транспонируем матрицу (Е – А):

                         0,81    0,36   0,09

   (Е  – А) ^/ =   0,36    0,87   0,04 

                        0,27    0,12   0,74  

       Используя формулу  , находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:

                                 1,268    0,563    0,141

       =    0,563    1,362    0,063

                                   0,423    0,188    1,158

      Таким образом, можно сделать вывод  о том, что матрица А продуктивна, т.к. все элементы матрицы В > 0.

      Найдем вектор Х величин валовой продукции по отраслям используя формулу Х = BY, где

      В – матрица коэффициентов полных материальных затрат;

      Y – вектор столбец конечной продукции.

                  
 

       Получаем:

                         1,268    0,563    0,141         160           325,35

      Х =BY =    0,563    1,362    0,063    *    180    =     344,60  

                           0,423    0,188    1,158          150           275,12

  Приступаем  к заполнению таблицы: 

      Для определения элементов первого  квадранта материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой, вытекающей из формулы  ;     ,  где  

      Для получения первого столбца первого  квадранта нужно элементы первого  столбца заданной матрицы А умножить на величину Х₁= 325,35; элементы второго столбца матрицы А умножить на Х₂ = 344,60; элементы третьего столбца матрицы А умножить на Х₃= 275,12.

      Составляющие  третьего квадранта (условно чистая продукция) найдем как разность между  объемами валовой продукции и  суммами элементов соответствующих  столбцов найденного первого квадранта.

   Четвертый квадрант состоит из одного показателя и служит для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта. 
 

     Задача 4 

      Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

     В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице

 

     Требуется: 

     1) Проверить наличие аномальных  наблюдений. 

     2) Построить линейную модель  =а + bt , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).