Шпаргалка по "Математические задачи энергетики"

      (I=1,2,…,n).

В  общем случае  условные законы распределения составляющей X определяются соотношением

p(x_i | y_j)=p(x_i ,y_j)/p(y_j)    (**)

Аналогично   находят   условные законы распределения составляющей У:

p(y_j | x_i)=p(x_i ,y_j)/p(x_i)  (***)

 

103. Двумерной называют С.В. (Х,Y), возможные значения которой есть пары чисел (x,y). Составляющие Х и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух С.В.

Корреляционным моментом СВ x и h называется мат. ожидание произведения отклонений этих СВ. mxh=М((x—М(x))*(h—М(h)))

Для вычисления корреляционного момента может быть использована формула:

mxh=М(x*h)—М(x)*М(h) Доказательство: По определению mxh=М((x—М(x))*(h—М(h))) По свойству мат. ожидания

mxh=М(xh—М(h)—hМ(x)+М(x)*М(h))=М(xh)—М(h)*М(x)—М(x)*М(h)+М(x)*М(h)=М(xh)—М(x)*(h)

Предполагая, что x и h независимые СВ, тогда mxh=М(xh)—М(x)*М(h)=М(x)*М(h)—М(x)*М(h)=0;       mxh=0. Можно доказать, что если корреляционный момент=0, то СВ могут быть как зависимыми, так и независимыми. Если mxh не равен 0, то СВ x и h зависимы. Если СВ x и h зависимы, то корреляционный момент может быть равным 0 и не равным 0. Можно показать, что корреляционный момент характеризует степень линейной зависимости между составляющими x и h. При этом корреляционный момент зависит от размерности самих СВ.

 

 

 

 

 

 

104. Двумерной называют С.В. (Х,Y), возможные значения которой есть пары чисел (x,y). Составляющие Х и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух С.В.

Чтобы сделать характеристику линейной связи x и h независимой от размерностей СВ x и h, вводится коэффициент корреляции:

Кxh=mxh/s(x)*s(h) Коэффициент корреляции не зависит от разностей СВ x и h и только показывает степень линейной зависимости между x и h, обусловленную только вероятностными свойствами x и h. Коэффициент корреляции определяет наклон прямой на графике в системе координат (x,h) Свойства коэффициента корреляции.

1. -1<=Кxh<=1

Если Кxh =±1, то линейная зависимость между x и h и они не СВ.

2. Кxh>0, то с ростом одной составляющей, вторая также в среднем растет.

Кxh<0, то с убыванием одной составляющей, вторая в среднем убывает.

3. D(x±h)=D(x)+D(h)±2mxh

105. Говорят, что величины о и з отрицательно коррелированы, если с(о, з) < 0; говорят, что величины ? и ? положительно коррелированы, если с(о, з) > 0.

Смысл знака коэффициента корреляции особенно ясен в случае Ѕс(о, з) Ѕ= 1. Тогда знак с равен знаку a в равенстве ? = aо+ b п.н. То есть с(о, з) = 1 означает, что чем больше о, тем больше и з. Напротив, с(о, з) = -1 означает, что чем больше о, тем меньше з. Похожим образом можно трактовать знак коэффициента корреляции и в случае, когда Ѕс(о, з) Ѕ< 1, помня при этом, что зависимость величин о и з теперь уже не линейная и, возможно, даже не функциональная.

Так, величины ? и ? + з в примерах 41 и 42 положительно коррелированы, но их зависимость не функциональная.

Пример 41 Пусть ? и ? — независимые случайные величины, и дисперсия ? отлична от нуля. Докажем, что ? и ?+ з зависимы.

   (11)

Поэтому

Следовательно, ? и ?+ з зависимы.

Пример 42. Рассмотрим продолжение примера 41, но пусть ? и ? будут не только независимыми, но и одинаково распределенными случайными величинами, и их дисперсия отлична от нуля. Найдем коэффициент корреляции величин ? и ? + з.

Поэтому

106. Определение 44. Случайные величины о и з называют некоррелированными, если cov(о, з) = 0  (или если с(о, з) = 0, — в том случае, когда коэффициент корреляции существует).

Замечание 17. Если одна из величин о и з — постоянная, то эти величины независимы, и cov (о, з) = 0. Естественно в этом случае тоже полагать, что о и з “некоррелированы”, хотя коэффициент корреляции не определен (дисперсия постоянной равна 0).

 

 

 

 

 

 

107. СП наз. – функция действительного аргумента времени, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Значение принимаемое случайным процессом в определенный момент времени наз. – состояние случайного процесса. Множество всех возможных состояний наз. – фазовым пространством.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

108. Если множество состояний бесконечно, то непрерывное фазовое пространство, если конечно или счетно, то с дискретным фазовым пространством (посетители магазина).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

109. Если случайный процесс может изменять состояние в произвольные моменты времени то такой случайный процесс наз. – с непрерывным временем.

Случайные процессы со счетным, множеством состояний бывают двух типов: с дискретным или непрерывным временем. Первые отличаются тем, что переходы из состояния в состояние могут происходить только в строго определенные, разделенные конечными интервалами моменты времени t₁, t₂, ... Случайные процессы с непрерывным временем отличаются тем, что переход системы из состояния в состояние возможен в любой момент времени t.

 

 

 

 

110. Под потоком событий в теории вероятностей понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: поток вызовов на телефонной станции; поток включений приборов в бытовой электросети; поток заказных писем, поступающих в почтовое отделение; поток сбоев (неисправностей) электронной вычислительной машины; поток выстрелов, направляемых на цель во время обстрела, и т. п. События, образующие поток, в общем случае могут быть различными, но здесь мы будем рассматривать лишь поток однородных событий, различающихся только моментами появления. Такой поток можно изобразить как последовательность точек t₁ t₂, .... t_k, ... на числовой оси (рис. 19.3.1), соответствующих моментам появления событий.

 

 

111. Под потоком событий в теории вероятностей понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: поток вызовов на телефонной станции. Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается в реальных системах, но представляет интерес как предельный случай. Типичным для системы массового обслуживания является случайный поток заявок. Случайным потоком событий наз. – поток без последствия, если для любых непрерывных участков времени число событий попадающих на один из них не зависит от того, какое число событий попало на др. участок.

 

 

 

 

 

 

 

112. Случайным потоком событий наз. – поток без последствия, если для любых непрерывных участков времени число событий попадающих на один из них не зависит от того, какое число событий попало на др. участок. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной   зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси Ot расположен этот участок.

Условию стационарности удовлетворяет поток заявок, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. В частности, для стационарного потока характерна постоянная плотность (среднее число заявок, в единицу времени). На практике часто встречаются потоки заявок, которые (по крайней мере, на ограниченном отрезке времени) могут рассматриваться как стационарные. Например, поток вызовов на городской телефонной станции на участке времени от 12 до 13 часов может считаться стационарным. Тот же поток в течение целых суток уже не может считаться стационарным (ночью плотность вызовов значительно меньше, чем днем).

113. Случайным потоком событий наз. – поток без последствия, если для любых непрерывных участков времени число событий попадающих на один из них не зависит от того, какое число событий попало на др. участок.  Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.  Условие ординарности означает, что заявки приходят поодиночке, а не парами, тройками и т. д. Например, поток атак, которому подвергается .воздушная цель в зоне действия истребительной авиации, будет ординарным, если истребители атакуют цель поодиночке, и не будет ординарным, если истребители идут в атаку парами.

 

 

 

 

 

 

 

114. Случайным потоком событий наз. – поток без последствия, если для любых непрерывных участков времени число событий попадающих на один из них не зависит от того, какое число событий попало на др. участок.  Поток событий называется потоком без последействия, если для любых неперекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.  Условие отсутствия последействия — наиболее существенное для простейшего потока — означает, что заявки поступают в систему независимо друг от друга. Например, поток пассажиров, входящих на станцию метро, можно считать потоком без последействия потому, что причины, обусловившие приход отдельного пассажира именно в тот, а не другой момент, как правило, не связаны с аналогичными причинами для других пассажиров. Однако условие отсутствия последействия может быть легко нарушено за счет появления такой зависимости. Например, поток пассажиров, покидающих станцию метро, уже не может считаться потоком без последействия, так как моменты выхода пассажиров, прибывших одним и тем же поездом, зависимы между собой.

 

 

 

115. Если поток событий обладает всеми тремя свойствами (т. е. стационарен, ординарен и не имеет последействия), то он называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Название “пуассоновский” связано с тем, что при соблюдении условий 1 3 число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пуассона

 

 

 

 

116,117. Интенсивностью ППС наз. – среднее количество событий происходящих в единицу времени. Разбиваем отрезок 0,L на n маленьких интервалов, попадание или не попадание в каждый из интервалов является испытанием Бернулли.

       - количество ППС за время L

 

a – среднее значение случ. велич.

 

           

- интенсивность ППС. Случ. величина времени между ППС имеют экспоненциальное распределение с параметром . Если ПС является простейшим (с параметром ), то время между событиями этого потока имеет экспоненциальное распределение с параметром

 

125,126,127. Две случайные величины наз. Зависимыми, если закон распределения одной из них зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Зависимость между случайными величинами, при которой каждому значению x случайной величины Х однозначно ставится в соответствие единственное значение y с. в. Y, называется функциональной. Например, зная напряжение U на участке электрической цепи сопротивлением R, можно однозначно определить величину тока (U = R I).

часто на практике одному значению с. в. Х может соответствовать не одно, а множество значений с. в. Y, характеризуемых для каждого Х = х условным распределением с плотностью вероятностей f(Y | Х = x). Такая зависимость называется статистической. Примером статистической зависимости является зависимость технической скорости движения поезда (Y) от его массы (X).

Две случайные величины наз. Зависимыми, если закон распределения одной из них зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Изменение условного закона распределения с. в. Y при изменении значения Х может проявляться как при изменении вида распределения (см. Рисунок 4.1, а), так и при изменении его числовых характеристик. В частности, зависимость условного математического ожидания одной с. в. М(Y | X = х) от значения, которое примет другая с. в. Х = х называется регрессионной (см. Рисунок 4.1, б).

   

 

 

 

75. Пусть случайная величина имеет показательное распределение с параметром l, тогда для всех t и t>0 вероятность того, что СВ примет значение меньше чем t+t

P{x<t+tЅxіt}=P{x<t}  "t,t>0

 

 

 

 

 

Доказательство: введем 3-и события

 

P{tЈx<t+t}=P{x<t+t}*P{xіt}*P{x<t+txіt}=

=

 

81. Дисперсия является мерой рассеивания значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Для дискретных и непрерывных случайных величин дисперсию можно вычислить соответственно по формулам:

Если дисперсия величины о конечна, то число называют среднеквадратичным отклонением случайной величины о.

 

85. Коэффициентом асимметрии или скошенности распределения  случ. величины наз число b1=M3/s^3

Если  распределение случ. величины симметрично то коэффициент асимметрии = 0

Если коэффициент асимметрии = 0, то у такой СВ M=Mod=Med (мат. Ожидание совпадает с модой и с медианой).

Характеристика островершинности

D(x1)>D(x2)

 

 

 

 

 

118-124. Суперпозиция n независимых простейших потоков с параметром l(i) является простейшим потоком с параметром

l_S=Sl(i). Закон распределения минимальной из случайных величин h1,h2,…,h_n    принимающих лишь положительные значения в пределе h®Ґ стремится к показательному.

Часто встречается сит-я когда не все события ПП проходят через некоторое решение устройства. События случайного потока с вероятностью 1-p отсеиваются и только с вероятностью р сохраняются.

Теорема – поток событий полученный из простейшего потока с параметром l1 путем просеивания с вероятностью p является простейшим потоком с параметром l2=l1*p

Теорема – случайная величина времени между событиями потока полученного из простейшего потока с параметром l1 пропуском лишь каждого n-го события имеет распределение порядка с  параметром l1.    (Билет очень карявый, поэтому, что смог, то нашел!!!)