Шпаргалка по "Математические задачи энергетики"

то есть f является плотностью распределения случайной величины о

Равномерное.

  Это распределение нам уже знакомо. Говорят, что о имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], и пишут о О U_a,b если

Заметьте, что в точках a и b функция распределения недифференцируема, и плотность можно задать как угодно.

 

70,71 Определение 28.Случайная величина о имеет называемые абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция f_о(x) такая, что для любого х О R функция распределения F_о(x) представима в виде

    При этом функция f_о(x) называется плотностью распределения случайной величины о.

 

Теорема 21.Плотность распределения обладает свойствами:

(f1) f_о(x)і 0 для любого x;

(f2)

Эти два свойства полностью характеризуют класс плотностей:

Лемма 2. Если функция f обладает свойствами (f1) и (f2), то существует вероятностное пространство и случайная величина о на нем, для которой  f является плотностью распределения.

 

Нормальное.

Говорят, что о имеет нормальное распределение с параметрами а и у² , где а О R, у > 0, и пишут о О  если о имеет

 

следующую плотность распределения:

для любого x О R

Убедимся, что f_о(x)действительно является плотностью распределения. Так как f_о(x) > 0 для всех x О R, то свойство (f1) выполнено. Проверим выполнение (f2). Используем табличный интеграл (интеграл Пуассона)

Нормальное (иначе называемое гауссовским по имени Карла Гаусса распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей, поэтому мы очень подробно изучим все свойства этого распределения.

 

72. Нормальное распределение задается, как мы видим, с помощью плотности распределения. Связано это с тем, что нельзя выписать первообразную от функции иначе как в виде интеграла, поэтому функцию распределения этого закона можно записать лишь в таком виде:

Мы часто будем использовать обозначение для функции распределения нормального распределения с параметрами а и у².

(“ Правило трех сигм”).

Если то

Смысла в запоминании числа 0.0027 нет никакого, а вот помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах [a - 3у, a - 3у] всегда полезно.

Смысла в запоминании числа 0.0027 нет никакого, а вот помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах [a-3у, a+3у], всегда полезно.

 

73. Определение 28.Случайная величина о имеет называемые абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция f_о(x) такая, что для любого х О R функция распределения F_о(x) представима в виде

При этом функция f_о(x) называется плотностью распределения случайной величины о.

Теорема 21.Плотность распределения обладает свойствами:

(f1) f_о(x)і 0 для любого x;

(f2)

Эти два свойства полностью характеризуют класс плотностей:

Лемма 2. Если функция f обладает свойствами (f1) и (f2), то существует вероятностное пространство и случайная величина о на нем, для которой  f является плотностью распределения.

Показательное.

Говорят, что о имеет показательное распределение с параметром б, б > 0  и о О Е_б, если

Показательное распределение является единственным абсолютно непрерывным распределением, для которого выполнено свойство “не старения” (и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретного геометрического распределения).

Теорема 21. Свойство “Не старения”. Пусть о О Е_б. Тогда для любых х, у > 0

 

 

 

 

 

74. Показательное.

Говорят, что о имеет показательное распределение с параметром б, б > 0  и о О Е_б, если

Показательное распределение является единственным абсолютно непрерывным распределением, для которого выполнено свойство “не старения” (и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретного геометрического распределения).

Теорема 21. Свойство “Не старения”. Пусть о О Е_б. Тогда для любых х, у > 0

 

 

 

76. Определение 38. Математическим ожиданием Eо (средним значением, первым моментом) случайной величины о с дискретным распределением, задаваемым таблицей P(о  = а_i) = p_i, называется число

если указанный ряд абсолютно сходится.

Если же

, то говорят, что математическое ожидание не существует.

Определение 39. Математическим ожиданием Eо  случайной величины о с абсолютно непрерывным распределением с плотностью распределения f_о(x), называется число

если указанный интеграл абсолютно сходится.

Если же

, то говорят, что математическое ожидание не существует.

Число Dо = E(о – Eо)² (центральный момент порядка 2) называется дисперсией случайной величины о

Определение 40. Если дисперсия величины о конечна, то число называют среднеквадратичным отклонением случайной величины о.

 

77,78. Определение 38. Математическим ожиданием Eо (средним значением, первым моментом) случайной величины о с дискретным распределением, задаваемым таблицей P(о  = а_i) = p_i, называется число

если указанный ряд абсолютно сходится.

Если же

, то говорят, что математическое ожидание не существует.

Определение 39. Математическим ожиданием Eо  случайной величины о с абсолютно непрерывным распределением с плотностью распределения f_о(x), называется число

если указанный интеграл абсолютно сходится.

Если же

, то говорят, что математическое ожидание не существует.

Математическое ожидание имеет простой физический смысл: если на прямой разместить единичную массу, поместив в точку а_i массу p_i (для дискретного распределения), или “размазав” ее с плотностью f_о(x) (для абсолютно непрерывного распределения), то точка Eо есть координата “центра тяжести” прямой.

 

80. Медианой случайной величины X наз. Такое ее значение x_med для которого P(X<x_med)=P(X x_med)=0.5, то есть одинаково вероятно, примет ли случ. величина значение, больше или меньше медианы. Геометрически: медиана – это координата той точки на оси абсцисс, для которой площади фигур, ограниченных кривой f(x) и осью абсцисс, находящихся слева и справа от нее, одинаковы и равны ?. Эта характеристика применяется, как правило, только для непрерывных случайных величин.

 

 

 

 

 

 

79. Определение 38. Математическим ожиданием Eо (средним значением, первым моментом) случайной величины о с дискретным распределением, задаваемым таблицей P(о  = а_i) = p_i, называется число

если указанный ряд абсолютно сходится.

Если же

, то говорят, что математическое ожидание не существует.

Свойства математического ожидания

Во всех свойствах предполагается, что рассматриваемые математические ожидания существуют.

E0. Математическое ожидание случайной величины есть ЧИСЛО!

E1. Для произвольной функции функция g : R ® R

Доказательство. Мы докажем это свойство (как и почти все дальнейшие) только для дискретного распределения. Пусть g(о) принимает значения с₁ с₂ … с вероятностями

Тогда

E2 Математическое ожидание const равно этой const Eс = с.

E3. const можно вынести за знак математического ожидания: E(с о) = с Eо.

Доказательство. Следует из свойства E1 при g(о) = с о .

E4. Математическое ожидание суммы любых случайных величин о и з равно сумме их математических ожиданий.

E (о + з ) = E (о )+ E (з)

E5.Если о і 0 п.н. (“ почти наверное”, т.е. с вероятностью 1: P(о і 0 ) = 1), то E о і 0;

Если о і 0  п.н., и при этом Eо = 0, то о = 0  п.н., то есть P(о = 0) = 1.

Следствие 11.

Если о Ј з п.н., то E о Ј Eз .

Если о Ј з п.н., и при этом Eо = Eз, то о = з п.н.

E6. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.: если о и з независимы, то E(оз) = Eо  Eз.

 

83. Свойства дисперсии

Все свойства дисперсии следуют из соответствующих свойств математического ожидания.

D1.

Действительно,

D2.

D3.

если и только если о= const.п.н.

Доказательство. Дисперсия есть всего-навсего математическое ожидание п.н. неотрицательной с.в.:

Dо = E(о – Eо)², и неотрицательность дисперсии следует из свойства E5. По тому же свойству, Dо = 0 если и только если E(о – Eо)² = 0 п.н., то есть о = о п.н.

D4. Дисперсия не меняется от сдвига с.в. на постоянную:

D5. Если о и з независимы, то

Действительно,

так как математическое ожидание произведения независимых с.в. равно произведению их математических ожиданий.

D6. Минимум среднеквадратического отклонения случайной величины о от точек вещественной прямой есть среднеквадратическое отклонение о от своего математического ожидания:

Наименьший момент инерции стержня с распределенной на нем единичной массой получится, если точка вращения – центр тяжести стержня, а не любая другая точка.

Доказательство.

причем равенство достигается только для а = Eо.

 

 

 

 

82. Дисперсия является мерой рассеивания значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Для дискретных и непрерывных случайных величин дисперсию можно вычислить соответственно по формулам:

 

 

 

 

 

84. Определение 40. Если , то число

называется моментом порядка k (k -м моментом) случайной величины о;

называется абсолютным моментом порядка k (абсолютным k -м моментом) случайной величины о;

называется центральным моментом порядка k (центральным k -м моментом) случайной величины о;

называется абсолютным центральным моментом порядка k (абсолютным центральным k -м моментом) случайной величины о.

Число Dо = E(о – Eо)² (центральный момент порядка 2) называется дисперсией случайной величины о

 

 

86. Определение 49. Говорят, что последовательность с. в. с конечными первыми моментами удовлетворяет закону больших чисел (ЗБЧ), если

  (12)

Законами больших чисел принято называть утверждения об условиях, при которых последовательность с. в. “удовлетворяет закону больших чисел”.

Выясним сначала, что означает и когда выполнен ЗБЧ для независимых и одинаково распределенных с.в.

Заметим, что если с. в. одинакого распределены, то математические ожидания у них одинаковы (и равны, например, ), поэтому (12) можно записать в виде

Теорема 30 (ЗБЧ Бернулли).

Пусть А — событие, которое может произойти в любом из n независимых испытаний с одной и той же вероятностью P(А). Пусть v_n(А) — число осуществлений события А в n испытаниях. Тогда

 

При этом для любого е > 0

предельные теоремы см. в 87,88 вопросе!!!

 

 

90. Многомерной (n-мерной) случайной величиной наз. – функция определённая на множестве элементарных исходов, которая каждому элементарному исходу ставит в соответствие n действительных чисел. МСВ={СВ1,СВ2,…}

Часто в практике инженерных и научных исследований результат испытания характеризуется сразу некоторой системой случайных величин, т. е. многомерной случайной величиной (МСВ).

Функция плотности распределения характеризует вер-ть попадания в бесконечно малый прямоугольник.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

87. Теорема 32 (Предельная теорема Муавра — Лапласа).

Пусть А — событие, которое может произойти в любом из n независимых испытаний с одной и той же вероятностью p = P(A). Пусть — число осуществлений события А в n испытаниях. Тогда . Иначе говоря, для любых вещественных x < y при имеет место сходимость

Определение 49. Говорят, что последовательность с. в. с конечными первыми моментами удовлетворяет закону больших чисел (ЗБЧ), если

   (12)

Законами больших чисел принято называть утверждения об условиях, при которых последовательность с. в. “удовлетворяет закону больших чисел”.