Шпаргалка по "Математические задачи энергетики"

 

 

 

 

43,44. Из формулы полной вероятности легко получить формулу Байеса: для события В с Р(В)>0 и для системы попарно несовместных событий Аi, P(Ai)>0, B прин. U по i  от 1 до n Аi . Р(Аk/B)=P(Ak)*P(B/Ak)/сумма по i от 1 до n P(Ai)*P(B/Ai).

 

 

 

 

 

 

 

 

45,46. Определение 19. Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — “успех” и “неудача”, при этом “успех” в одном испытании происходит с вероятность р О [0,1], “неудача” — с вероятностью q = 1 - p.

Теорема 10 (Формула Бернулли).

Обозначим через v_n число успехов в n испытаниях схемы Бернулли. Тогда для любого k = 0, 1, …n

 

Доказательство. Событие A ={ v_n = k} означает, что в n испытаниях схемы Бернулли произошло ровно k успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию A элементарных исходов:

 

Здесь буквами “у” и “н” обозначены, соответственно, успешный и неудачный результаты испытаний. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода (первые k испытаний завершились успехом, остальные неудачей) равна p^k(1 - p)^n-k.

Другие благоприятствующие событию A элементарные исходы отличаются от рассмотренного выше лишь расположением k успехов на n местах. Есть ровно способов расположить k успехов на n местах. Поэтому событие A состоит из элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна p^k(1 - p)^n-k.

 

47. Если число испытаний велико, а вероятность р появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу: Pn (k)=лямда*k e*-лямда/k!, где к – число появлений события в n независимых испытаниях, лямда=np (среднее число появлений события в n испытаниях), и говорят, что С.В. распределена по закону Пуассона.

 

 

 

 

 

48. Локальная теорема Лапласа.  Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0<p<1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n). Pn(k)=1/(корень из npq)*фи(х). Здесь Фи(х)=1/(корень из 2пи)*е в степени –х*2/2, x=k – np/(корень из npq). Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0<p<1), событие наступит не меньше k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна: P(k1;k2)=Ф(х´´) – Ф(х´). Здесь Ф(х)=1/(корень из 2пи) * интеграл от0 до х  е в степени –(z*2/2)dz – функция Лапласа, х´=(k1 – np)/(корень из npq), х´´=(k2 – np)/(корень из npq).

 

 

 

50. По формуле Бернулли, событие “произошло 0 успехов в n испытаниях” имеет вероятность qⁿ , 1 успех — вероятность n p qⁿ и т.д. Какое же число успехов наиболее вероятно? Иначе говоря, при каком k достигается максимум P(v_n=k)?

Чтобы выяснить это, сравним отношение P(v_n=k)и P(v_n=k-1)с единицей.

 

Видим, что

(a) Р(v_n = k) > Р(v_n = k-1) при np + p – k > 0, то есть при k < np + p;

(b) Р(v_n = k) < Р(v_n = k-1 )при np + p – k < 0, то есть при k > np + p;

(c) Р(v_n = k) = Р(v_n = k-1 при np + p – k = 0, что возможно лишь если np + p — целое число.

Рассмотрим два случая: np + p –целое число и  np + p – дробное число. В первом случае пусть k₀ = np + p. Из полученных выше неравенств, сразу следует, что

 

Во втором случае пусть k₀ = [np + p] (целая часть числа np + p, то есть наибольшее целое число, не превосходящее np + p). Из неравенств (a), (b) следует, что

 

Действительно, неравенство Р(v_n = k₀) > Р(v_n = k₀+1), например, следует из (b), примененного для

k = k₀+1 > np + p.

Видим, что в зависимости от того, является число 1 > np + p целым или нет, имеется либо два равновероятных “наиболее вероятных” числа успехов k₀ = np + p и k₀ –1 > np + p - 1,либо одно “наиболее вероятное” число успехов k₀ = [np + p].

Сформулируем уже доказанное утверждение в виде теоремы.

Теорема 12. В n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p наиболее вероятным числом успехов является

a) единственное число k₀ = [np + p], если число np + p не целое;

б) два числа k₀ = np + p и k₀ -1= np + p -1, если число np + p целое.

 

51. Определение 23. Функция о: Щ >R называется случайной величиной, если для любого х О R множество { о < x} = {щ: о(щ) < x} является событием, то есть принадлежит у-алгебре событий Ш.

Пример 21. Подбрасываем 1 раз кубик.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

52. Дискретными называются СВ, которые в результате эксперимента могут принимать конкретные изолированные друг от друга значения. Множество значений ДСВ конечно или счётно.

     Непрерывной СВ наз. СВ, которая в результате эксперимента может принимать все возможные значения из некоторого интервала. Множество значений НСВ всегда несчётно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

55,56.  Свойства функции распределения

Теорема 19.

Функция распределения F_о(x) обладает следующими свойствами:

F1) Функция распределения F_о(x) не убывает: если х₁ < x₂ то F_о(x₁)< F_о(x₂);

F2) Существуют пределы

      и      

F3) Функция распределения F_о(x) непрерывна слева:

 

Теорема 20. Если функция F: R ® [0, 1] удовлетворяет свойствам (F1)–(F3), то F есть функция распределения некоторой случайной величины о, то есть найдется вероятностное пространство (Щ, Ш, Р) и случайная величина о на этом пространстве, что F(х) = F_о(x).

Прочие полезные свойства функций распределения

F4) В любой точке х₀ разница F_о(х₀+0) - F_о(х₀) равна P(о = х₀):

Следствие 3. Если функция распределения F_о(x) непрерывна в точке х₀, то

P(о = х₀) = 0

F5) Для любой случайной величины о имеет место равенство P(а Ј о < b) = F_о(a) - F_о(b).

Если же функция распределения F_о(x) непрерывна (для любого x, или только в точках a и b), то

P(а Ј о < b) = P(а < о < b) = P(а Ј о Ј b) = P(а < о Ј  b) = F_о(a) - F_о(b)

 

57-61. Пусть имеется непрерывная случайная величина X с функцией распределения F (х), которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от х до x+Dx:

Р (х < X < х + Dх) = F (х + Dх) — F (х),

т. е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т. е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать Dх к нулю. В пределе получим производную от функции распределения:

Введем обозначение:

/(х) = F'(х). (5.4.2)

Функция / (х) — производная функции распределения — характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе —  “плотностью вероятности”) непрерывной случайной величины X. Иногда функцию / (х) называют также “дифференциальной функцией распределения” или “дифференциальным законом распределения” величины X.

Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис. 5,4.1).

Геометрически вероятность попадания величины X на участок (a,b) равна площади кривой распределения, опирающейся на этот участок (рис. 5.4.3).

Формула (5.4.2) выражает плотность распределения через функцию распределения. Зададимся обратной задачей: выразить функцию распределения через плотность. По определению откуда по формуле (5.4.3) имеем:

    

Геометрически F(x) есть не что иное, как площадь кривой распределения, лежащая левее точки х (рис. 5.4.4).

Укажем основные свойства плотности распределения.

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция:

Это  свойство  непосредственно  вытекает  из  того,   что   функция распределения F (х) есть неубывающая функция.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения

равен единице:

Это   следует   из   формулы (5.4.4)     и     из     того, что .

Геометрически       основные _х   свойства  плотности   распределения означают, что:

1) вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

2) полная  площадь,   ограниченная  кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

62,63. Биномиальное распределение.

Говорят, что случайная величина о имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, где 0 Ј p Ј, n и пишут о О В_n,р, если о принимает значения 0, 1, …,n с вероятностями P(о  = k) = C_n^k p^k (1-p)^n-k . Случайная величина о с таким распределением имеет смысл числа успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха р .

Таблица распределения о имеет вид

 

о	0	1	…	k	…	n
Р	(1-p)n	n p(1-p)n-1	…	Cnk pk (1-p)n-k	…	Pn

 

65. Геометрическое распределение.

Говорят, что случайная величина ф имеет геометрическое распределение с параметром р, где 0 Ј p Ј, n, и пишут ф О G_р, если ф принимает значения 1, 2, 3, …с вероятностями P(ф = k) = p (1-p)^k-1. Случайная величина ф с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха р .

Таблица распределения ф имеет вид

 

ф	1	2	…	k	…
Р	p	Р (1 – р)	…	p (1-p)k-1	…

 

 

 

 

66,67 Определение 25. Говорят, что случайная величина о имеет дискретное распределение, если существует конечный или счетный набор чисел {a₁, a₂, …} такой, что:

а) p_i = P{ о = a_i} > 0 для всех i;

б) .

То есть случайная величина о имеет дискретное распределение, если она принимает не более чем счетное число значений.

Определение 26. Если случайная величина о имеет дискретное распределение, назовем таблицей распределения соответствие a_i ? p_i, которое чаще всего рисуют так:

 

о	а1	а2	а3	…
Р	р1	р2	р3	…

Распределение Пуассона.

Говорят, что случайная величина о имеет распределение Пуассона с параметром л, где л > 0 , и о О П _л, если о принимает значения 0, 1, 2 … с вероятностями

Таблица распределения о имеет вид

 

о	1	2	…	k	…
Р	е- л	л е- л	…	(лk /k!)е- л	…

Пример 34. Распределение Пуассона П_л

Показать, что

, следовательно

 

68,69. Определение 28.Случайная величина о имеет называемые абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция f_о(x) такая, что для любого х О R функция распределения F_о(x) представима в виде

При этом функция f_о(x) называется плотностью распределения случайной величины о.

Теорема 21.Плотность распределения обладает свойствами:

(f1) f_о(x)і 0 для любого x;

(f2)

Эти два свойства полностью характеризуют класс плотностей:

Лемма 2. Если функция f обладает свойствами (f1) и (f2), то существует вероятностное пространство и случайная величина о на нем, для которой  f является плотностью распределения.

Доказательство. Пусть ? есть область, заключенная между осью абсцисс и графиком функции f (“ подграфик” функции  f). Площадь области ? равна 1 по свойству (f2). И пусть случайная величина о есть абсцисса точки, наудачу брошенной в эту область.

Тогда (вспомнить геометрическую вероятность) для любого х О R