Шпаргалка по "Математические задачи энергетики"

Выясним сначала, что означает и когда выполнен ЗБЧ для независимых и одинаково распределенных с.в.

Заметим, что если с. в. одинакого распределены, то математические ожидания у них одинаковы (и равны, например, ), поэтому (12) можно записать в виде

Теорема 28 (ЗБЧ в форме Чебышёва).

Для любой последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечным вторым моментом имеет место сходимость:

ЗБЧ утверждает, что среднее арифметическое большого числа случайных слагаемых “стабилизируется” с ростом этого числа. Как бы сильно каждая с. в. не отклонялась от своего среднего значения, при суммировании эти отклонения “взаимно гасятся”, так что среднее арифметическое приближается к постоянной величине.

В дальнейшем мы увидим, что требование конечности второго момента (или дисперсии) связано исключительно со способом доказательства, и что утверждение остается верным если требовать существования только первого момента.

Следствие 13 (Неравенство Чебышёва-Бьенеме). Если , то

В качестве следствия получим так называемое “правило трех сигм”, которое формулируют, например, так: вероятность случайной величине отличаться от своего математического ожидания более, чем на три корня из дисперсии, мала. Разумеется, для каждого распределения величина этой вероятности своя: для нормального распределения, например, эта вероятность равна 0,0027 — см. свойство 9. Мы получим верную для всех распределений с конечной дисперсией оценку сверху для “вероятности с. в. отличаться от своего математического ожидания более, чем на три корня из дисперсии”.

89. Многомерной (n-мерной) случайной величиной наз. – функция определённая на множестве элементарных исходов, которая каждому элементарному исходу ставит в соответствие n действительных чисел. МСВ={СВ1,СВ2,…}

Часто в практике инженерных и научных исследований результат испытания характеризуется сразу некоторой системой случайных величин, т. е. многомерной случайной величиной (МСВ).

Определение 31. Говорят, что случайные величины о₁, о₂. имеют дискретное,  совместное распределение, если существует конечный или счетный набор { a_i, b_i } такой, что

 

Таблицу, на пересечении i-й строки и    j-го столбца которой (или наоборот) стоит число P(о₁= a_i ,о₂= b_j) называют таблицей совместного распределения случайных величин о₁,. о₂

Определение 32. Говорят, что с.в. о₁, о₂ (заданные на одном вероятностном пространстве) имеют абсолютно непрерывное совместное распределение, если существует функция такая, что для любой точки (x₁, x₂) О R²

Если такая функция существует, она называется плотностью совместного распределения случайных величин о₁, о₂.

Если совместное распределение абсолютно непрерывно, то по функции совместного распределения его плотность находится как смешанная частная производная:

(f3) .

Из свойства (F2) функции совместного распределения вытекает следующее утверждение. Для n > 2 это утверждение, как и свойство (F2), выглядит существенно иначе!

Теорема 22. Если случайные величины о₁, о₂   имеют абсолютно непрерывное совместное распределение с плотностью f (x₁, x₂), то о₁, и о₂ в отдельности также имеют абсолютно непрерывное распределение с плотностями:

 

88. Теорема 32 (Предельная теорема Муавра — Лапласа).

Пусть А — событие, которое может произойти в любом из n независимых испытаний с одной и той же вероятностью p = P(A). Пусть — число осуществлений события А в n испытаниях. Тогда . Иначе говоря, для любых вещественных x < y при имеет место сходимость

Мы будем называть следующее утверждение “ЦПТ А. М. Ляпунова” (1901), но сформулируем теорему Ляпунова только в частном случае — для последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин.

Теорема 31 (ЦПТ).

Пусть — независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией: . Обозначим через сумму первых n случайных величин. Тогда последовательность с. в. слабо сходится к стандартному нормальному распределению.

Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что функция распределения любого нормального закона непрерывна всюду на R, утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:

Следствие 18. Пусть — независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг другу и равносильны утверждению ЦПТ.

Для любых вещественных x < y при имеет место сходимость

Для любых вещественных x < y при имеет место сходимость

Для любых вещественных x < y при   имеет место сходимость

Если — произвольная с. в. со стандартным нормальным распределением, то

Замечание 19. Еще раз напомним, что функция распределения стандартного нормального закона ищется либо по соответствующей таблице в справочнике, либо с помощью какого-либо программного обеспечения, но никак не путем нахождения первообразной.

 

91. Многомерной (n-мерной) случайной величиной наз. – функция определённая на множестве элементарных исходов, которая каждому элементарному исходу ставит в соответствие n действительных чисел. МСВ={СВ1,СВ2,…}

Часто в практике инженерных и научных исследований результат испытания характеризуется сразу некоторой системой случайных величин, т. е. многомерной случайной величиной (МСВ).

 

Рассмотрим    двумерную    случайную   величину (X, Y)    (безразлично,    дискретную    или    непрерывную).

Пусть х, у — пара действительных чисел. Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, меньшее х, и при этом Y примет значение, меньшее у, обозначим через F (х, у). Если х и у будут изменяться, то, вообще говоря, будет изменяться и F (х, у), т. е. F (х, у) есть функция от х и у.

Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y) называют функцию F (х, у), определяющую для каждой пары чисел х, у вероятность того, что X примет значение, меньшее х, и при этом У примет значение, меньшее у:

F(x,y) = P(X<x, Y<y).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F (х, у) есть вероятность того, что случайная точка (X, Y) попадает в бесконечный квадрант с вершиной (x,y), расположенный левее и ниже этой вершины.

 

 

 

 

92. Многомерной (n-мерной) случайной величиной наз. – функция определённая на множестве элементарных исходов, которая каждому элементарному исходу ставит в соответствие n действительных чисел. МСВ={СВ1,СВ2,…}

Свойство   1. Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству

0 F(x,y) 1

Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность—всегда неотрицательное число, не превышающее единицу.

Свойство 2. F(х, у) есть неубывающая функция по каждому аргументу, т. е.

F(x₂,y) F(x₁,y), если x₂>x₁;

F(x,y₂) F(x,y₁), если y₂>y₁;

Свойство 3. Имеют место предельные соотношения:

1) F(- ,y) = 0,             2) F(x, - ) = 0,

3) F( - , - ) = 0,       4) F( , )=l.

Свойство 4. а) /7ри y= функция распределения системы становится функцией распределения составляющей X:

F(x, ) = F₁(x).

б) При х = функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Y:

F( ,y) = F₂(y).

 

93,94. Многомерной (n-мерной) случайной величиной наз. – функция определённая на множестве элементарных исходов, которая каждому элементарному исходу ставит в соответствие n действительных чисел. МСВ={СВ1,СВ2,…}

Двумерная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Непрерывную двумерную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения. Здесь и далее будем предполагать, что функция распределения F (х, у) всюду непрерывна и имеет всюду (за исключением, быть может, конечного числа кривых) непрерывную частную производную второго порядка.

Плотностью совместного распределения вероятностей f (х, у) двумерной непрерывной случайной величины (X, Y) называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:

Геометрически эту функцию  можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.

Свойство   1.   Двумерная плотность вероятности неотрицательна:

f(x,y) 0

Свойство 2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен единице:

Доказательство. Бесконечные пределы интегрирования указывают, что областью интегрирования служит вся плоскость хОу; поскольку событие, состоящее в том, что случайная точка попадет при испытании на плоскость хОу, достоверно, то вероятность этого события (она и определяется двойным несобственным интегралом от двумерной плотности) равна единице, т. е.

 

95. Двумерная С.В. Двумерная функция распределения и ее свойства.

Двумерной называют С.В. (Х,Y), возможные значения которой есть пары чисел (x,y). Составляющие Х и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух С.В. Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны. Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны. Законом распределения Д.С.В. называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Функция распределения вероятностей Д.С.В. называют функцию F(X,Y), определяющую для каждой пары чисел (х,y) вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, при этом Y примет значение, меньшее y: F(x,y)=P(X<x,Y<y). Свойства:1) Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству: 0<=F(x,y)<=1. 2) Функция распределения есть неубывающая функция по каждому аргументу:F(x2,y)>=F(x1,y), если х2>x1. F(x,y2)>=F(x,y1), если y2>y1. 3) Имеют место предельные соотношения: 1) F(-бесконечность, у)=0, 2) F(x,-бесконечность)=0, 3) F(-бесконечность, -бесконечность)=0, 4) F(бесконечность, бесконечность)=1. 4) а) при у=бесконечность функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Х: F(x,бесконечность)=F1(x). Б) при х=бесконечность функция распределения системы становится функцией распределения составляющей У: F(бесконечность, у)=F2(y).  Билет не полный!!!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

96. Двумерная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Непрерывную двумерную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения. Здесь и далее будем предполагать, что функция распределения F (х, у) всюду непрерывна и имеет всюду (за исключением, быть может, конечного числа кривых) непрерывную частную производную второго порядка.

Плотностью совместного распределения вероятностей f (х, у) двумерной непрерывной случайной величины (X, Y) называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:

Геометрически эту функцию  можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.

 

 

97,98. Определение 33. Случайные величины о₁, о₂, … , о_n независимы, если для любого набора множеств В₁ Н R, … В_n Н R  имеет место равенство:

Это определение можно сформулировать в терминах функций распределения:

Определение 34. Случайные величины о₁, о₂, … , о_n независимы, если для любых х₁, х₂, … , х_n имеет место равенство:

Определение 35. Случайные величины о₁, о₂, … , о_n с дискретным распределением независимы, если для любых а₁, а₂, … , а_n имеет место равенство:

Для случайных величин с абсолютно непрерывным совместным распределением определение независимости можно сформулировать так:

Определение 36. Случайные величины о₁, о₂, … , о_n с абсолютно непрерывным совместным распределением независимы, если плотность совместного распределения равна произведению плотностей случайных о₁, о₂, … , о_n, то есть для любых х₁, х₂, … , х_n имеет место равенство:

Теорему умножения не нашел!!!

 

99. Две случайные величины наз. Зависимыми, если закон распределения одной из них зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Условным распределением составляющей X при У = y_j  называют совокупность условных вероятностей р (x₁|y_j), p(x₂|y_j),…,p(x_n|y_j), вычисленных в предположении, что событие Y = y_j (j имеет одно и то же значение при всех значениях X) уже наступило. Аналогично определяется условное распределение составляющей Y.

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно, пользуясь формулой P_A(B)=P(AB)/P(A), вычислить условные законы распределения составляющих. Например, условный закон распределения X в предположении, что событие Y = y₁ уже произошло, может быть найден по формуле