Шпаргалка по "Математические задачи энергетики"

1. При научном исследовании различных физических и технических задач часто приходится встречаться с особого типа явлениями, которые принято называть случайными. Случайное явление — это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному. Такие методы и разрабатываются в теории вероятностей. Ее предметом являются специфические закономерности, наблюдаемые в случайных явлениях.

Практика показывает, что, наблюдая в совокупности массы однородных случайных явлений, мы обычно обнаруживаем в них вполне определенные закономерности, своего рода устойчивости, свойственные именно массовым случайным явлениям.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Возникновение теории вероятностей в современном смысле слова относится к середине XVII века и связано с исследованиями Паскаля (1623—1662), Ферма (1601 — 1665) и Гюйгенса (1629—1695) в области теории азартных игр. В этих работах постепенно сформировались такие важные понятия, как вероятность и математическое ожидание; были установлены их основные свойства и приемы их вычисления. Крупный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с работами Якова Бернулли (1654—1705). Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей— так называемого закона больших чисел.

Выдающаяся роль в развитии теории вероятностей принадлежит знаменитому математику Лапласу (1749—1827). Он впервые дал стройное и систематическое изложение основ теории вероятностей, дал доказательство одной из форм центральной предельной теоремы (теоремы Моавра — Лапласа) и развил ряд замечательных приложений теории вероятностей к вопросам практики, в частности к анализу ошибок наблюдений и измерений.

Значительный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с именем Гаусса (1777—1855), который дал еще более общее обоснование нормальному закону и разработал метод обработки экспериментальных данных, известный под названием “метода наименьших квадратов”. Следует также отметить работы Пуассона (1781—1840), доказавшего более общую, чем у Якова Бернулли, форму закона больших чисел, а также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы. С именем Пуассона связан один из законов распределения, играющий большую роль в теории вероятностей и ее приложениях. Современное развитие теории вероятностей характерно всеобщим подъемом интереса к ней и резким расширением круга ее практических применений. За последние десятилетия теория вероятностей превратилась в одну из наиболее быстро развивающихся наук, теснейшим образом связанную с потребностями практики и техники. Советская школа теории вероятностей, унаследовал традиции Петербургской математической школы, занимает в мировой науке ведущее место.

 

3. Определение 1. Пространством элементарных исходов Щ (“омега”) называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой щ (“омега”) с индексами или без.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Определение 1. Пространством элементарных исходов Щ (“омега”) называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой щ (“омега”) с индексами или без.

Определение 2. Событиями мы будем называть подмножества множества Щ. Говорят, что в результате эксперимента произошло событие А Н Щ, если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество А.

 

 

 

 

 

 

6. Определение 2. Событиями мы будем называть подмножества множества Щ. Говорят, что в результате эксперимента произошло событие А Н Щ, если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество А.

1. Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, то есть единственное событие, включающее все без исключения элементарные исходы — событие Щ.

2. Невозможным называется событие которое не может произойти в результате эксперимента, то есть событие, не содержащее ни одного элементарного исхода (“пустое множество” Ж). Заметим, что всегда Ж О Щ.

 

7,8,9,10. Определение 4. Пусть А и В — события.

1. Объединением А U В событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло либо А , либо В, либо оба события одновременно. На языке теории множеств А U В есть множество, содержащее как элементарные исходы, входящие в А, так и элементарные исходы, входящие в В.

2. Пересечением А ? В событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошли оба события А и В одновременно. То есть А n В есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие одновременно в А и в В.

3. Дополнением А \ В события А до В называется событие, состоящее в том, что произошло событие А , но не произошло В. То есть А \ В есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие в А, но не входящие в В.

4. Противоположным (или дополнительным) к событию А называется событие , состоящее в том, что событие А в результате эксперимента не произошло. Иначе говоря, есть множество, содержащее элементарные исходы, не входящие в А.

 

 

11.  1.События А и В называются несовместными, если А n В = Ж.

2. События А₁, А₂ , … А_n называются попарно несовместными, если для любых i ? j, 1 Ј i,j Ј n, события А_iи А_j несовместны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13,14. Определение 18. Набор попарно несовместных событий Н₁, Н₂… таких, что P(А_i) > 0 для всех i и

называется полной группой событий или разбиение пространства Щ

    События Н₁, Н₂ …, образующие полную группу событий, часто называют гипотезами. При подходящем выборе гипотез для произвольного события А могут быть сравнительно просто вычислены P(А/ Н_i) (вероятность событию А произойти при выполнении “гипотезы” Н_i) и собственно P(Н_i)(вероятность выполнения “гипотезы” Н_i).

Теорема 8 (Формула полной вероятности).

Пусть Н₁, Н₂ — полная группа событий. Тогда вероятность любого события A может быть вычислена по формуле:

 

 

 

 

 

 

15. Пусть Щ — пространство элементарных исходов и ? — у -алгебра его подмножеств (событий). Вероятностью или вероятностной мерой на (Щ, Ш), называется функция P ? ? R, обладающая свойствами:

(P1) Для любого события А О Ш выполняется неравенство P(А)? 0;

(P2) Для любого счетного набора попарно несовместных событий А₁, А₂… О Ш имеет место равенство

 

(P3) Вероятность достоверного события равна единице: P(Щ) = 1.

Свойства (P1)–(P3) часто называют “аксиомами вероятности”.

 

16. Если событие А = { } состоит из k элементарных исходов, то вероятность этого события равняется

отношению k / N:

где символом ¦А¦ обозначено число элементов конечного множества А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17. Если событие А = { } состоит из k элементарных исходов, то вероятность этого события равняется

отношению k / N:

где символом ¦А¦ обозначено число элементов конечного множества А.

Определение 7.

Говорят, что эксперимент удовлетворяет классическому определению вероятности (или классической вероятностной схеме), если пространство элементарных исходов состоит из конечного числа ¦А¦ = N равновозможных исходов.

В этом случае вероятность любого события А вычисляется по формуле называемой классическим определением вероятности. Эта формула читается так: “вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу исходов”.

 

19,20. В данном разделе мы займемся подсчетом числа “шансов”. О числе шансов говорят, когда возможно несколько различных результатов какого-либо действия (извлечение карты из колоды, подбрасывание кубика или монетки, двух кубиков и т.д.). Число шансов — это число таких возможных результатов, или, иначе говоря, число способов проделать это действие.

Теорема о перемножении шансов

Теорема 1. Пусть имеется, k групп элементов, причем i-я группа содержит n_i элементов, 1<=i<=k. Выберем из каждой группы по одному элементу. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, равняется

 

 

 

21. Урновая схема: выбор без возвращения и без учета порядка

Теорема 3. Общее количество выборок в схеме выбора k элементов из n без возвращения и без учета порядка определяется формулой

и называется числом сочетаний из n элементов по k элементов.

Доказательство. Заметим, что, согласно следствию 1, из каждой выборки данного состава (состоящей из k элементов) можно образовать k! выборок, отличающихся друг от друга только порядком элементов.

То есть число выборок, различающихся еще и порядком, в k!  раз больше, чем число выборок, различающихся только составом. Поделив на k!, получим утверждение теоремы.

 

 

22. Урновая схема: выбор с возвращением и с учетом порядка

Теорема 4. Общее количество выборок в схеме выбора k элементов из n с возвращением и с учетом порядка определяется формулой

Доказательство. Первый шарик можно выбрать n способами. При каждом из этих способов второй шарик можно выбрать также n способами, и так k раз.

 

 

 

 

 

23. Урновая схема: выбор без возвращения и без учета порядка

Теорема 3. Общее количество выборок в схеме выбора k элементов из n без возвращения и без учета порядка определяется формулой

и называется числом сочетаний из n элементов по k элементов.

Доказательство. Заметим, что, согласно следствию 1, из каждой выборки данного состава (состоящей из k элементов) можно образовать k! выборок, отличающихся друг от друга только порядком элементов.

То есть число выборок, различающихся еще и порядком, в k!  раз больше, чем число выборок, различающихся только составом. Поделив на k!, получим утверждение теоремы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24. Теорема 5. Общее количество выборок в схеме выбора k элементов из n с возвращением и без учета порядка определяется формулой

 

 

 

 

 

 

 

25. Определение 9. Эксперимент удовлетворяет условиям “геометрического определения вероятности”, если его исходы можно изобразить точками некоторой области Щ в R^m так, что вероятность попадания точки в любую А Н Щ не зависит от формы или расположения А внутри Щ, а зависит лишь от меры области А (и, следовательно, пропорциональна этой мере):

“Мерой” мы пока будем называть длину, площадь, объем и т.д.

Если для точки, брошенной в область Щ, выполнены условия геометрического определения вероятности, то говорят, что точка равномерно распределена в области ?.

 

 

 

30. Перечислим очевидные в случае дискретного пространства элементарных исходов свойства вероятности, которые мы скоро докажем сразу в общем случае.

1. 0 Ј Р(А) Ј 1;
2. Р(Щ) = 1;
3. Р(Ж) = 0;
4. Р(Ф) = 1 - Р(О);

5. если А и В несовместны, то Р(А U В) = Р(А) + Р(В);

6. в общем же случае Р(А U В) = Р(А) + Р(В) - Р(А n В);

7. если А Н В, то Р(А) Ј Р(В).

 

 

 

 

 

 

 

31,32. Пусть случайные события А и В определены в W. Тогда вероятность суммы А и В равно сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

АИВ=АИ(В\(АЗВ));

Р(АЗВ)=Р(А)+Р(В\(АЗВ))=Р(А)+Р(В)-Р(АЗВ)

Для трёх: Р(АИВИС)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АЗВ)-Р(ВЗС)-Р(АЗС)+Р(АЗВЗС)

 

 

 

 

33. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34,35. Определение 15. Условной вероятностью события А, при условии, что произошло событие В, называется число

Будем считать, что условная вероятность определена только в случае, когда P(В) > 0.

 

Определение 16. События A и B называются независимыми, если P(AnB) = P(A)P(B)

 

 

 

 

 

 

 

 

36,37. Следующее свойство называется "теоремой умножения":

Теорема 6. P(AnB) = P(B)P(A\B) = P(A)P(B\A), если соответствующие условные вероятности определены (то есть если P(В) > 0, P(A) > 0).

Теорема умножения для большего числа событий:

Теорема 7. P(A₁ n A₂ n…n A_n) = P(A₁) P(A₂\A₁) P(A₃ \A₁ nA₂)… P(A_n \A₁n…nA_n-1)если соответствующие условные вероятности определены.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41,42. Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) В1,В2,…,Вn , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А: Р(А)=Р(В1)*Рb1(A)+P(B2)*Pb2(A)+…+P(Bn)=1. Если события А1,…,Аn, P(Ai)>0 образуют полную группу событий, то вероятность события В может быть представлена как сумма произведений безусловных вероятностей событий полной группы на условные вероятности события В: Р(В)=сумма по i от 1 до n P(Ai)*P(B/Ai).