Теория о действительных числах

Введение 
 
Понятие числа зародилось в глубокой древности, на протяжении веков это понятие подвергалось расширению и обобщению. С открытием действий с числами или операций над ними возникла наука арифметика. Спустя некоторое время Пифагор открыл неизмеримые отрезки, длины которых не могли выразить ни целым, ни дробным числом. Благодаря первым открытиям математики Индии, Ближнего Востока, а позднее и Европы пользовались иррациональными величинами. Однако их долгое время не признавали равноправными числами. Их признанию способствовало появление «Геометрии» Декарта.  
 
Цель исследования данной темы в реферате - проследить процесс появления действительных чисел и дальнейшее их изучение. 
 
Задача исследования – изучить развитие теории о действительных числах. 
 
Первая развитая числовая система, построенная в Древней Греции, включала только натуральные числа и их отношения (пропорции, в современном понимании — рациональные числа). Однако вскоре выяснилось, что для целей геометрии и астрономии этого недостаточно: например, отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны не может быть представлено ни натуральным, ни рациональным числом. 
 
Полное уравнение в правах иррациональных чисел связано с трудами Симона Стевина (конец XVI века), который провозгласил:

 
Он же, с некоторыми оговорками, легализовал отрицательные числа, а также развил теорию и символику десятичных дробей, которые с этого момента начинают вытеснять неудобные шестидесятеричные. 
 
Спустя столетие Ньютон в своей «Универсальной арифметике» (1707) даёт классическое определение (вещественного) числа как отношения результата измерения к единичному эталону:

 
Долгое время это прикладное определение  считалось достаточным, так что  практически важные свойства вещественных чисел и функций не доказывались, а считались интуитивно очевидными (из геометрических или кинематических соображений). Например, считался самоочевидным тот факт, что непрерывная кривая, точки которой расположены по разные стороны от некоторой прямой, пересекает эту прямую. Строгое определение понятия непрерывности также отсутствовало. Как следствие, немало теорем содержали ошибки, нечёткие или чрезмерно широкие формулировки. 
 
Даже после того, как Коши разработал достаточно строгий фундамент анализа, положение не изменилось, поскольку теории вещественных чисел, на которую обязан был опираться анализ, не существовало. Из-за этого Коши сделал немало ошибок, положившись на интуицию там, где она приводила к неверным выводам: например, он полагал, что сумма ряда из непрерывных функций всегда непрерывна. 
 
Первую попытку заполнить пробел в основаниях математики сделал Бернард Больцано в своей статье «Чисто аналитическое доказательство теоремы, что между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит по меньшей мере один действительный корень уравнения» (1817). В этой пионерской работе ещё нет целостной системы вещественных чисел, но уже приводится современное определение непрерывности и показывается, что на этой основе теорема, упомянутая в заглавии, может быть строго доказана. В более поздней работе. Больцано даёт набросок общей теории вещественных чисел, по идеям близкой к канторовской теории множеств, но эта его работа осталась неопубликованной при жизни автора и увидела свет только в 1851 году. Взгляды Больцано значительно опередили своё время и не привлекли внимания математической общественности. 
 
Современная теория вещественных чисел была построена во второй половине XIX века, в первую очередь трудами Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора. Они предложили различные, но эквивалентные подходы к теории этой важнейшей математической структуры и окончательно отделили это понятие от геометрии и механики. 
 
 
Глава I 
 
Действительное число – математическая абстракция, возникшая из потребности человека в измерении геометрических и физических величин окружающего материального мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений. Если «Натуральные числа» возникли в процессе счета, «Рациональные числа» возникли – из потребности оперировать частями целого, то «Действительные числа» - предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству действительных… 
 
Теория множеств – основа построения математики. Путь к понятию “множество” проходил через развитие представлений о числе, более глубокое понимание понятия бесконечности. Создатели теории множеств – чешский математик С.Больцано и немецкий ученый Г.Кантор не только разработали новую теорию, но и определили ее место как основополагающей в системе математических знаний. 
 
Под множеством понимается некоторая совокупность объектов, объединенных общим признаком и рассматриваемых как одно целое. Этот общий признак называется характеристическим. 
 
Основоположник теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) писал: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое». И хотя это высказывание учёного не является в полном смысле логическим определением понятия множества, но оно верно поясняет, что когда говорят о множестве, то имеют в виду некоторое собрание объектов, причём само это собрание рассматривается как единое целое, как один (новый) объект. 
 
Теорию множеств Кантора считают “наивной”, потому что ее исходные положения основываются не на строгих определениях и аксиомах, а лишь на пояснениях. Вместе с тем, на практике она используется активно. 
 
Объекты, составляющие данное множество, называют его элементами. Элементы множества могут иметь произвольную природу, не обязательно числовую. Например: – множество людей, гуляющих в парке; – множество капель дождя – множество массивов, используемых в программе для ЭВМ; – множество натуральных чисел на отрезке [-1;4].  
 
Множество обычно обозначают большими латинскими буквами, а элементы множества − малыми латинскими буквам. Если элемент, а принадлежит множеству А, то пишут: а  А, а если а не принадлежит А, то пишут: а  А.  
 
Рассмотрим множество действительных чисел. В отличие от рациональных чисел, множество действительных чисел является замкнутым относительно операции предельного перехода. Поэтому учение об истинных числу относится к математическому анализу.  
Уже древние греки заметили потребность рассматривать иррациональные числа (то есть действительные числа, которые не являются рациональными). Множество действительных чисел является пополнением множества рациональных чисел. Первое математически строгое определение действительных чисел было изобретено лишь в конце 19 века. 
 
Из курса математического анализа нам знакомы следующие множества :

•  
  Натуральных чисел: N =
•  
  Целых чисел: Z =
•  
  Рациональных чисел: Q = ; m Z, n
•  
  Действительных(вещественных)чисел:

 
R = ₀ , а₁а₂ … а₀ Z, а_к ,1,2 …, } 
 
 
Действительные числа – элементы определенной числовой системы, которая включает в себя рациональные числа и, в свою очередь, является подмножеством комплексных чисел. 
 
Объединение рациональных и иррациональных чисел называют действительными числами. Множество действительных чисел обозначают символом R. R Q Z N. 
 
Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Числовой осью называется бесконечная прямая, на которой выбраны:

1.  
   некоторая точка О, называемая началом отсчёта;
2.  
   положительное направление, указываемое стрелкой;
3.  
   масштаб для измерения длин.

 
Между всеми действительными  числами и всеми точками числовой оси существует взаимно–однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует точка числовой оси и наоборот. 
 
Замечание  
 
Любое действительное число - бесконечная десятичная дробь. Действительные числа изображаются на числовой оси Ох точками. 
При этом каждому  действительному числу соответствует определенная точка числовой оси и каждой точке оси  соответствует определенное действительное число.    Точки, изображающие действительные числа, расположены «всюду плотно» на оси: между любыми двумя  действительными числами найдется бесконечно много действительных чисел.    
 
Свойством плотности  обладают также множества рациональных и  иррациональных чисел. Любое иррациональное  число можно как угодно точно приближать  рациональными числами, в частности конечными десятичными дробями, имеющими все более длинные дробные части; например,  1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421. 
При практических вычислениях с  ограниченной точностью различие между рациональными и иррациональными числами не проявляется.   
 
Действия сложения и умножения действительных чисел обладают свойствами:

•  
  коммутативности: a + b = b + a, a · b = b · a ;
•  
  ассоциативности: ( a + b ) + c = a + ( b + c ), (a · b) · c = a · (b · c) ;
•  
  дистрибутивности: a · (b + c) = a · b + a · c .  

 
Для того чтобы множество имело  место быть, необходимо его задать, предлагаю рассмотреть основные способы задания множества. 
 
Множество А считается заданным, если относительно любого объекта а можно установить, принадлежит этот объект множеству А или не принадлежит; другими словами, если можно определить, является ли а элементом множества А или не является. Существуют два основных способа задания множества:

•  
  перечисление элементов множества;
•  
  указание характеристического свойства элементов множества, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они.

 
Множество всех действительных чисел, как принято, будем обозначать через R (от лат. realus- действительный). Это множество образует совокупность, в которой определены взаимосвязанные операции сложения, умножения и сравнения чисел по величине и которая обладает определенного рода непрерывностью. 
 
 
Кратко можно перечислить свойства действительных чисел :

•  
  Операция сложения (переместительный, сочетательный и ассоциативный законы сложения)
•  
  Операция умножения (переместительный закон умножения)
•  
  Связь операций сложения и умножения (распределительный или дистрибутивный закон умножения относительно сложения)
•  
  Упорядоченность ( дает возможность ввести понятие сравнения по величине двух чисел)
•  
  Свойство непрерывности

 
Из этих свойств вытекает другие многочисленные свойства представляющие собой совокупность элементов, обладающую основными перечисленными выше свойствами. 
 
Поле рациональных чисел не обладает свойством непрерывности, а вот поле действительных чисел обладает. Поэтому заведомо существуют действительные числа, не являющиеся рациональными, т.е. существуют иррациональные числа. Таким образом, множество действительных чисел является расширением множества рациональных чисел в том смысле, что множество рациональных чисел является собственным подмножеством множества действительных чисел. При этом расширении сохраняются свойство упорядоченности и операции сложения и умножения. Оказывается, что действительные числа, в отличие от рациональных, уже нельзя расширить до большего множества так, чтобы сохранялись указанные свойства (упорядоченность и операции сложения и умножения). Это свойство называется свойством полноты действительных чисел относительно их упорядоченности, сложения и умножения. 
 
 
Глава II 
 
Сечения в множестве действительных чисел. 
 
Рассмотрим формулировку свойства непрерывности действительных чисел в терминах так называемых сечений действительных чисел.  
 
Два множества А ⊂ R и B ⊂ R называются сечением множества действительных чисел R, если:

1.  
   Объединение множества A и B составляет все множество действительных чисел R, A∪B = R;
2.  
   Каждое из множеств А и В не пусто, А≠ ∅, В≠ ∅;
3.  
   Каждое число множества А меньше любого числа множества В: если а ∈ А, b ∈ В, то а < b.

 
 
Свойство 1⁰) означает что каждое действительное число принадлежит по крайней мере одному из множеств А и В. 
 
Из свойства 3⁰) следует что множества А и В не пересекаются: А ⋂ В = ∅. Действительно, если бы нашелся элемент х A В, т.е. х А и х В, то из свойств 3⁰) следовало бы, что х х. 
 
Сечение множества действительных чисел, образованное множествами А и В, обозначается через А│В. Множество А называется нижним, а множество В - верхним классом данного сечения. 
 
Простые примеры сечений можно получит следующим образом. Зафиксируем какое- либо число R. Отнесем сначала к множеству А все числа х , а к множеству В – все числа у : 
 
А = , В = . 
 
Так определенные множества А и В образуют сечение, что устанавливается непосредственной проверкой выполнения условий 1⁰, 2⁰, и 3⁰. 
 
Можно поступить иначе: отнести к множеству А все числа х , а к множеству В – все числа у : 
 
А = , В = . 
 
Снова множества А и В образуют сечение. В обоих случаях говорят, что сечение производится числом , и пишут = А│В. 
 
Отметим два свойства сечений, производящихся некоторым числом. 
 
1⁰. В первом случае (А = , В = .)в классе А есть наибольшее число, им является число , а в классе В нет наименьшего числа. 
 
Во втором случае в классе А нет наибольшего числа, а в классе В есть наименьшее число, им является число  
 
2⁰. Число, производящее сечение, единственно. 
 
3⁰. Для каждого сечения А│В множества действительных чисел существует число , производящее это сечение: 
 
 
 
Это число является либо наибольшим в нижнем классе, тогда в верхнем классе нет наименьшего числа, либо наименьшим в верхнем классе, тогда в нижнем нет наибольшего числа. 
 
Таким образом, если является сечением множества действительных чисел, то, согласно свойству их непрерывности не может случиться так, что в классе А будет наибольшее число и одновременно в классе В будет наименьшее число. Не может быть и того, чтобы в классе А не было наибольшего числа и одновременно в классе В не было наименьшего числа. Образно говоря, непрерывность действительных чисел означает, что в их множестве нет ни скачков, ни пробелов, короче, нет пустот. 
 
Сформулированное свойство непрерывности действительных чисел, так же как и эквивалентное ему свойство, называется принципом непрерывности действительных чисел по Дедекинду (Р.Дедекинд (1831-1916) – немецкий математик). 
 
 
Рациональные степени действительных чисел 
 
Число b такое, что bⁿ = a (если оно, конечно, существует), называется корнем n-ой степени из числа а, и обозначается через , или а^1/n, т.е. ( )ⁿ = a. 
 
Отметим, что в множестве действительных чисел для любого числа а 0 и любого натурального числа n всегда существует число b , являющееся корнем n-ой степени из a, т.е. существует . Доказать это утверждение можно на основе понятия сечения. 
 
Конечно, в некоторых случаях корень может существовать и для а , например, существует = -2, но уже корень не существует в том смысле, что не существует действительного числа b= , так как в противном случае было бы справедливо равенство b² = -4, которое противоречит правилу знаков при умножении. 
 
Если а b , то число b называется арифметическим значением корня n-ой степени из числа а. В дальнейшем под корнем из неотрицательного действительного числа будем понимать арифметическое значение корня, если не оговорено что либо другое.

Аксиоматика вещественных чисел

 
Множество R называется множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел: 
 
Аксиомы поля 
 
На множестве R определено отображение (операция сложения)  
 
+ : R Х R →R 
 
сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов а, b из R некоторый элемент c из того же множества R, называемый суммой a и b  (a + b эквивалентная запись элемента   множества R). 
 
 
Также, на множестве R определено отображение (операция умножения) 
 
· : R X R → R 
 
сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов a, b из R некоторый элемент a · b, называемый произведением a и b. 
 
При этом имеют место следующие свойства. 
 
I₁ Коммутативность сложения. Для любых a,b R 
 
а + b = b + a 
 
I₂ Ассоциативность сложения. Для любых a,b R 
 
а + ( b + c ) = ( а + b ) + c 
 
I₃ Существование нуля. Существует элемент 0 R, называемый нулём, такой, что для любого а R, а + 0 = а 
 
I₄ Существование противоположного элемента. Для а R, любого  существует элемент -а R,  называемый противоположным к а, такой, что а + (-а) = 0 
 
I₅ Коммутативность умножения. Для любых a,b R а · b = b · a 
 
I₆ Ассоциативность умножения. Для любых a,b R а · ( b · c ) = ( а · b ) · c 
 
I₇ Существование единицы. Существует элемент 1 R, называемый единицей, такой, что для любого а R 
 
а = а 
 
I₈ Существование обратного элемента. Для любого а R, а 1 существует элемент  а^-1 R, обозначаемый также   и называемый обратным к а, такой, что а · а^-1 = 1 
 
I₉ Дистрибутивный закон умножения относительно сложения. Для любых a,b,c R a · (b + c) = a · b + a · c  
 
I₁₀ Нетривиальность поля. Единица и ноль - различные элементы :  R: 1  
 
Аксиомы порядка 
 
Между элементами R определено отношение , то есть для любой упорядоченной пары элементов а, b из R установлено, выполняется ли соотношение а b или нет. При этом имеют место следующие свойства: 
 
II₁ Рефлексивность. Для любого а R а ≤ а 
 
II₂ Антисимметричность. Для любых а,b R ( a ≤ b ) ˄ ( b ≤ a ) (а = b) 
 
II₃ Транзитивность. Для любых  а,b,c R ( a ≤ b ) ˄ ( b ≤ c ) ( a ≤ c ) 
 
II₄ Линейная упорядоченность. Для любых а,b R ( a ≤ b ) ˅ ( b ≤ a )  
 
II₅ Связь сложения и порядка. Для любых а,b,c R ( a ≤ b ) ( a + с ≤ b+ c ) 
 
II₆ Связь умножения и порядка. Для любых а,b R (0 ≤ а) ˄ (0 ≤ b) (0 ≤ а·b) 
 
 
Аксиомы непрерывности 
 
III₁ Каковы бы ни были непустые множества   и  , такие что для любых двух элементов   и   выполняется неравенство  , существует такое число  , что для всех   и   имеет место соотношение  
 
Этих аксиом достаточно чтобы строго вывести все известные свойства вещественных чисел.На языке современной алгебры аксиомы первой группы означают, что множество R  является полем. Аксиомы второй группы — что множество   является линейно упорядоченным множеством (  —  ), причём отношение порядка согласовано со структурой поля   —  . Множества, удовлетворяющие аксиомам первой и второй группы, называются упорядоченными полями. Наконец, последняя группа, состоящая из одной аксиомы, утверждает, что множество вещественных чисел обладает свойством непрерывности, которое также называют полнотой. Резюмируя, можно дать эквивалентное определение множества вещественных чисел. Определение. Множеством вещественных чисел называется непрерывное упорядоченное поле. 
 
Заключение 
 
Поле вещественных чисел R постоянно служило в математике источником обобщений, причём в различных практически важных направлениях. Непосредственно к полю R примыкают следующие варианты обобщённых числовых систем: