Шпаргалка по "Высшей математике"

107. Правило Лопиталя и его применение к вычислению переводов.

Правило Лопиталя (по раскрытию неопределенностей вида 0/0) : Пусть функции f(x) и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки и обращаются в ноль в этой точке:  f( )= . Пусть в окрестности точки . Если существует предел , то . 

Правило Лопиталя (по раскрытию неопределенностей вида ) : Пусть функции f(x) и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки (кроме, может быть, точки ), в этой окрестности . Если существует предел .

108. Формула Тейлора и её приложение.

изображающая  функцию f (x), имеющую n-ю производную f ⁽ⁿ⁾(a) в точке х = а, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням х—а, и остаточного члена R_n (x), являющегося в окрестности точки а бесконечно малой более высокого порядка, чем (x—a) ⁿ [то есть R_n (x) = an (x)(x—a) ⁿ, где an (x) → 0 при х → а]. Если в интервале между а и х существует (n + 1)-я производная, то R_n (x) можно представить в видах:

где ξ  и ξ₁ — какие-то точки указанного интервала (остаточный член Т. ф. в формах Лагранжа и соответственно Коши). График многочлена, входящего в Т. ф.. имеет в точке а Соприкосновение не ниже n-го порядка с графиком функции f (x). Т. ф. применяют для исследования функций и для приближённых вычислений.

109. 1Исследование ф-ций и построение их графиков с помощью дифференциального исчисления.

а)убывание\возрастание ф-ции на интервале АВ

б)экстремум ф-ции(необходимое условие существования экстремума)

 Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю: . Док-во: Пусть, для определенности, -точка максимума. Значит, в окрестности точки выполняется неравенство . Но тогда , если >0, и _{<img src="cnv_00532.gi}