Шпаргалка по "Высшей математике"

Правило решения СУ.

1)найти  ранг основной и расширенной  матрицы (если rA не =rA с крыш, то система несовместна.

2) если  rA=rA с крыш и =r, то система совместна и надо найти базисный минор порядка r.

3)Берём  r ур-ий из коэф которых составлен базисн минор. Остальные ур-ия отбрасываем. Неизвестные, коэф которых входят в минор наз главными. Из оставл слева, а остальные (n-r) – справа.

4)Найти  выражения главных неизв через свободные. Получено общее решение системы

5)Придавая  свободным низвестным произвольное значение, получим соотв значения главн неизв, т.е. найдём частные решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Система однородных линейных уравнений.

АХ=В – система и параллельно рассмотрим систему АХ=0. (АХ=В – Неоднородн. СЛАУ, АХ=0 – однородн. СДАУ).

Одновременно  выполняется:

1. АХ=0 имеет тольок тривиальное решение, АХ=В имеет единственное решение или не имеет решений совсем.

2. АХ=0 имеет нетривиальное решение, АХ=В имеет бесконечное число решений.

Рассмотрим  подробнее 2-ой случай: r(A) = r(A с волной сверху)<m..

M – r(A) – дефект, количество свободных неизвестных.

Пример: ,

б.м: х₁, х₂

св.м: х₃, х₄.

х₂ + х₃ +2х₄ = 1., х₂ = 1 – а – 2b, х₃ = а, х₄ = b.

х₁ = -2х₂ – х₃ + х₄ + 1 = -2 + 2а +4b – а + b+1 = -1 + а + 5b.

Ответ: (-1 + а + 5b., 1 – а – 2b , а, b)^Т.

15. Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

Метод Гаусса для решения системы линейных уравнений

1. Выражаем первое неизвестное из первого уравнения и подставляем его в остальные уравнения.
2. Получаем новую систему, в которой число уравнений и неизвестных на 1 меньше.
3. С новой системой поступаем таким же образом и так продолжаем до тех пор, пока не останется одно линейное уравнение, которое легко решается.
4. Когда получено значение последнего неизвестного x_n, подставляем его в уравнение, которое позволяет найти x_n – 1 по x_n.
5. По найденным x_n – 1 и x_n находим x_n – 2 и таким образом находим последовательно все неизвестные.

16. Размерность и базис линейного пространства.

Пусть система n векторов линейно-независима, а любая система n+1 векторов – линейно зависима, тогда число n называют размерностью пространства. dimV=n

Система этих n линейно-независимых  векторов называется базисом линейного  пространства. Рассмотрим систему n+1 векторов.     Такое представление называется разложение по базису, а числа называют координатами вектора.

17. Вектор. Проекция вектора на ось.

Вектор – направленный отрезок, т.е. раз есть слово отрезок, значит есть начало и конец.

1. перенос  отрезка при помощи параллельного  переноса, не изменяет вектор.

2. вектор  задается «длиной вектора» и  направления.

3. если  у вектора изменить направление  на противоположное, то получаем  противоположный вектор.

4. нулевой  вектор – вектор, длина которого = 0 или начальная конечная точки  совпадают. ( у нулевого вектора направление неопределенно).

Коллинеарные векторы – векторы, у которых задающие их отрезки параллельны одной и той же прямой.

Примечание: если из двух коллинеарных векторов направление одинаковое, то вектора сонаправленные, а если противоположные, то называется противоположно-направленные.

Компланарные векторы – векторы, у которых задающие их отрезки параллельны одной и той же плоскости.

Примечание: два вектора в пространстве всегда компланарны.

Примечание: два вектора называются равными, если они сонаправлены и равны по длине.

18. Линейные операции над векторами.

1. умножение вектора на число:

Результатом будет вектор, коллинеарный исходному (соноправленный в случае положительного множителя и противоположно-направленный – в случае отрицательного множителя), длина которого равна произведению модуля числового множителя на длину исходного модуля.

2. сумма двух векторов:

Есть  вектор, получаемый из слагаемых при  помощи правила параллелограмма  или правила треугольника.

19. Линейная зависимость и независимость системы векторов.

Определение линейной зависимости системы векторов. Система векторов A₁,A₂,...,A_n называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор

чисел λ_1, λ₂,...,λ_n,при котором линейная комбинация векторов  λ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ имеет ненулевое решение. 
Набор чисел λ_1, λ₂,...,λ_n является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ_1, λ₂,...,λ_n отлично от нуля.

Определение линейной независимости системы  векторов. Система векторов A₁,A₂,...,A_n называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов λ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ_1, λ₂,...,λ_n, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ имеет единственное нулевое решение.

 

 

20. Теорема об единственности разложения вектора по базису. Координаты вектора. Декартова система координат.

Базис пространства -совокупность лин независ векторов, по которым можно разложить любой вектор этого пр-ва.

Базис 3x мерного пр-ва образует любая тройка некомпланарных векторов пр-ва.

Если  образуют базис в пространстве, то любой вектор из этого пространства может быть представлен:

Примечание: для конкретно-заданного базиса не всегда просто бывает найти коэффициент .

Проще всего  это сделать когда базис является ортонормированным.

Понятие ортонормированности распадается на понятия ортогональности и нормированности.

( перпендикулярность  и длина=1).

В 3-х мерном пространстве ортогональный базис состоит из 3 взаимноперпендикулярных векторов.

Ортонормированный базис состоит из 3-х взаимноперпендикулярных векторов, длина каждого из которых = 1.

21. Расстояние между двумя точками.

Расстояние d между точками A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) плоскости определяется по формуле: 

22. Деление отрезка в данном отношении.

Если x₁ и y₁ - координаты точки A, а x₂ и y₂ - координаты точки B, то координаты x и y точки C, делящей отрезок AB в отношении  , определяются по формулам Если  , то точка C(x, y) делит отрезок AB пополам, и тогда координаты x и y середины отрезка AB определяются по формулам ;

23. Направление вектора в пространстве.

Вектором называется упорядоченная  пара точек. Первая точка называется началом вектора, вторая — концом вектора. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым, его длина равна нулю.Если длина вектора положительна, то его называют ненулевым.Ненулевой вектор можно определить также как направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек считается первой (началом вектора), а другая — второй (концом вектора). Направление нулевого вектора, естественно, не определено.

24. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярное произведение векторов - число = произвед длин на косинус между ними. 
Скалярное произ 2х векторов = модулю одного умноженного на проекцию другого на соноправленную с 1-ым вектором ось. 
Свойства: 
1. a*b=b*a 
2. (C*a)*b=C*(a*b) 
3.  a(b+c)=a*c+b*c;  
4.  
5. (a, b) = 0 =>  
6. ij = jk = kj = 0.  
Теорема 1: в пространстве R³ в ортонормированном базисе : 
 
 
Следствие из Т1:    
Для вектора :   
Механический смысл скалярного произведения: 
Пусть - сила, которая перемещает тело в направлении вектора S  ( на длину ) =>

 

 

 

 

25. Механический смысл скалярного произведения.

Физический смысл: если матер. точка проходит путь S под действием силы F, то работа совершаемая при этом равна: A = FS = ½F½½S½cosa

 

26. Ортонормированный базис. Выражение скалярного произведения через координаты в ортонормированном базисе.

Базис называется ортонормированным, если базисные векторы попарно ортогональны и  длина каждого из них =1. Декартова  система координат  с ортонормированным  базисом i,j,k называется прямоугольной системой координат, а векторы i,j,k ортами координатных осей. AB=xi+yi+ji

 

27. Векторное произведение векторов и его свойства.

Три некомпланарных вектора a, b, с взяты в указанном порядке и образуют правую тройку, если с конца 3-его вектора с кратчайший поворот от 1-ого a ко 2-ому b видим совершающийся против часовой стрелки, и левую – если по часовой.

Векторное произведение вектора a на b - это c, который:

1)с перпендикулярно a и b;

2)имеет  длину, численно равную площади  параллельного, параллелограмма  на векторах |c|=|a|*|b|*sinσ; 3) векторы a, b, с образ правую тройку.

 Замечание: Из определения вытекает след соотношения между ортами ijk:

1.  i*j=k;

2. j*k=i;

3. k*i=j;

Свойства:

1)векторное произ при перестановке множителей меняет знак. ( )

2)два  ненулевых вектора коллинеарны, когда их векторное произв =0.

Пункты: 1)условие коллиниарности: a//b => a*b=0;

2)нахождение  S параллелограмма и S треуг. Sпар= sin . Sтр=0,5*

3)определение  момента силы. |M|=|F|*|S|.

Теорема: ,

28. Механический смысл векторного произведения.

Механический  смысл скалярного произведения векторов. Скалярное произведение силы F на вектор перемещения S равно работе А этой силы при перемещении материальной точки по вектору S: A = FS

29. Векторное произведение в координатах.

Векторное произведение в координатах  
Если       , то  или  или 

 

30. Приложение векторного произведения в геометрии и механике.

1)коллинеарность условие: ax/bx=ay/by=az/bz

2)Если F приложена к точке А то вращательный момент силы под действием

 которой А вращается вокруг неподвижной точки О: М=ОАxА =½ОА½½F½sina

3)линейная скорость: V = w x r.

 

31. Смешанное произведение, геометрический смысл. Свойства смешанного произведения.

Смешанное произведение 3х  векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятого со знаком + (-), если эти векторы образуют правую (левую) тройку.

Свойства:

1)смешанное  произв не меняется при циклической перестановке его множителей.

( .

2)смешанное  произв меняет знак при перемене мест любых букв любых сомножителей

3)смешанное произ ненулевых векторов =0 тога, когда они компланарны.

Смешанное произ векторов = определителю 3-его порядка, составленного из координат перемноженных векторов.  
Приложение. 1)определение взаимных ориентаций векторов в пространстве: если >0 ( <0), то правая (левая) тройка векторов  
2)комплонарность векторов: компланарны, когда их произв =0.  
3)Геометрический смысл: Vпараллелепипеда= . Vтр=1/6( ). 
Вычисление:  ,

 

 

 

32. Смешанное произведение векторов в координатах.

 

 Если      
то 

 

33. Условия коллинеарности, ортогональности, компланарности векторов.

Коллинеарные векторы – векторы, у которых задающие их отрезки параллельны одной и той же прямой.

Примечание: если из двух коллинеарных векторов направление одинаковое, то вектора сонаправленные, а если противоположные, то называется противоположно-направленные.

Компланарные векторы – векторы, у которых задающие их отрезки параллельны одной и той же плоскости.

Примечание: два вектора в пространстве всегда компланарны.

Примечание: два вектора называются равными, если они сонаправлены и равны по длине.

 

34. Нормальное уравнение плоскости.

 

35. Общее уравнение плоскости. Частные случаи расположения плоскости.

Ax+By+Cz+D=0

Данное уравнение  определяет систему координат Оxyz на плоскость.