Шпаргалка по "Высшей математике"

1. Матрицы. Основные понятия. Линейные операции над матрицами и их свойства.

Матрицей  размера m на n называется совокупность mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа - номер строки и номер столбца.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей

Матрица размера n на n называется квадратной матрицей n-го порядка, т.е. число строк равно числу столбцов.

Квадратная  матрица называется диагональной, если все ее внедиагональные элементы равны нулю.

 Диагональная  матрица, у которой все диагональные  элементы равны 1, называется единичной  матрицей 
Сложение матриц.

Свойства сложения:

• А + В = В + А.
• (А + В) + С = А + (В + С) .
• Если О – нулевая матрица, то А + О = О + А = А

Замечание 1. Справедливость этих свойств следует из определения операции сложения матриц.

Замечание 2. Отметим еще раз, что  складывать можно только матрицы  одинаковой размерности.

Умножение матрицы на число.

Свойства умножения матрицы на число

• (km)A=k(mA).
• k(A + B) = kA + kB.
• (k + m)A = kA + mA.

Замечание 1. Справедливость свойств следует из определений 3.4 и 3.5.

Замечание 2. Назовем разностью матриц А и В матрицу С, для которой С+В=А, т.е. С=А+(-1)В. 
Перемножение матриц.

Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий  для размерностей сомножителей, а  именно: число столбцов первого множителя  должно равняться числу строк  второго.

Для квадратных матриц одного порядка  произведения АВ и ВА существуют и  имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в общем  случае не равны.

Однако в некоторых случаях произведения АВ и ВА совпадают

Обратная матрица.

 Квадратная матрица А называется вырожденной, если ∆А=0, и невырожденной, если∆А≠0

Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается

Для существования обратной матрицы  необходимо и достаточно, чтобы  исходная матрица была невырожденной.

 

2. Определитель матрицы. Свойства определителей.

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца. (∆А)

Свойства  определителей

• Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам):  , где и т. д. — строчки матрицы,  — определитель такой матрицы.
• При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
• Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
• Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.
• Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).
• Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
• Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.
• Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
• Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
• Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши).
• С использованием индексной нотации определитель матрицы 3×3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения:

3. Миноры и алгебраические дополнения.

Минором  элемента  матрицы  n-го  порядка  называется определитель матрицы  (n-1)-го порядка, полученный из матрицы  А  вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

 При выписывании определителя  (n-1)-го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются. 
Алгебраическим дополнением  Аij  элемента аij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца: то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.

4. Теорема замещения.

Суммы произведений произвольных чисел bi ,b2,...,b на алгебраические дополнения элементов любого столбца или строки матрицы порядка n равны определителю матрицы, которая получается из данной заменой элементов этого столбца (строки)числами b1,b2,...,bn.

5. Теорема аннулирования.

Сумма, произведений элементов одного из столбцов (строк) матрицы на соответствующие алгебраические дополнения элементов другого столбца (строки) равна нулю.

 

 

6. Некоторые методы вычисления определителей.

Теорема (Лапласа). Определитель матрицы порядка N = сумме произведения всех миноров k-го порядка которые можно составить из произвольно выбранных k параллельных рядов и алгебраических дополнений этих миноров

Теорема (о разложении определителя по элементам  ряда). Определитель кв. матрицы=сумме  произведений элементов некоторого ряда и алгебраических

дополнений  этих элементов

7. Умножение матриц. Свойства умножения.

Операция  умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк  второй матрицы.

Произведением матрицы А_m*n = (a_i,g) на матрицу В_n*p = (b_i,k) называется матрица Сm*p = (с_i,k) такая, что: ,

где i= , , т.е. элемент i-той и k-ого столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы к-ого столбца матрицы В.

Матрицы А, n*m и В, m*n, назыв. согласованными. (если А согласованно с В, то это не значит, что В согласованно с А).

Смысл согласованности  в том, чтобы количество столбцов 1-ой матрицы совпадало с количеством  строк 2-ой матрицы. Для согласованных  матриц можно определить операцию умножения.

Если  матрицы A и B квадратные и одного размера, то A*B и B*A всегда существуют. Транспонированием называется смена всех элементов столбца соотв элементами строки. Если A^T=A, то матрица А наз. симметричная (она обязательно квадратная).

8. Транспонирование матриц.

Транспонированная матрица — матрица  , полученная из исходной матрицы   заменой строк на столбцы. 
Формально, транспонированная матрица для матрицы   размеров   — матрица   размеров  , определённая как A^T[i, j] = A[j, i]. 
Например,

      и       

9. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы.

Пусть есть матрица А – невырожденная.

А^-1, A^-1*A=A*A^-1=E, где E –единичная матрица. A^-1 имеет те же размеры, что и A.

Алгоритм  нахождения обратной матрицы:

1. вместо каждого элемента матрицы а_ij записываем его алгебраическое дополнение.

а_ij А_ij

А* - союзная  матрица.

2. транспонируем полученную союзную матрицу. А^*Т
3. делим каждый элемент союзной матрицы на определитель матрицы А.

,  A^-1 = A^*Т

Теорема: (об аннулировании определителя): 
сумма произведений элементов некоторого ряда определителя на алгебраическое дополнение к элементам другого параллельного ряда всегда равна нулю.

10. Матричная запись системы линейных уравнений и её решения.

Матрицы дают возможность кратко записать систему  линейных уравнений. Пусть дана система  из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы   и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов 

Найдем  произведение

т.е. в  результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему  можно записать в виде

 или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A^-1, обратную матрице A:  . Поскольку A^-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A^-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу  можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно  решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A^-1B.

11. Решение невырожденных линейных систем, формулы Крамера.

СЛАУ  принято записывать в матричной  форме, когда сами неизвестные не указываются, а указывается только матрица системы А и столбец свободных членов В.

Решение невырожденных СЛАУ методом Крамера:

Х=А^-1*В

А^-1=

X1= (A₁₁b₁ + A₂₁b₂ + …+A_n1b_n)

Теорема: (Крамера): 
решение невырожденных уравнений АХ=В, можно записать так:

, Ак получается из А путем замены к-го столбца на столбец    свободного члена В.

12. Ранг матрицы. Свойства ранга матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

Максимальное  число линейно-зависимых строк  матрицы A наз. рангом матрицы и обознач r(a). Наибольшее из порядков миноров данной матрицы отличных от 0 наз рангом матрицы.

Свойства:

1)при  транспонировании rang=const.

2)если  вычеркнуть нулевой ряд, то  rang=const;

3)rang=cost, при элементарных преобразованиях.

3)для  вычисл ранга с помощью элементар преобраз матрица A преобраз в матриц B, ранг которой легко находится.

4)ранг  треуг матрицы=числу ненулевых элем, располож на глав. диагоналях.

Методы нахождения ранга матрицы:

1. метод окаймляющих миноров
2. метод элементарных преобразований

Метод окаймляющих миноров:

метод окаймляющих  миноров позволяет алгоритмизировать  процесс нахождения ранг-матрицы и позволяет свести к минимуму количество вычисления миноров.

1. если в матрице все нулевые элементы, то ранг = 0
2. если есть хоть один ненулевой элемент => r(a)>0

теперь  будем окаймлять минор М1, т.е. будем строить всевозможные миноры 2-ого порядка, ктр. содержат в себе i-тую строку и j-тый столбец, до тех пор, пока не найдем ненулевой минор 2-ого порядка.

М2 (i, i1, j.j1)

Дальше  аналогично строим миноры 3-го порядка, окаймляющие М2 (минор), до тех пор, пока не получим минор, отличный от нуля.

Процесс будет продолжаться до одного из событий: 
1. размер минора достигнет числа к.

2. на каком-то этапе все окаймленные миноры окажутся = 0.

В обоих  случаях величина ранга-матрицы  будет равна порядку большего отличного от нуля минора.

Метод элементарных преобразований: 
как известно, понятие треугольной матрицы определяется только для квадратных матриц. Для прямоугольных матриц аналогом является понятие трапецивидной матрицы.

 

Например: ранг = 2.

 

13. Теорема Кронекера - Капелле. Решение произвольных линейных систем.

Теорема Кронекера-Капелли: система лин алг ур-ий совместна, когда rangA=rang (волнистая). Теорема: если rang совместной системы= числу неизвестных, то система имеет одно решение. Теорема: если ранг совмест сист < числа неизвестных, то система имеет бесконеч решений.