Шпаргалка по "Высшей математике"

66. Функция. Основные понятия. Способы её задания.

Функцией называется закон, по которому числу х из заданного  множества Х, поставлено в соответствие только одно число у, пишут  , при этом x называют аргументом функции, y

называют значением  функции.

1. Аналитический способ.

2. Графический способ.

3. Словесный способ.

4. Табличный способ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

67. Числовая последовательность и её предел.

Сформулируем  два, эквивалентных между собой, определения предела функции  в точке:

Определение ( по Коши): число А называется пределом функции в точке х₀  , если для любого положительного найдется такое положительное число , что для всех х х₀ , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Коротко это определение:

.

Определение (по Гейне):

Число А называется пределом функции в точке х0, если для любой последовательности допустимых значений аргумента хn, сходящейся к х0, последовательность соответствующих значений функции , , сходится к числу А.

Односторонние пределы: 
число А называется пределом функции слева в точке x₀, если для любого число >0 существует число = ( )>0 такое, что при выполняется неравенство .

Предел  слева записывают так: 

Аналогично  определяется предел функции справа:

.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

Предел функции при :

Число А называется пределом функции при , если для любого положительного числа существует такое число М=М( ) >0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Коротко:

68. Последовательность. Теорема Больцано – Вейерштрасса.

Теорема Больцано — Вейерштрасса, или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке — предложение анализа, одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства   можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Теорема Больцано — Вейерштрасса, в особенности случай числовой последовательности ( ), входит в каждый курс анализа. Она используется при доказательстве многих предложений анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней. Теорема носит имена чешского математика Больцано и немецкого математика Вейерштрасса, которые независимо друг от друга её сформулировали и доказали. 
Пусть предложена последовательность точек пространства  : и пусть эта последовательность ограничена, то есть где   — некоторое число. 
Тогда из данной последовательности можно выделить подпоследовательность которая сходится к некоторой точке пространства  .Теорему Больцано — Вейерштрасса в такой формулировке иногда называют принципом компактности ограниченной последовательности.

 

69. Число е. Натуральные логарифмы.

e — математическая  константа, основание натурального  логарифма, трансцендентное число.  Иногда число eназывают числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где e — иррациональная константа, равная приблизительно 2,718281828. Натуральный логарифм обычно обозначают как ln(x), loge(x) или иногда просто log(x), если основание eподразумевается.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

70. Конечный предел функции.

Предел (конечный и бесконечный) какой-либо подпоследовательности называется частичным пределом последней. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (теорема Больцано — Вейерштрасса), а из всякой неограниченной — бесконечно большую. В множестве всех частичных Предел последовательности всегда имеется как наибольший, так и наименьший (конечный или бесконечный). Наибольший (соответственно наименьший) частичный Пределпоследовательности x_n, n = 1, 2,..., называют её верхним (соответственно нижним) пределом и обозначается   (соответственно  ). Например, 
 
 
 
 
 
  Последовательность имеет конечный или бесконечный Предел тогда и только тогда, когда её верхний Пределсовпадает с нижним, при этом их общее значение и является её Предел Конечный верхний Предел последовательности можно также определить как такое число а, что при любом e > 0 существует бесконечно много членов последовательности, больших, чем а — e, и лишь не более, чем конечное число членов, больших, чем a + e.

71. Бесконечный предел функции.

Условная  запись обозначает, что для любого E > 0 справедливо неравенство:

|f(x)| > E, если только 0 < |x - a| < δ (E) .

72. Односторонние пределы.

число А называется пределом функции слева в точке x₀, если для любого число >0 существует число = ( )>0 такое, что при выполняется неравенство .

Предел слева записывают так: 

Аналогично  определяется предел функции справа:

.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

 

 

73. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между б.м и б.б функциями.

Функция называется бесконечно большой при , если для любого числа M>0 существует число = (М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< , выполняется неравенство . Записывают . Коротко:

Функция называется бесконечно большой при , если для любого числа M>0 найдется такое число N=N (М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Коротко:

Всякая  бесконечно большая функция в  окрестности точки х0 является неограниченной в этой окрестности.

Бесконечно  малая функция: 
Функция называется бесконечно малой при , если : для любого числа >0 найдется число >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< , выполняется неравенство .

Теорема: алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Теорема: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Следствие: так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы вытекает произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие: произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема: частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Теорема: если функция - бесконечно малая, то обратная ей функция – бесконечно большая и наоборот.

74. Теорема о разности между функцией и её пределом.

Если функция   имеет предел  , то разность между функцией и значением предела есть функция, бесконечно малая при  .

75. Ограниченная функция. Теорема об ограниченности функции.

Если функция f(x) имеет предел в точке a  ,то она ограниченна

 в некоторой окрестности  точки a.

76. Теорема о произведении б.м  функции на ограниченную

Произведение бесконечно малой  при   функции на ограниченную в

 некоторой окрестности точки а функцию есть бесконечно малая функция при  .

77. Теорема о делении б.м функции на функцию, предел которой отличен от 0.

78. Теорема о единственности предела функции. Теорема о существовании предела.

Теорема о существовании  предела.Функция не может иметь более одного предела.

Следствие. Если две функции f(x) и g(x) равны в некоторой окрестности точки  , за исключением, может быть, самой точки  , то либо они имеют один и тот же предел при  , либо обе не имеют предела в этой точке. Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она имеет предел.

79. Теорема сравнения.

в теории дифференциальных уравнений- теорема, утверждающая наличие определенного свойства решений дифференциального уравнения (или системы дифференциальных уравнений) в предположении, что некоторым свойством обладает вспомогательное уравнение или неравенство (система дифференциальных уравнении пли неравенств).

1) Теорема  Ш т у р м а: любое нетривиальное решение уравнения обращается в нуль на отрезке [t0, t1] не более т раз если этим свойством обладает уравнение и при .

2) Дифференциальное  неравенство: решение задачи покомпонентно неотрицательно при если этим свойством обладает решение задачи и выполнены неравенства

80. Предел суммы, произведения, частного.

1)Предел  суммы двух функций равен сумме  их пределов:  2)Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

3)Предел  частного двух функций равен  пределу делимого, деленного на  предел делителя, если предел  делителя не равен  :       

81. Теорема о промежуточной функции

одна  из простейших теорем, изучаемых в  рамках курса математического анализа.

Пусть в  некоторой окрестности  точки функция заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел при , то есть .

Тогда . 

Доказательство. Из неравенства получаем неравенство . Условие позволяет предположить, что для любого существует окрестность , в которой верны неравенства и . Из изложенной выше оценки максимумом следует, что при , что удовлетворяет определению предела, то есть .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

82. Первый замечательны предел.

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел  называемый первым замечательным пределом.

Читается: предел отноешния синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.

Доказательство:

Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную  меру угла МОВ через х. пусть 0<x< . На рисунке , дуга МВ численно равна центральному углу х, . Очевидно, имеем . На основании соответствующих формул геометрии получаем . Разделим неравенство на >0, Получим 1<

Так как  , то по признаку ( о пределе промежуточной функции) существования пределов .

А если x<0 => , где –x>0 =>

83. Второй замечательный предел.

Как известно, предел числовой последовательности , имеет предел равный e. .  1.Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где n=[x] – это целая часть x. Отсюда следует , поэтому . Если , то . Поэтому: ,

. По признаку существования  пределов: . 2. Пусть . Сделаем подстановку –x=t, тогда = . и называются вторым замечательным пределом. Они широко используются при вычислении пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием e. Функция называется экспоненциональной,  употребляется также обозначение .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

84. Сравнение б.м функций. Эквивалентные б.м функции.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.Пусть α=α(х) и ß=ß(х) есть б.м.ф. при х→х_о, т. е.  и 

1. Если  =А¹ 0 (АєR), то α и ß называются бесконечно

 малыми  одного порядка.

2. Если,  =0, то α називатся бесконечно малой более высокого порядка , чем ß.

3. Если  =∞, то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем ß.

4. Если   не существует, то α и ß называются несравнимыми бесконечно малыми.

85. Свойства эквивалентные б.м функций.

Свойства  эквивалентных бесконечно малых:

1. Разность  двух  эквивалентных бесконечно  малых есть бесконечно малая  высшего порядка относительно  каждой из них. 

2. Если из  суммы нескольких бесконечно  малых разных порядков отбросить  бесконечно малые высших порядков, то оставшаяся часть, называемая  главной, эквивалентна всей сумме. 

 

 Из первого  свойства следует, что эквивалентные  бесконечно малые могут сделаться  приближенно равными со сколь  угодно малой относительной погрешностью. Поэтому знак  мы применяем  как для обозначения эквивалентности  бесконечно малых, так и для  записи приближенного равенства  их достаточно малых значений.

86. Непрерывность функции в точке. Определение. Свойства функций, непрерывных в точке.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x0) точки x0 (включая саму точку x0).

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует , равный значению функции f(x) в этой точке: =f(x0).  
Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке :

Функция y = f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда

Замечание. Условие можно трактовать как второе определение непрерывности функции в точке. Оба определения эквивалентны.