Шпаргалка по "Высшей математике"

Частные случаи расположения плоскости определяемое общем уравнением.

• А=0 плоскость параллельна Ох
• B=0 плоскость параллельна Оy
• C=0 плоскость параллельна Оz
• D=0 через начало координат
• A=B=0 Перпендикулярно Oz (параллельно xOy)
• A=C=0 Перпендикулярно Oy (параллельно xOz)
• B=C=0 Перпендикулярно Ox (параллельно yOz)
• A=D=0 Проходит через ось Ox
• B=D=0 Проходит через ось Oy
• C=D=0 Проходит через осьOz
• A=B=D=0 Совпадает с плоскостью xOy
• A=C=D=0 Совпадает с плоскостью xOz
• B=C=D=0 Совпадает с плоскостью yOz

 

36. Уравнение плоскости в отрезках

. ,            

37. Уравнение плоскости, проходящее через заданную точку.

Точка Мо(Хо, Уо), вектор

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.

38. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности.

 

 Условие перпендикулярности

 условие параллельности

 

39. Расстояние от точки до плоскости.

40. Общее уравнение прямой в R³

Общие уравнения прямой:

А₁х +B₁y + C₁z + D₁=0

A₂x + B₂y + C₂z + D₂=0

41. векторное уравнение прямой.

42. Параметрическое и каноническое уравнение прямой.

Канонические уравнения прямой линии в пространстве, или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, имеют вид:

     .

где x0, y0, z0 - координаты точки, через которую  проходит прямая, а m, n и p - направляющие коэффициенты прямой, которые являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz направляющего вектора прямой.

В параметрическом виде уравнения прямой линии в пространстве записываются так:

.

 

43. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки.

44. Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду.

45. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямой.

Услов. параллельности: А₁ / А₂ = В₁ / В₂

Услов. Перпендикулярности : А₁А₂ + В₁В₂ = 0

46. Прямая линия на плоскости. Нормальное уравнение прямой

 Cosα,Cosβ- направляющие косинусы нормального вектора n.

p- расстояние от начала координат до прямой.

47. Общее уравнение прямой. Исследование общего уравнения прямой.

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

•  C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

•  А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

•  В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

•  В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

•  А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

48. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

 k-угловой коэффициент

49. Уравнение прямой проходящие через 2 заданные точки R².

Пусть в пространстве заданы две точки M ₁ ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и M₂ ( x ₂, y ₂ , z ₂ ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

50. Угол между прямымиR².

Если заданы две прямые y = k₁ x + b₁ , y = k ₂x + b₂ , то острый угол между этими прямыми будет определяться как .

51. Условие параллельности и перпендикулярности прямыхR².

Условие параллельности  2 прямых записывается в виде ││ , =

Условие перепендикулярности прямых записывается в ( , )= 0   

52. Уравнение прямой в отрезках

 

 

 

 

 

 

53. Расстояние от точки до прямой в К. Угол между 2 прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой в отрезках.

Расстояние от точки до прямой:  расстояние от точки   до точки  на плоскости находится через координаты точек по формуле   
угол между ними определяется по формуле  
Если прямая задана общим уравнением ,то ее угловой коэффициент определяется по формуле . 
Если прямая проходит через точки  ( ,  ),  ( ,  ), то ее угловой коэффициент определяется по формуле . 
Если известны угловые коэффициенты   и   двух прямых, то один из углов   между этими прямыми определяется по формуле . 
Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: . 
Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение , или  .

54. Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Определение точек пересечения прямой и плоскости.

Если прямая и плоскость заданы уравнениями то они: 
а) параллельны тогда и только тогда, когда а₁А + а₂В + а₃С = 0;  
б) перпендикулярны тогда и только тогда, когда      

То есть синус угла   между прямой, направляющий вектор которой имеет координаты   и плоскостью, заданной уравнением   вычисляется по формуле:

55. Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения.

Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки на плоскости.

Общее уравнение окружности записывается как:

или

 

 

 

 

 

56. Эллипс. Определение. Вывод канонического уравнения. Исследование формыэллипса.

Геометрическое  место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек  плоскости (обычно  называемых фокусных) постоянна, называется эллипсом.

Если  оси координат расположены так, что Ox проходит через фокусы F₁(C,0) и F₂(-C,0), а О(0,0) совпадает с серед отрезка F₁F₂, то по F₁М+F₂M получаем:

 каноническое ур-ие эллипса ,

 b²=-(с²-a²).

а и b- полуоси эллипса., а-большая, b-меньшая.

Эксцентриситет. , (если а>b)

                             (если а<b)

Эксцентриситет  характеризует выпуклость эллипса.

У эллипса  эксцентриситет находится: 0 .

Случай  =0 возникает только тогда, когда с=0, а это есть случай окружности – это эллипс с нулевым эксцентриситетом.

Директрисы (D) Геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до точки эллипса к расстоянию от этой точки эллипса до фокуса постоянно и равно величине , называется директрисами.  .

Примечание: у окружности нет директрисы.

 

57. Гипербола. Определение. Вывод канонического уравнения гиперболы. Исследование формы гиперболы.

Геометрическое  место точек, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных  точек плоскости постоянна, называется гиперболой.

Каноническое  уравнение гиперболы: 
, где .

Гипербола есть линия второго порядка.

Гипербола имеет 2 асимптоты: и

Гипербола называется равносторонней, если ее полуоси равны. (а=b). Каноническое уравнение:

Эксцентриситет – отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы: 

Так как  для гиперболы с>а , то эксцентриситет гиперболы >1.

Эксцентриситет  характеризует форму гиперболы: . Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен равен .

Директрисы – прямые .

Фокальные радиусы: и .

Есть  гиперболы, которые имеют общие  асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

58. парабола. Определение. Вывод канонического уравнение параболы.

Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Расстояние  от фокуса до директрисы – параметр параболы (p>0).-полуфокальный диаметр.

Парабола  есть линия второго порядка.

 

М(х,у) – произвольная точка параболы. Соединим точку М с F, проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF=MN. По формуле расстояния между 2 точкам находим: =>

  = =>

=>

Каноническое  уравнение параболы: 
y² = 2px.

59. Исследование общего уравнения линии 2  порядка в случае отсутствия члена с произведением текущих координат.

60. Сфера. Определение. Вывод канонического уравнения.

Сфера радиуса R с центром в точке S (a; b; c):

Эллипсоид Каноническое уравнение:

61. Цилиндрические поверхности.

Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую K, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром при этом кривая К – направляющая цилиндра, а L – его образующая.

Эллиптический цилиндр 

Эллиптическое уравнение:

Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр, его уравнение x² + y² = R². Уравнение x²=2pz определяет в пространстве параболический цилиндр.

Уравнение: определяет в пространстве гиперболический цилиндр.

Все эти  поверхности называются цилиндрами второго порядка, так как их уравнения есть уравнения второй степени относительно текущих координат x, y, z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

62. Эллипсоиды.

Исследуем поверхность, заданную уравнением:

Рассмотрим  сечения поверхности с плоскостями, параллельными плоскости xOy. Уравнения таких плоскостей: z=h,где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя ур-ниями:

z=h .

Исследуем поверхность:

А) если то Линия пересечения поверхности с плоскостями z=h не существует.

Б) если , линия пересечения вырождается в две точки (0,0,с), и (0,0,-с). Плоскости z = c, z = - c касается данной поверхности.

В) если , то уравнения можно переписать в виде: , как видно, линия пересечения есть эллипс с полуосями а1 = , b1 = . При этом, чем меньше h, тем больше полуоси. При н=0 они достигают своих наибольших значений. а1=а, b1=b. Уравнения примут вид: 

h=0.

Рассмотренные сечения позволяют изобразить поверхность  как замкнутую овальную поверхность. Поверхность называется эллипсоидами., если какие-либо полуоси равны, трехосный  эллипсоид превращается в эллипсоид  вращения, а если а=b=c, то в сферу.

63. Гиперболоиды.

1. Исследуем  поверхность  . Пересекая поверхность плоскостью z=h, получим линию пересечения, уравнения которой имеет вид

         
z=h.    или      z=h полуоси: а1=    b1=

полуоси достигают своего наименьшего значения при h=0: а1=а, b1=b. При возрастании h полуоси эллипса будут увеличиваться. => х=0.

Анализ  этих сечений показывает, что поверхность, определяемая уравнением, имеет форму  бесконечной расширяющейся трубки. Поверхность называется однополостным гиперболоидом.

2. -уравнение поверхности.

 

 и - поверхность, состоящая из 2 полостей, имеющих форму выпуклых неограниченных чаш. Поверхность называется двухполостным гиперболоидом.

64. параболоиды.

. -это эллиптический параболоид.

   Каноническое  уравнение: (р>0, q>0).

     p = q - параболоид вращения вокруг  оси Oz.

Сечения эллиптического параболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо точка.

2. - гиперболический параболоид.

    Сечения гиперболического параболоида  плоскостями - либо гипербола,  либо парабола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).

65. Канонические поверхности.

 Каноническое уравнение:

     a = b - конус вращения (прямой круговой) 
Сечения конуса плоскостями: в плоскости, пересекающей все прямолинейные образующие, - эллипс; в плоскости, параллельной одной прямолинейной образующей, - парабола; в плоскости, параллельной двум прямолинейным образующим, - гипербола; в плоскости, проходящей через вершину конуса, - пара пересекающихся прямых или точка (вершина).