Шпаргалка по "Высшей математике"

Пусть функция f(x) определена в полуинтервале [x0, x0 + δ ).

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x0, если существует односторонний предел  

Пусть функция f(x) определена в полуинтервале (x0 −  δ, x0].

Функция f(x) называется непрерывной слева в точке x0, если существует односторонний предел  

Непрерывность суммы, произведения и  частного двух непрерывных функций :

Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то в этой точке непрерывны

f(x) ± g(x),   

 f(x) · g(x),        

  ,   (g(x0) ≠ 0).

87. Непрерывность функции на отрезке.

1) Функция называется непрерывной  справа в точке a, если  lim _{x ® a + 0} f(x) = f (a) и непрерывной слева в точке a, если lim _{x ® b + 0} f(x) = f (b).

2) Функция называется непрерывной  на отрезке [a,b], если она непрерывна во всех внутренних точках отрезка и непрерывна справа на левом конце и непрерывна слева на правом конце.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

88. Свойства функций, непрерывных в отрезке. Точки разрыва и их классификация.

Свойства функций, непрерывных  на отрезке:

Теорема (Вейерштрасса): если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Следствие: если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Непрерывность функции в интервале  и на отрезке:

Функция y=f(x) называется непрерывной в интервале (a,b),если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [a,b] , если она непрерывна в интервале (a,b) и в точке х=а непрерывна справа (т.е. ), а в точке x=b непрерывна слева ( ).

Равномерная непрерывность:

Функция f: X → R называется равномерно-непрерывной на множестве X, если

.

классификация точек разрыва.

  Рассмотрим  некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х0, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х0 является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

 

Следует отметить также, что непрерывность  функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

 

  Если  односторонний предел  , то функция называется непрерывной справа.

Если односторонний предел , то функция называется непрерывной слева.

Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.

Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

 

 

Если  значения на концах разрыва совпадают, то для наличия разрыва нужно, чтобы либо эти совпадающие значения были отличны от значения функции  в точке , либо функция в этой точке была вовсе не определена. Если в этом случае переопределить (или доопределить) функцию в точке , то полученная изменённая функция будет уже непрерывна в точке и разрыв в точке исчезнет; отсюда и название такого разрыва -- устранимый.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

89. Производная. Определение. Механический и геометрический смысл производной.

Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

Угол  между кривыми может быть определен  как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой:

Уравнение нормали к кривой: .

Фактически  производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении  переменной.

Физический  смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

90. Дифференцируемость функции. Определение. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение Δy в точке x0 может быть представлено в виде: Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx, где A -- некоторое число, независящее от Δx, а α(Δx)-- бесконечно малая функция от переменной Δx, т.е. limΔx→0α(Δx)=0. Если функция   дифференцируема в некоторой точке a, то она непрерывна в этой точке. По определению производнойЭто предельное равенство означает, что выражение под знаком предела можно представить в видегде  α(x)  – бесконечно малая функция при x → a. Тогда Следовательно,    при  x → a.

91. Основные правила дифференцируемости.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) , если v ¹ 0

Эти правила могут быть легко  доказаны на основе теорем о пределах.

92. Производная сложной функции.

Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Тогда      

Доказательство.    

( с учетом  того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

Тогда . Теорема доказана.

Дифференциал сложной  функции.

Инвариантная форма  записи дифференциала.

Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.

Тогда     dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

Однако, если х- независимая переменная, то dx = Dx, но

если х зависит от t, то           Dх ¹ dx.

Таким образом форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.

 

 

 

 

93. Производная обратной функции.

Производная обратной функции: y = f(х) с областью определения Д и значений Е. Если обратное ей соответствие таково, что для каждого у є Е, определяется единственное значение х є Д, то мы получим обратную функцию. Обратная – х = f ^-1 (у)Пусть y = f(х) имеет в точке х_О производную f ¢(x_O) = lim _{Dx ®0} Dy / Dх. Чтобы найти производную обратной функции нужно найти предел lim _{Dx ®0} Dх / Dу = (f ^-1 (y_O))¢Вследствие непрерывности функции y = f(х) при Dx®0 Dу®0, тогда lim _{Dx ®0} Dх / Dу = 1 / f ¢ (х_O).Производные обратных функций обратны по величине:

х ¢ (у_O) = 1 / f ¢ (х_O)     f ¢ (х_O) ¹ 0

у ¢ (х_O) = 1 / f ¢ (у_O)     f ¢ (у_O) ¹ 0

94. Производные основных элементарных функций: sinu, cosu, tgu, ctgu, uⁿ, a^u, e^u, lnu, logu, arcsinu, arcosu, arcctgu, гдеu = u(x).

Производные основных элементарных функций.

1)С¢  = 0;  9)

2)(x^m)¢ = mx^m-1;                                               10)

3)                                   11)

4)                                   12)

5)                                     13)

6)                              14) 

7)                                    15)

8)                         16) 

95. Гиперболические функции и их дифференцирование.

Гиперболические функции: Встречаются различные комбинации показательных функций. Их рассматривают как новые функции:

Гип. синус – Sh - (e^x – e^-x) /2

Гип. косинус -  Ch – (e^x + e^-x) / 2

Гип. тангенс – th - (e^x – e^-x / 2) / (e^x + e^-x / 2)

Гип. котангенс – cth - (e^x + e^-x / 2) / (e^x – e^-x / 2)

(Sh x)¢ = Ch x   (Ch x)¢ = - Sh x

(th x)¢ = 1 / Ch² x  (cth x)¢ = - 1/ Sh² x

 

96. Дифференцирование функций, заданной неявно.

Пусть функция   y f x = ( ) задана уравнением F x y ( , ) = 0 . В этом случае говорят, что  функция задана неявно . Для нахождения производной считаем, что в уравнении   y зависит от x ,иначе.  Другими словами дифференцируем уравнение ,  считая сложной функцией, зависящей отF x y x , ( ) = 0 F x y x , ( ) = 0 y x .

97. Дифференцирование функций, заданной параметрически.

Пусть

Предположим, что эти функции  имеют производные и функция  x = j(t) имеет обратную функцию t = Ф(х).

Тогда функция у = y(t) может быть рассмотрена как сложная функция y = y[Ф(х)].

т.к. Ф(х) – обратная функция, то

Окончательно получаем:

Таким образом, можно находить производную функции, не находя непосредственной зависимости у от х.

98. Дифференциал функции. Его связь с производной.

Дифференциал  функции - это произведение производной  f ’( x₀ ) и приращения аргумента    : df = f ’( x₀ ) ·   .

 

 

 

99. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Если приращение delt x аргумента мало по абсолютной величине,то delt y приблизительно равно dy и получаем формулу приближенных вычеслений с помошью дифферинциалов f (x_O +delt x) приблизительно равно f (x_O) + f `(x_O) delt x

100. Геометрический смысл дифференциала.

 Из  треугольника DMKL: KL = dy = tga×Dx = y¢×Dx

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

101. Основные правила и формулы нахождения дифференциала (таблица дифференциалов, дифференциал постоянной, суммы, произведения, частного).

Основные правила дифференцирования.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) , если v ¹ 0

Эти правила могут быть легко  доказаны на основе теорем о пределах.

102. Инвариантность формы дифференциала первого порядка.

Инвариантная форма  записи дифференциала.

 

Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.

Тогда     dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

Однако, если х- независимая переменная, тот dx = Dx, но если х зависит от t, то  Dх ¹ dx.

Таким образом форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.

103. Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть существует такое множество X, что для  . Тогда может получиться, что производная   имеет производную в некотрой точке. Такая производная называется второй производной или производной второго порядка. Обозначается   или  . В общем виде  . Переходя к дифференциалам, получаем:  .   .

Не следует путать обозначения:  ,  . Второй дифференциал от x равен 0 только тогда, когда x - независимая переменная или линейная функция от независимой переменной. В этом случае любой дифференциал  . То есть для  дифференциалы высших порядков.

 

 

 

 

104. Теорема Ролля. Геометрический смысл теоремы Ролля.

Если  функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(a)=f(b), то найдется хотя бы одна точка , в которой производная обращается в ноль, т.е. .

 

105. Теорема Лагранжа. Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Теорема Лагранжа: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b), то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство . Это так же является формулой о конечном приращении: приращение дифференцируемой функции на отрезке [a,b] равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой точке этого отрезка. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

106. Теорема Коши

Теорема Коши: Если функции f(x) и непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы на интервале (a,b), причем для , то найдется хотя бы одна точка , такая, что выполняется равенство .