Нерівності з модулями

    Відповідь: хÎ(-5; 1).

    Приклад 11:

    Розв’язати нерівність:

    ½x +x - 6½< x +½x - 5½- 1.

    Розв’язання:

    Тричлен x +x – 6 має корені х = -3 і х = 2. Тому при х<-3 або при х>2  х +х – 6 > 0, а при -3 <х<2  х +х - 6<0. Далі при х>5  х–5>0, а при х<5  х - 5<0.

   Розглянемо 4 випадки.

    А) Знайдемо всі розв’язки нерівності, які задовольняють умову х<-3.

    При таких значеннях х х +х - 6>0 і х-5<0. дана нерівність матиме вигляд:

х

+х-6<х - (х-5)-1,

звідки

2х<10 і х<5.

    Шукані розв’язки повинні задовольняти як знайдену нерівність х<5, так і нерівність х<-3, прийняту за умовою, тому вони є розв’язками системи нерівностей:

звідки  х<-3.

    Б) Знайдемо всі розв’язки нерівності, які задовольняють умову -3 х <2.

    При таких значеннях х  х +х - 6<0 і х -5<0. Дана нерівність матиме вигляд:   

-х

-х+6<х -(х-5)-1,

або

20

х

-1>0,

звідки 

х<-1 або х>1.

    Розв’язуючи систему нерівностей

знаходимо шукані розв’язки:

-3

х<-1 і 1<x<2.

    В) Знайдемо всі розв’язки нерівності, які задовольняють умову 2 х<5.

    При таких значеннях х  х +х-6>0 і х-5<0. Дана нерівність матиме вигляд:

х

+х-6<х - (х - 5) – 1,

звідки

2х<10 і х<5.

    Розв’язуємо систему нерівностей:

    Дістаємо

2

х < 5.

    Г) Знайдемо всі розв’язки нерівності, які задовольняють умову х 5.

    При таких значеннях х  х +х-6>0 і х-5>0. Дана нерівність матиме вигляд:

х

+х - 6 < х +х – 5 - 1,

звідки

0х<0.

    Ця нерівність не має розв’язків.

    Отже, дана нерівність має такі  розв’язки:

х<-3, -3

х< -1, 1< х <2 і 2 х <5,

що коротше  можна записати так:

х <-1 і 1<х<5.

    Відповідь: хÎ(-∞;-1) ∪ (1; 5).   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

21

8. Висновки

    В своїй праці я узагальнила і систематизувала знання про нерівності з модулями. Зокрема, розглянула найпростіші нерівності з модулями, нерівності, що містять модуль під знаком модуля, суму і різницю модулів, квадратні нерівності. Основну увагу приділила теорії до теми наукової роботи, а також прикладам, які відображають основний зміст моєї праці. Я розглянула різні способи розв’язання нерівностей:

    1) використовуючи алгебраїчний зміст модуля;

    2) спираючись на геометричний  зміст модуля;

    3) використовуючи властивості модуля числа.

    Розв’язання нерівностей з модулями має велике освітнє значення, а саме:

    1) полегшує вивчення цієї теми  під час уроків математики;

    2) сприяє формуванню в учнів  абстрактного та алгоритмічного видів мислення, логічного мислення розгалуження, наочно-образного мислення, пошукової еврістичної діяльності;   

   3) допомагає успішному складанню екзаменів та іспитів з математики;

У подальшому я планую теж працювати над  цією темою, використовуючи більші знання та глибшу інформацію про нерівності з модулями. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

22

 

9. Література

1. Апостолова Г. В. Хитромудрий модуль. – К.: Поліграфсервіс, 2001. 

2.  Шваєцький М. Г. Абсолютні величини в шкільному курсі математики. – К.: Радянська школа, 1967.  

3. Репета В. К. Рівняння, нерівності та системи рівнянь, що містять знак абсолютної величини. – К.: Математична газета, 2006.

4. Прошак  С. Навколо відстані між двома  точками координатної прямої. –  К.: газета “Математика”, 2006.

5. Коваленко В. Г., Кривошеєв В. Я., Старосєльцева О. В. Алгебра для 9-го

 класу.  – К.: Освіта, 1996.

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

23