Нерівності з модулями

    І, нарешті, доведення п’ятого співвідношення. Його можна довести, спираючись на таку властивість модуля:

½½a½ - ½b½½

½a b½ ½a½+½b½.

    Згідно умові п’ятого співвідношення і поданої властивості маємо

½x - a½

½x - b½+c =½x - b½+ ½а - b½Û

½x – b – а +b½

½x - b½+½а - b½Û

½x - a½

½x - b½½а - b½.

    Ця нерівність виконується. Отже, х Î R. П’яте співвідношення доведено. 

    Приклад 3:

    Розв’язати нерівність:

    ½х + 1½ ½х – 1½+2.

    Розв’язання:

    Згідно умові п’ятого співвідношення  c = ½a - b½, тобто 2 = ½-1 - 1½=2.

    Оскільки ця умова виконується,  то х Î R.

    Нерівність доведено.

7. Квадратні  нерівності

    Переходимо до розгляду квадратних нерівностей з модулями. Звичайно, розв’язування таких нерівностей зводиться до розв’язування квадратних нерівностей або систем нерівностей. 

   Приклад 1:

   Розв’язати нерівність:

    3х²+½х½- 4 > 0.

    Розв’язання:

   Розглядаючи цю нерівність, як нерівність відносно ½х½, дістаємо:

    Перша з цих нерівностей не  має розв’язків; з другої виходить, що х>1 або x<-1.

    Відповідь: х Î (-∞; -1) ∪ (1; ∞). 

    Приклад 2:

   Розв’язати нерівність:

    2х²- 5½х½+ 2 < 0.

   Розв’язання:

16

    З даної нерівності дістаємо:

0,5< ½х½<2,

звідки

0,5< х <2 або -2< х <-0,5.

    Відповідь: : х Î (-2; -0,5) ∪ (0,5; 2).    

    Приклад 3:

   Розв’язати нерівність:

    х²-½х½- 2 < 0.

    Розв’язання:

    Маємо:

-1< ½х½<2.

    Але ½х½ 0, тому

0

½х½<2,

звідки

-2< х <2.

  Відповідь: х Î (-2; 2).       

  Приклад 4:

   Розв’язати нерівність:

    3х²+5½х½+1 < 0.

    Розв’язання:

    Ця нерівність не має розв’язків, оскільки при будь-яких значеннях х ліва частина нерівності набуває додатних значень.

    Відповідь: х Î Ø.

    Приклад 5:

   Розв’язати нерівність:

    4х² - 4½х½+1 > 0.

    Розв’язання:

    Квадратна функція 4х - 4½х½+1 відносно аргументу ½х½має дискримінант, що дорівнює нулеві. Тому ця функція при будь-яких значеннях ½х½, крім½х½= 0,5, набуває додатних значень.

    Отже, розв’язком даної нерівності є довільне число х, крім ½х½= 0,5.

    Відповідь:  х Î (-∞; -0,5) ∪ (-0,5; 0,5) ∪ (0,5; ∞).

     Приклад 6:

  Розв’язати нерівність:

  ½2х² + 3х - 3½>2.

    Розв’язання:

    Ця нерівність еквівалентна сукупності  двох нерівностей: 

17

 

або

2х² + 3х  – 5 >0 і 2х² + 3х – 1 < 0.

    Розв’язуючи ці нерівності, знаходимо:

x<-2,5; x>1 i

< x <

   Приклад 7:

   Розв’язати нерівність:

   ½х² + 5х - 10½<4.

    Розв’язання:

    Ця нерівність еквівалентна системі двох нерівностей:

або

Розв’язуємо цю систему                                        

звідки

-7<x<-6 i 1<x<2.

   Приклад 8:

   Розв’язати нерівність:

    >3.

    Розв’язання:

    З даної нерівності виходить, що

>3 або <-3.

    Але при всіх значеннях х  х²+х+1>0. Тому, помножаючи обидві частини кожної з цих нерівностей на х²+х+1, дістанемо:

х² - 3х – 1 > 3x² + 3x + 3 або x² - 3x – 1 < -3x² - 3x - 3,

звідки

х² + 3х + 2 < 0 або 2х² + 1<0.

    Друга з цих нерівностей не  має розв’язків. З першої нерівності знаходимо:

18

 -2 < x < -1.

    Відповідь: хÎ(-2;-1).

   Приклад 9:

  Розв’язати нерівність:

    >0.

    Розв’язання:

    Ця нерівність еквівалентна сукупності двох систем нерівностей:

 і 

    Розв’язуємо першу систему. Дістаємо:

    звідки знаходимо такі розв’язки:

-1< x <3 i x > 4.

    Розв’язуємо другу систему. Маємо:

 

звідки

-4 < x <-3.

    Дана нерівність має такі розв’язки:

-4 < x < -3, -1 <x < 3 i x > 4.

    Відповідь: хÎ(-4;-3) ∪ (-1; 3) ∪ (4;+∞).

    Приклад 10:

  При яких значеннях параметра k нерівність

   

     справджується при будь-яких значеннях  х?

    Розв’язання:

    З даної нерівності виходить, що

-3< <3,

оскільки  при всіх значеннях х х +х+1>0, то

-3(х

+х +1) < x -kx +1<3(x +x+1).

    Дістаємо систему нерівностей:

19

  або

    За умовою, ця система нерівностей має справджуватися при всіх значеннях х. Це можливо, коли дискримінанти лівих частин нерівностей від’ємні. На підставі цього утворюємо нову систему нерівностей:

 

звідки 

або

-5 < k < 1.