Автор: Пользователь скрыл имя, 11 Октября 2011 в 01:49, научная работа
Поняття “модуль числа” вперше вводиться у шкільному курсі математики у шостому класі. Але уваги до розв’язання завдань даної тематики приділяється занадто мало. Підручники містять лише окремі задачі на модуль числа.
Вступ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Означення модуля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Найпростіші лінійні нерівності, що містять модуль. . . . . . . . . . . . . . . . 6
Розв’язання нерівностей, що містять модуль під знаком модуля. . . . . .9
Нерівності, що містять суму модулів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Нерівності, що містять різницю модулів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
Квадратні нерівності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Висновки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
9. Література. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Відповідь: х Î (-8; -0,4).
6. Нерівності, що містять різницю модулів
Спираючись на геометричну
1. ½х - а½=½х - b½Û X= , a b;
2 .½x - a½=½x - b½+c i c = ½a - b½Û x b при b a або x b при b a;
3. ½x - a½=½x - b½+c і 0 < c < ½a - b½Û x = b – l при b > a або x = b + l при b < a;
4. ½x - a½=½x - b½+c i c > ½a - b½Û х Î Ø
нескладно проаналізувати співвідношення нерівності:
½x - a½>½x - b½ та
½x - a½>½x - b½ + с або < ½x - b½ + с.
Дійсно, співвідношення ½х - а½=½х - b½означає рівність відрізків АХ = ВХ, де Х(х), В(b), А(а). Тобто Х = , як середина відрізка АВ.
Тоді ½x - a½>½x - b½ означає, АХ > ВХ і при b > a, і при b < a.
Маємо:
x > при b > a
½x
- a½>½x
- b½ Û
x < при b < a.
Приклад:
Розв’язати нерівність:
½х - 3½> ½2 - х½.
Розв’язання:
½х - 3½ – відстань між точками Х(х) та А(3).
½х –2½ – відстань між точками Х(х) та В(2).
Рівність АХ = ВХ означає, що Х = = 2,5. Це означає, що х < 2,5.
14
Відповідь: х < 2,5.
Отже, можна зробити такий висновок:
1) ½x - a½ ½x - b½+c i c >½a - b½Û х Î Ø
2) ½x - a½<½x - b½+c i c >½a - b½Û х Î R
3) ½x - a½>½x - b½+c i c = ½a - b½Û х Î Ø
4) ½x - a½ ½x - b½+c i c = ½a - b½Û½x - a½=½x - b½+c i c = ½a - b½Û (x - b)(b – a) 0.
5) ½x - a½ ½x - b½+c i c = ½a - b½Û х Î R.
Доведемо ці співвідношення, виходячи з таких властивостей модуля:
1) ½а + b½ = ½а½ + ½b½, якщо аb 0;
2) ½а + b½ ½а½ + ½b½.
Дійсно, згідно умові першого співвідношення та другої властивості маємо
½x
- a½>½x
- b½
+ ½b
- a½
чого бути не може. Тобто х Î Ø, і перше співвідношення доведено.
Доведемо друге співвідношення. За умовою c >½a - b½. Тоді, враховуючи другу властивість,
с +½x
- b½>½b
- а½
+½x
- b½
для всіх х Î R. Тобто друге співвідношення виконується.
За умовою третього
½x
- a½>½x
- b½+c
=½x
- b½+ ½b
- а½
чого не може бути, х Î Ø, і третє співвідношення доведено.
Доведемо четверте
½x - a½>½x - b½+c i c = ½a - b½
½x - a½ ½x - b½+c i c = ½a - b½Û або
½x - a½=½x - b½+c i c = ½a - b½.
Згідно третьому
х b приb а
(x – b)(b
– а)
або
х b приb а,
тобто четверте співвідношення доведено.
Приклад 1:
Розв’язати нерівність:
½х – 1½ ½х – 2½+2.
Розв’язання:
½х – 1½ ½х – 2½+2 Û ½х – 1½ ½х – 2½+2 і ½х – 1½>½х – 2½+½2 –1½ ½(х – 2) + (2 – 1)½= ½х – 1½Û х Î Ø .
Приклад 2:
15
Розв’язати нерівність:
½х – 1½<½х – 2½+2.
Розв’язання:
½х – 1½<½х – 2½+2 Û ½х – 1½<½х – 2½+2 і ½х – 1½+ 2 >½х – 2½+½2 – 1½ ½(х – 2) + (2 – 1)½= ½х – 1½Û х Î R.