Нерівності з модулями

11

(2 - x)½_x=10 <0. 

    Маємо:

  Þ Þ                                                                                       

    Відповідь: х Î (-∞; 1) ∪ (3; + ∞).

    У деяких випадках послідовність точок на числовій осі співпадає з послідовністю доданків, нулями яких були відповідні значення х. Якщо порядок доданків не влаштовує, то його можна змінити. Більш того, якщо під знаком модуля невідоме стоїть на другому місці – можна поставити його на перше й, навіть, змінити знак виразу, що міститься під знаком модуля.

    Метод інтервалів стає в нагоді і тоді, коли під модулем стоїть нелінійний вираз.

    Непотрібно поспішати відразу  розв’язувати нерівність. Інколи розв’язання стає легким і прозорим , якщо спочатку проаналізувати область визначення нерівності, або той факт, що сума модулів не може бути від’ємною.

    В випадках, коли співвідношення, що розглядається має вигляд ½х - а½+½х - b½>c або <c розв’язок можна спростити, якщо використати геометричну інтерпретацію модуля. Розглянемо нерівність ½х - 1½+ ½х + 2½> 3.

    Маємо: ½х – 1½ – відстань між точками Х (х) та А(1), ½х + 2½ – відстань між точками Х(х) та В(-2). Тоді умова означає, що АХ + ВХ > 3. Потрібно на числовій осі розмістити Х(х), щоб нерівність виконувалась. Спочатку на числовій осі позначаємо точки А(1) та В(-2). Відстань між цими точками АВ = 3. Тобто маємо АХ +ВХ = АВ. Отже, х може бути будь-яким числом, крім х Î [-2; 1].

    Відповідь: х Î (-∞; -2) ∪ (1; ∞).

    Для використання геометричної  інтерпретації модуля числа при  розв’язанні нерівностей корисно зафіксувати такий висновок:

½х - а½+½х - b½³½а - b½,

при всіх х Î R.

    Дійсно, якщо х Î [АВ], де А(а), В(b), то АХ + ХВ = ½а - b½, ½x - a½+½x - b½=½a - b½.

    Якщо ж х Ï [АВ], то АХ + ХВ > ½а - b½, ½x - a½+½x - b½>½a - b½.

    Тобто маємо:

½x –a½+½x - b½=½a - b½,

при х Î [min{a; b}; max{a; b}];

½x –a½+½x - b½>½a - b½,

12

при х Ï [min{a; b}; max{a; b}].

    Приклад 1:

   Розв’язати нерівність:

    ½х - 1½+½2 - х½>1.

    Розв’язання:

½х - 1½+½2 - х½>1 Û х Î (-∞; 1) ∪ (2; ∞),

бо ½х - 1½+½х - 2½>½2 - 1½=1  Û х Ï [1; 2].

    Відповідь: х Î (-∞; 1) ∪ (2; ∞).

    Приклад 2:

   Розв’язати нерівність:

    ½х + 1½+½х - 3½<5.

    Розв’язання:

    За геометричним змістом модуля  розв’язком рівняння ½х + 1½+½х - 3½=5 будуть точки, що віддалені від точок А(-1) та В(3) на відстань l, яка визначається з співвідношення 2l + 4 = 5 Û l = 0,5.

    Тоді розв’язком даної нерівності будуть точки, що віддалені від А та В на відстань меншу за 0,5, та точки проміжку [-1; 3] (бо останні відповідають умові АХ + ХВ = 4 < 5).

    Відповідь: х Î (-1,5; 3,5).

    Нерівності, що містять суму лінійних  виразів під знаками модулів,  можна розв’язувати, спираючись  на такі властивості модуля:

1) ½а½³ 0;

2) ½а½³ а;

3) ½-а½=½а½, і тоді ½-c - d½=½c + d½, a ½x - y½=½y - x½;

4) ½a ×b½=½a½×½b½;

5) ½ ½= , при b ≠ 0;

6) ½aⁿ½=½a½ⁿ, і тоді а²=½а²½=½а½²;

7) ½а½+½b½= a + b, якщо а ³ 0 і b ³ 0;

8) ½a + b½=½a½+½b½, якщо аb ³ 0 ;

9) ½a + b½=½½a½-½b½½, якщо ab 0;

10) ½a + b½ ½a½+½b½

і також  на ті, що наведені у темі про розв’язування нерівностей, які містять знак модуля під знаком модуля.

    Потрібно звернути увагу на нерівності такого виду:

½kx - a½>½nx - b½ або < ½nx - b½

   Їх можна розв’язувати методом інтервалів, можна піднести до квадрату, а можна використати властивість:

½a½-½b½³ 0 Û a² - b² ³ 0.

13

    Приклад:

   Розв’язати нерівність:

    ½2х - 3½> ½3х + 5½.

    Розв’язання:

½2х - 3½ - ½3х + 5½>0.

    Якщо помножити ліву і праву  частину отриманої нерівності  на додатну величину (½2х - 3½+½3х + 5½), то дістанемо

(2х - 3)² - (3х + 5)² > 0 Û

Û((2х – 3) – (3х + 5))((2х – 3) + (3х + 5)) > 0 Û

Û (-х – 8)(5х + 2) > 0 Û х Î (-8; -0,4).