Нерівності з модулями

звідки

½а - b½³ ½а½- ½b½.

    Якщо а – b і b невід’ємні або недодатні, то ½а - b½=½a ½- ½b½; якщо а – b і b мають різні знаки, то ½а - b½ >½a½- ½b½.

    Наприклад,

½8 - 3½ = ½8½ - ½3½,

½-5 - (-2) ½ = ½-5½-½-2½,

½-7  -  10½>½-7½ - ½10½,

½15 - (-4) ½> ½15½ - ½- 4½.

    Теорема 3.

    Модуль суми двох дійсних чисел не менший від різниці модулів цих чисел, тобто

½а + b½³ ½а½-½b½.

    Доведення.

    Застосовуючи теорему 2, дістанемо:

½а + b½ = ½а – (- b)½ ³ ½а½ -½- b½ =½ а½ - ½b½ .

    Якщо а + b і b мають різні знаки або принаймні одне з цих чисел

      5

дорівнює  нулеві, причому ½а½³½b½ ,то ½а + b½ = ½а½ - ½b½; в усіх інших випадках ½а + b½>½а½ - ½b½ .

    Наприклад,

½3 +(-2)½= 1,

½3½- ½-2½ = 1.

    Теорема 4.

    Модуль різниці двох дійсних  чисел не більший від суми  модулів цих чисел, тобто

½а – b½£½а½ +½b½.

    Доведення.

    На підставі теореми 1 маємо:

½а - b½ = ½а +(- b)½£½а½+½- b½ = ½а½ +½b½.

    Якщо а і b мають різні знаки або принаймні одне з них дорівнює нулеві, то ½а - b½ =½а ½+½b½; якщо а і b мають однакові знаки, то ½а - b½<½а½+½b½ .

Наприклад,

½-5 -6½= 11,

½-5½+½6½= 11.

    З теорем 1 –  4 виходить, що

½а½- ½b½£½а + b½£½а½+½b½,

½а½– ½b½£½а – b½£ ½а½ +½b½.

    Теорема 5.

     Модуль добутку кількох дійсних чисел дорівнює добутку модулів цих чисел.

    Наприклад,

½-5×6 ×(-3)½= 90,

½-5½×½6½×½-3½= 90.

    Теорема 6.

    Модуль частки двох дійсних чисел дорівнює частці модулів діленого і дільника.

    Наприклад,

½20:(-5)½ = 4,

½20½:½-5½=4.

    Доведення теорем 5 і 6 безпосередньо  випливає з означень дій множення  і ділення.

3. Найпростіші лінійні нерівності, що містять модуль

Якщо  розв’язком рівняння називають значення змінної, що перетворює рівняння на правильну  числову рівність, то розв’язком нерівності

6

називають значення змінної, що перетворює нерівність у правильну числову нерівність. Так нерівності 5>0, 5£5 правильні, а нерівності 5>5, 0³5 – неправильні.

    Якщо на координатній прямій додатний напрям вибрано зліва направо, то про числа координатної прямої можна сказати: чим правіше – тим більше. Тоді на координатній прямій розв’язками нерівності х>1 будуть усі числа, що лежать справа від точки 1. Щоб показати, що х = 1 не є розв’язком нерівності, обводять цю точку кружечком, а всі точки, розміщені справа від 1, заштриховують.

    Спочатку розглянемо нерівності  виду ½х½>а і ½х½<а. Якщо а > 0, то з нерівності

½х½> а

виходить, що

х>а або х<-а,

тобто нерівність ½х½> а еквівалентна сукупності двох нерівностей х>а і х<-а. Графічно це означає, що на числовій осі точки х знаходяться поза відрізком

 [-a, a].

    Наприклад,

½х½>5,

х>5 або х<-5.

    Якщо а = 0, то з нерівності ½х½>а виходить, що х – довільне число, крім    х = 0.

    Якщо а < 0, то нерівність½х½>а справджується при будь-яких значеннях х.

    Так само, якщо а>0, то з нерівності

½х½<а

виходить, що

-а<х<а,

тобто нерівність ½х½<а еквівалентна системі двох нерівностей                                -а<х<а і графічно точки х на числовій осі належать проміжку між точками –а і а.

    Наприклад,

½х½<4,

-4<х<4.

    Якщо а£0, то нерівність ½х½<а суперечлива, вона не справджується при жодних значеннях х.

    Розглянемо тепер нерівність

½kx+b½>a.

    Якщо k=0, то при ½b½>a нерівність ½kx+b½>a справджується при будь-яких значеннях х, а при ½b½£ а вона не має розв’язків.

    Якщо k≠0, то при а<0 нерівність ½kx+b½>a справджується при будь-яких значеннях х; при а=0 нерівність½kx+b½>а також справджується при будь-яких

7

 значеннях  х, крім х=- , і, нарешті, при а>0 нерівність ½kx+b½>a еквівалентна сукупності двох нерівностей:

звідки