Некоторые специальные виды линейных операторов

Теорема. Каждый линейный оператор Z на эрмитовом пространстве записывается в виде Z = A+B, где А – эрмитов, а В – косоэрмитов оператор. Кроме того, Z = X+iY, где Х и Y – эрмитовы линейные операторы.

[Кострикин  А.И. Введение в алгебру. Часть  2. Линейная алгебра. –М.: Физико-математическая  литература, 2000. -367с.]

Приложение(задачи).

Задача  №1. [Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. –М.: «Наука», 1969.-476с.] (с.169. №109)

Доказать  основное свойство сопряжения: А**=А.

(хА, у)=(х, А*у)=(А**х, у), следовательно, в силу произвольности х и у, А**=А.

Задача  №2. [Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. –М.: «Наука», 1969.-476с.] (с.169. №110)

Доказать  основное свойство сопряжения: (А+В)*=А*+В*.

(х, (А+В)*у)=((А+В)х, у)=(Ах+Вх, у)=(Ах, у)+(Вх, у)=(х, А*у)+(х, В*у) => (А+В)*=А*+В*.

Задача  №3. [Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. –М.: «Наука», 1969.-476с.] (с.169. №111)

Доказать  основное свойство сопряжения: (αА)* = А*.

(х, (αА)*у) = (αАх, у) = α(х, А*у) = (х,А*у), следовательно (αА)* =А*.

Задача  №4. [Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. –М.: «Наука», 1969.-476с.] (с.169. №112)

Доказать  основное свойство сопряжения: (АВ)* = В*А*.

(АВх, у) = (Вх, А*у) = (х, В*А*у), следовательно (АВ)* = В*А*.

Задача№5. [Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. –М.:»Наука». 1975.-320с.] (№7.4.1)

Показать, что множество всех эрмитовых  операторов из образуют группу по сложению.

Воспользуемся критерием подгруппы:

1. А* = А, В* = В, то и (А+В)* = А+В

(А+В)* = А*+В* = А+В.

Таким образом получаем, что множество  самосопряженных операторов замкнуто относительно сложения.

2. Проверим наличие противоположного элемента.

(-А)* = -А.

(-А)* = (-1А)* = А* = -1А = -А.

По  критерию подгруппы множество самосопряженных  операторов – группа по сложению.

Задача  №6. Проверить является ли множество всех линейных операторов группой по сложению и алгеброй.

1. Проверим, является ли множество всех линейных операторов группой по сложению.

а) Проверим устойчивость относительно сложения: А+В = В+А.

Возьмем две произвольные матрицы

  ,

.

б) Докажем, что во множестве линейных операторов имеется противоположный  элемент, при сложении с которым  получится нулевой оператор, играющий роль нейтрального элемента: А+(-А) = 0. 

, .

=0.

Условия критерия подгруппы выполнены, следовательно, множество линейных операторов является группой относительно сложения.

2. Проверим, является ли множество всех линейных операторов алгеброй.

а) Проверим устойчивость относительно ассоциативного закона: А(ВС) = (АВ)С.

, , .

A(BC)== 

=

(AB)C.

б) Проверим выполнение условия 1А = А.

.

1А=1===А.

Множество всех линейных операторов является алгеброй.

Задача  №7. Доказать, что множество ортогональных операторов является группой по умножению.

Если  матрицы А, В ортогональны, то и значит,

  Т.е. произведение ортогональных матриц есть ортогональная матрица.

1. Проверим устойчивость относительно умножения.

А – ортогональная матрица, В –  ортогональная матрица, следовательно  АВ – ортогональная матрица (доказано выше).

2. Ассоциативный закон справедлив, так как он справедлив для всех матриц.
3. Докажем существование нейтрального элемента:

Е – ортогональная матрица, так  как 

.

4. Докажем, что для каждой ортогональной матрицы существует обратная и тоже ортогональная.

Предположим, что А – необратимая.

|A| = 0       |A| = || = 0

|A| = |A||| = 0|E| = 1.

Таким образом, если матрица вырожденная, то A= Е не может быть выполнено. Если матрица ортогональная, следовательно, невырожденная.

  существует и ортогональна.

Множество всех ортогональных операторов является группой относительно умножения.

Задача  №8. [Шнеперман Л.Б. Курс алгебры и теории чисел в задачах и упражнениях. Ч.1. –Минск.: «Высшая школа». 1986. -272с.]

Проверить, является ли множество всех унитарных  операторов с обычным умножением группой.

Воспользуемся критерием подгруппы.

1. ,

,

т.е. произведение унитарных матриц есть унитарная матрица.

2. А = А = Е, таким образом обратный элемент существует.

Множество всех унитарных операторов с обычным  умножением является группой.

Задача  №9 Проверить, является ли множество скалярных операторов группой по сложению, используя критерий подгруппы.

1. Проверим устойчивость, относительно операции сложения.

Возьмем два скалярных оператора:

, .

A+B==.

Получили  снова скалярный оператор. Т.о. множество  скалярных операторов устойчиво относительно операции сложения.

2. Докажем, что во множестве скалярных операторов имеется противоположный элемент, при сложении с которым получается нулевой оператор, который переводит любой оператор в ноль, играющий роль нейтрального элемента.

, .

А+(-А)= ==.

Условия критерия подгруппы выполнены, следовательно, множество скалярных операторов является группой относительно сложения.

Задача  №11. Проверить, является ли множество скалярных операторов группой относительно умножения, применив критерий подгруппы.

1. Проверим первое условие: множество скалярных операторов должно быть замкнуто относительно операции умножения.

, .

.

  Снова получили скалярный оператор.

2. Наличие обратного элемента, принадлежащего множеству скалярных операторов, при умножении на который получается единичная матрица, т.е. А = = Е, при а0.

.

     В результате получили единичную матрицу, которая играет роль нейтрального элемента.

Множество скалярных операторов при а0 является группой относительно умножения. 

 

Заключение.

  Понятие линейного оператора,  будучи наряду с понятием векторного  пространства, основным в линейной  алгебре, играет важную роль  в самых разнообразных областях  математики и физики. Прежде всего  - в анализе и его приложениях.

  В настоящей работе рассмотрены  некоторые специальные виды линейных  операторов: нормальные, унитарные,  ортогональные, симметрические, кососимметрические  операторы и проекторы.

  Самостоятельно решены все задачи  из приложения.

  В ходе работы сделаны следующие  выводы:

1. Множество линейных операторов является группой относительно сложения и алгеброй, но не группой по умножению;
2. Множество самосопряженных операторов – группа по сложению.
3. Множество всех ортогональных операторов является группой относительно умножения;
4. Множество всех унитарных операторов с обычным умножением является группой;
5. Множество нормальных операторов не группа по умножению и сложению, и не является алгеброй;
6. Множество скалярных операторов алгебра, группа по сложению, а при условии, что а0, группа по умножению;
7. Множество вырожденных операторов не является группой относительно умножения и сложения, и не является алгеброй;
8. Проекторы не группа по сложению и умножению, и не является алгеброй.

 

Список  литературы.

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. –М.: Наука, 1980. -400с.
2. Канатников А.Н. Линейная алгебра. -М: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002. -128с.
3. Козак А.В., Пилиди В.С. Линейная алгебра. –М.: Вузовская книга, 2005. -211с.
4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра. –М.: Физико-математическая литература, 2000. -367с.
5. Нечаев В.И. Числовые системы. Пособие для студентов пед. институтов. –М.: Просвещение, 1975 г., 189 с.
6. Райков Д.А. Векторные пространства. –М.: Государственное издательство физико-математической литературы., 1962. -211.
7. Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты. –М.: Финансы и статистика, 2003. -576с.
8. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. –М.: «Наука», 1969.-476с.
9. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. –М.:»Наука». 1975.-320с.
10. Шнеперман Л.Б. Курс алгебры и теории чисел в задачах и упражнениях. Ч.1. –Минск.: «Высшая школа». 1986. -272с.