Некоторые специальные виды линейных операторов

Таким образом, алгебра A определяется двумя множествами:

a) непустым множеством A, обозначаемым также через |A|; это множество называется основным множеством алгебры A, а его элементы — элементами алгебры A;

b) множеством операций Ω, определенных на A и называемых главными операциями алгебры A.

Если (A, Ω) — алгебра, то говорят также, что множество A есть алгебра относительно операций Ω.

Наиболее  частым является случай, когда множество  Ω конечно, т. е. Ω = {, ..., }. В этом случае вместо записи

A = <A, {, ..., }>

обычно  употребляется запись

A = <A, , ..., >.

Алгебра матриц. Пусть F — поле скаляров.

Определение. Алгебра <V, +, {}, •> называется линейной алгеброй, если бинарные операции +, • и унарные операции удовлетворяют следующим требованиям:

1) алгебра <V, +, {}> есть векторное пространство над полем F;

2) выполняются условия билинейности, т. е. 

(a+b)c = ac+bc, c(a+b) = ca+cb, (ab) = (a) = a(b)

для любых a, b, сV и любого λF.

Пример: Пусть — множество всех nm-матриц над полем. Алгебра

<, +, {}, •>,

где — унарная операция умножения на скаляр λ, является линейной алгеброй над полем F ранга . Она называется полной матричной алгеброй над полем F. Ее ранг равен .

Алгебра операторов. Множество L(V) всех линейных операторов на векторном пространстве V само является векторным пространством размерности dimL(V) = .

Линейный  оператор A на V полностью определяется своим действием на элементы хV. Вспоминая принципы композиции отображений, мы полагаем, что (А+В)х = Aх+Вх, (λA)х = λ(Aх), (AВ)х = A(Вх) (таким образом, композиция А◦В обозначается просто "приписыванием" А к В). Из этого определения непосредственно вытекают соотношения

α(А + В) = αА + αВ,

(α  + β)А = αА + βА,                                                                   (1’)

(αβ)А = α(Аβ),

1•А = А; 

А(ВС) = (АВ)С (ассоциативность),

A(B + C)=AB + AC,                                                              (1’’)

(A + В)С = AС + ВС (дистрибутивность);

λ(АВ) = (λА)В =A(λB).                                                     (1’’’)

Мы  видим, что множество линейных операторов L(V) является одновременно векторным пространством над полем R (первые четыре соотношения (1’)) и ассоциативным кольцом (следующие три соотношения (1’’));  последнее соотношение (1’’’) смешанного типа устанавливает дополнительную закономерность между умножением на скаляры и композицией операторов.

Определение. Кольцо К, являющееся одновременно векторным пространством над полем R таким, что λ(аb) = (λа)b = а(λb) для всех λR, а, bК, называется алгеброй над R. Размерность Кb как векторного пространства называется размерностью алгебры К над R. Всякое векторное подпространство LК, замкнутое относительно операции умножения в К (L•LL), называется подалгеброй алгебры К.

Говоря  об алгебрах, имеют в виду преимущественно  ассоциативные алгебры (ab)c = а(bс) с единицей 1: 1•х = х, хК. Именно такой является алгебра L(V) линейных операторов на V.

[Кострикин  А.И. Введение в алгебру. Часть  2. Линейная алгебра. –М.: Физико-математическая литература, 2000. -367с.] 

Глава 2. Общая теория линейных операторов.

§1 Линейные операторы.

Определение. Всякая функция, действующая из пространства в , называется оператором.

Определение. Оператор(преобразование) А: называется линейным, если выполнены следующие условия:

1) для любых двух векторов и из ;

2) для любого вектора из и произвольного числа αR.

Линейный  оператор А:, который осуществляет отображение линейного пространства V в себя, называют также линейным преобразованием линейного пространства V и говорят, что линейный оператор А действует в линейном пространстве V.

Условия 1), 2) определения 2 можно скомбинировать в виде одного условия, например, так: для любых х и и любых действительных α и µ

  (*)

Из  определения линейного оператора  вытекает, что для любого линейного  оператора А: образом А0 нулевого вектора в является нулевой вектор 0' в : А(0) = 0'.

Действительно,

А0 = А(0*0) = 0(А0) = 0'.

Отметим, что для того, чтобы доказать линейность какого-либо отображения линейных пространств, нужно проверить условия 1), 2) определения  линейного оператора или комбинированное  условие (*). Нарушение любого из этих условий означает, что отображение  не является линейным. Линейный оператор переводит нулевой вектор снова  в нулевой, и это свойство может  рассматриваться как необходимое  условие линейности (но не достаточное). [Канатников А.Н. Линейная алгебра. -М: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002. -128с.]

Определение. Поставим в соответствие каждому вектору х этот же вектор х. Мы получим линейный оператор Е, действующий из V в V. Этот оператор называется тождественным или единичным оператором. По определению

x = Ex.

Определение. Пусть имеется некоторый линейный оператор А, действующий из пространства  в пространство . Построим новый оператор В согласно предписанию Вх = -Ах. Полученный оператор В также является линейным оператором, действующим из в   Он называется оператором, противоположным оператору А.

Определение. Зафиксируем, произвольное число α и каждому вектору хV поставим в соответствие вектор αхХ. Построенный таким способом оператор будет линейным оператором. Он называется скалярным оператором. При а = 0 мы получаем нулевой оператор, при а = 1 - тождественный.

Примеры:

1. Пусть F – векторное пространство. Функция I: FF  такая что является линейным оператором.

Действительно, и (*) выполнено.

2. В пространстве свободных векторов на плоскости поворот вектора на заданный угол φ против часовой стрелки представляет собой отображение в себя, являющееся линейным оператором. Линейность отображения вытекает из геометрических соображений. Во-первых, сумма свободных векторов может вычисляться по правилу параллелограмма, но тогда сумма двух векторов как диагональ параллелограмма при повороте векторов на угол φ также повернется на этот же угол. Во-вторых, умножение свободного вектора на число означает изменение его длины и, возможно, изменение его направления на противоположное. Можно сначала умножить вектор на число, а потом повернуть на угол φ, а можно выполнить эти две операции в обратном порядке, т.е. повернуть вектор, а затем умножить его на число. Результат в обоих случаях будет один и тот же.
3. Рассмотрим n-мерное линейное арифметическое пространство , элементы которого будем представлять как матрицы-столбцы длиной n, и квадратную матрицу А порядка n. Отображение А:, которое столбцу х ставит в соответствие столбец Ах (Ах = Ах), является линейным оператором в силу свойств умножения матриц:   где α, μ, x, y .

Имеет место одна характеристическая особенность  линейного оператора 

для любых векторов и чисел .

[Воеводин  В.В. Линейная алгебра. –М.: Наука, 1980. -400с.]

§2 Действия с линейными  операторами.

Предполагается, что все рассматриваемые операторы действуют в некотором фиксированном линейном пространстве V над полем P.

Определение. Суммой линейных операторов А, В называется оператор А+В действующий в пространстве V по правилу (А+В)х = Ах+Вх для любого хV.

Покажем что оператор А+В является линейным.

Действительно, x, yV, α, βP

(A+B)(αx+βy) = A(αx+βy)+B(αx+βy) = αAx+βAy+αBx+βBy = α(Ax+Bx)+β(Ay+By) = α((A+B)x)+β((A+B)y).

Определение. Произведением линейного оператора А на число λР называется оператор λА, действующий в пространстве V по правилу (λА)х=λ(Ах) для любого хV. [Козак А.В., Пилиди В.С. Линейная алгебра. –М.: Вузовская книга, 2005. -211с.]

Произведение  линейного оператора на число  является линейным оператором. Это  вытекает из соотношений 

(λА)(x+y) = λА(x+y) = λАx+ λАy = (λА)x+(λА)y,

(λА)(μx) = λ(А(μx)) = λ(μAx) = (λμ)(Ax) = μ(λA)x,

выполняющихся при любых x,yV и μР.

[Шевцов  Г.С. Линейная алгебра: теория  и прикладные аспекты. –М.: Финансы  и статистика, 2003. -576с.]

Определение. Оператор –А = (-1)А называется противоположным оператору А.

Очевидно, что А+(-А)=0.

Отметим следующие свойства операций сложения  линейных операторов и умножения  линейного оператора на число:

1. Для любых линейных операторов А, В выполняется равенство А+В = В+А.

Доказательство. Пусть хV, тогда (А+В)х = Ах+Вх = Вх+Ах = (В+А)х.

В силу произвольности элемента х, А+В = В+А.

2. Для любых линейных операторов А, В, С выполняется равенство (А+В)+С = А+(В+С).

Доказательство. Пусть хV, тогда ((А+В)+С)х = (А+В)х+Сх = Ах+Вх+Сх = Ах+(В+С)х = (А+(В+С))х.

В силу произвольности элемента х, (А+В)+С = А+(В+С).

3. Для любого линейного оператора А выполняется равенство

А+0 = А.

4. Для любого линейного оператора А существует такой линейный оператор В, что А+В = 0;
5. Для любого линейного оператора А и любых α, βР выполняется равенство (α+β)А = αА+βА.

Доказательство. Пусть хV, тогда ((α+β)А)х = (α+β)(Ах) = α(Ах)+β(Ах) = (αА)х+(βА)х = (αА+βА)х.

В силу произвольности элемента х, (α+β)А = αА+βА.

6. Для любых операторов А, В и любого αР выполняется равенство α(А+В) = αА+αВ;

Доказательство. Пусть хV, тогда (α(А+В))х = α((А+В)х) = α(Ах+Вх) = α(Ах)+ α(Вх) = (αА)х+(αВ)х = (αА+αВ)х.

В силу произвольности элемента х, α(А+В) = αА+αВ

7. Для любого линейного оператора А и любых α, βР выполняется равенство (αβ)А = α(βА);
8. Для любого линейного оператора А выполняется равенство 1•А = А.

Эти свойства вытекают из соответствующих  аксиом линейного пространства.

Из  свойств 1-8 следует, что множество  всех линейных операторов, действующих  в фиксированном линейном пространстве V, само образует линейное пространство.

Определение. Произведение оператора А на оператор В называется оператор АВ, действующий в пространстве V по правилу (АВ)х = А(Вх) для любого хV.

Другими словами, произведение операторов АВ определяется как композиция отображений.

Покажем, что произведение линейных операторов также является линейным оператором. Пусть α, βP, x, yV, тогда

(АВ)(αх+βу) = А(В(αх+βу)) = А(αВх+βВу) = αА(Вх)+βА(Ву) = α((АВ)х)+β((АВ)у).

Отметим следующие свойства операции произведения линейных операторов.

9. Для любых линейных операторов А, В, С выполняется равенство (АВ)С = А(ВС).

Доказательство. Пусть хV, тогда ((АВ)С)х = (АВ)(Сх) = А(В(Сх)) = А((ВС)х) = А(ВС)х.

В силу произвольности элемента х, (АВ)С = А(ВС).