Некоторые специальные виды линейных операторов

10. Для любого линейного оператора А выполняется равенство

АЕ = ЕА = А;

11. Для любых линейных операторов А, В, С выполняется равенство (А+В)С = АС+ВС.

Доказательство. Пусть хV, тогда ((А+В)С)х = (А+В)(Сх) = А(Сх)+В(Сх) = (АС)х+(ВС)х = (АС+ВС)х.

В силу произвольности элемента х, (А+В)С = АС+ВС.

12. Для любых линейных операторов А, В, С выполняется равенство А(В+С) = АВ+АС.

Доказательство. Пусть хV, тогда (А(В+С))х = А((В+С)х) = А(Вх+Сх) = А(Вх)+А(Сх) = (АВ)х+(АС)х = (АВ+АС)х.

В силу произвольности элемента х, А(В+С) = АВ+АС.

13. Для любых линейных операторов А, В и любого αР выполняется равенство α(АВ) = (αА)В = А(αВ).

Доказательство. Т.к. А, В – линейные операторы, то АВ – тоже линейный оператор. АВ=С. α(АВ)х = (αС)х =(из линейности С) = С(αх)=А(В(αх)).

В силу произвольности элемента х, α(АВ) = (αА)В

[Козак  А.В., Пилиди В.С. Линейная алгебра.  –М.: Вузовская книга, 2005. -211с.]

§3 Матрица линейного  оператора.

Рассмотрим  один общий способ построения линейного  оператора, действующего из m-мерного  пространства X в n-мерное пространство Y. Пусть векторам базиса пространства X поставлены в соответствие какие-то векторы пространства Y. Тогда существует и единствен линейный оператор А, действующий из X в Y, который переводит каждый вектор в соответствующий вектор .

Предположим, что искомый оператор А существует. Возьмем произвольный вектор хХ и представим его в виде разложения

x =

Тогда

Ах = А.

Правая  часть соотношений однозначно определяется вектором х и образами базиса. Поэтому  полученное равенство доказывает единственность оператора А, если он существует. С  другой стороны, мы можем определить оператор А именно этим равенством, т. е. положить

Ax = .

Полученный  оператор является линейным оператором, действующим из X в Y и при этом переводящим каждый вектор в соответствующий вектор . Область значений оператора А совпадает с линейной оболочкой системы векторов .

Линейный  оператор А, действующий из пространства X в пространство Y, полностью определяется совокупностью образов любого фиксированного базиса пространства X.

Фиксируем в пространстве X базис и в пространстве Y базис . Вектор переводится оператором А в некоторый вектор пространства Y, который, как всякий вектор этого пространства, можно разложить по базисным векторам 

Коэффициенты  этих соотношений определяют матрицу из n строк m столбцов, 

которая называется матрицей оператора А  в выбранных базисах.

Столбцами матрицы оператора служат координаты векторов относительно базиса . Для того чтобы определить элемент матрицы оператора А, следует применить оператор к вектору и у образа  взять j-ю координату. Если через обозначить для краткости i-ю координату вектора х, то =.

[Воеводин  В.В. Линейная алгебра. –М.: Наука, 1980. -400с.]

Найдем  матрицы некоторых линейных операторов.

1. Тождественный оператор E любой вектор переводит в вектор . В частности, каждый вектор базиса е оператором Е переводится в вектор :

 

Столбцы координат векторов ,,…, в базисе e составляют матрицу оператора Е в базисе е, представляющую собой единичную матрицу:

.

2. Оператор подобия φ растягивает каждый вектор линейного пространства в α раз (умножает вектор на α). Значит,

 

Из  столбцов координат векторов составляем матрицу оператора φ в базисе е:

.

3. Пусть в пространстве векторов, выходящих из начала координат, линейный оператор φ действует так, что векторы по оси Ох растягиваются в раз, по оси Оу – в раз, по оси Oz – в раз. Тогда , , , и матрица линейного оператора в базисе , , имеет вид:

.

[Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты. –М.: Финансы и статистика,2003. – 576с.]

Теорема. Пусть V – конечномерное линейное пространство, {e} – базис в пространстве V. Тогда для любого линейного оператора А, действующего в пространстве V, и для любого хV выполняется равенство .

Свойства  матрицы линейного оператора.

1. , то есть матрицей единичного оператора в любом базисе является единичная матрица.

Действительно, для любого хV Ix=x. Поэтому Из теоремы получаем, что , то есть =, = Е. В силу произвольности вектора х получаем, что .

2. Для любых линейных операторов А, В, действующих в пространстве V, выполняется равенство .

Доказательство. Пусть хV – произвольный элемент. Тогда по определению суммы линейных операторов (А+В)х = Ах+Вх.

Перейдем  в обеих частях равенства к  координатным векторам:

.

Применяя  предыдущую теорему и учитывая свойства координатных векторов, получаем:

,

.

Учитывая  произвольность вектора х получаем .

3. Для любого линейного оператора А, действующего в V, и любого λР выполняется равенство .

Доказательство. Для произвольного х V по аналогии с доказательством предыдущего свойства имеем:

(λА)х = λ(Ах),

=.

Получим что .

4. Для любых линейных операторов А, В, действующих в пространстве V, выполняется равенство .

Доказательство. Пусть х V. Тогда по определению произведения операторов (АВ)х = А(Вх). Отсюда следует, что . Применяя теорему получим:

,

То  есть . В силу произвольности вектора х, отсюда выводим, что .

5. Для любого линейного оператора А, действующего в пространстве V, и любого многочлена f(λ)  с коэффициентами из поля Р выполняется равенство . Это свойство вытекает из свойств 2-4.

 

§4 Обратный оператор.

Пусть V –линейное пространство над полем Р, А – оператор (не обязательно линейный), действующий в V.

Определение. Оператор А называется обратимым, если существует такой оператор В, действующий в V, что ВА = АВ = I.

Определение. Оператор В, удовлетворяющий условию ВА = АВ = I, называется обратным к А и обозначается  .

Таким образом, оператор , обратный к оператору А, удовлетворяет условию А=А = I. Для обратимого оператора А равенства Ах = y и у = х равносильны. Действительно, пусть Ах = у, тогда у =(Ах) = (А)х = Ix = х.

Если  у = х, то

Ах = А(у) = (А)у = Iу = у.

Теорема. Если линейный оператор обратим, то обратный к нему оператор также является линейным.

Доказательство. Пусть А – обратимый линейный оператор, действующий в линейном пространстве V  над полем Р, – оператор, обратный к А. Возьмем произвольные векторы и числа Положим , . Тогда А=, А=. В силу линейности оператора А

А() = = .

Отсюда  получаем:

  = =,

То  есть оператор является линейным.

[Козак  А.В., Пилиди В.С. Линейная алгебра.  –М.: Вузовская книга, 2005. -211с.]

§5 Сопряженный линейный оператор.

Пусть заданы два унитарных пространства X, Y.

Определение. Оператор А*, действующий из Y в X, называется сопряженным по отношению к оператору А, действующему из X в Y, если для любых векторов хХ, yY выполняется равенство

(Ах, у) = (х, А*у).                                                (1)

Теорема. Для любого линейного оператора А существует сопряженный оператор А*, и притом только один.

Доказательство. Выберем в X какой-либо ортонормированный  базис  Для любого вектора хХ имеет место разложение

х = .                                         (2)

Если  оператор А* существует, то, согласно этой формуле, для любого вектора yY имеем

А*y =

Или по определению

А*y = .         (3)

Но  это означает, что если оператор А* существует, то он единственный.

Построенный таким образом оператор А* является линейным. Он удовлетворяет и равенству (Ах, у) = (х, А*у). Действительно, учитывая ортонормированность системы и принимая во внимание (1), (2), получаем для любых векторов хХ, yY

(Ах, у) = (А) =,

(х, А*у) = ( А) =

=.

Теорема доказана.

Сопряженный оператор А* связан с оператором А  определенными соотношениями. Отметим  некоторые из них:

1. (А*)*=А;

Доказательство. Рассмотрим произвольный оператор А  и сопряженный к нему оператор А*. В свою очередь для оператора  А* сопряженным будет оператор (А*)*. Теперь для любых хХ, yY имеем

(у, (А*)*х) = (А*у,х) == = (у,Ах).

Левая часть равна правой при любом  векторе у. Следовательно, (А*)*х = Ах. Но так как данное равенство справедливо при любом векторе х, то это означает, что (А*)* = А.

2. (А+В)* = А*+В*;

Это следует из того, что операторы  А и В симметрические.

3. (αА)* = *;

Так же следует из того, что операторы  А и В симметрические, а α  вещественное число.

4. (АВ)* = В*А*;
5. Действительно из АВ = ВА, А = А*, В= В*, следует (АВ)* = В*А* =ВА = АВ.
6. *.

Доказательство. Возьмем произвольные векторы х, уХ. Существуют единственные векторы u, v, для которых

Au = x, A*v = y.

Находим, далее,

(x, ()*y) = (x, y) = (u, A*v) = (Au, v) = (x,y).

Левая часть равна правой при любом  векторе х. Следовательно, ()*y = y. Ввиду произвольности у это и означает, что ()* =.

[Воеводин  В.В. Линейная алгебра. –М.: Наука, 1980. -400с.]