Некоторые специальные виды линейных операторов

§6 Собственный вектор и собственное  значение линейного  оператора.

Пусть линейный оператор А действует в  пространстве X. Это означает, что  каждому вектору хХ ставится в соответствие некоторый вектор у = Ах из того же пространства X.

Число λ называется собственным значением, а ненулевой вектор х — собственным  вектором линейного оператора А, если они связаны между собой  соотношением Ах = λх.

Заметим, что если х есть собственный вектор, соответствующий собственному значению λ, то любой коллинеарный вектор αх при α0 будет также собственным вектором. Если собственному значению λ соответствуют два собственных вектора х, у, то собственным вектором будет и любой ненулевой вектор вида αх + βу.

Собственными  векторами операторов 0, Е и αЕ будут все ненулевые векторы  пространства X. Эти операторы имеют  лишь по одному собственному значению, равному соответственно 0,1 и α, и  следовательно, по крайней мере по одному собственному подпространству, совпадающему со всем пространством X.

Теорема. Система собственных векторов оператора А, соответствующих попарно различным собственным значениям линейно независима.

Доказательство. Собственные векторы являются ненулевыми по определению, поэтому теорема  заведомо верна при m = 1. Пусть она  верна для любой системы из m—1 собственных векторов, но не верна для векторов . Тогда система этих векторов будет линейно зависимой, т. е. для некоторых чисел , не равных нулю одновременно, выполняется равенство

  .                                                                 (1)

Предположим, что . Применяя А к (1), получим

.                                                      (2)

Умножив (1) на и вычитая его из (2), находим

.

Согласно  индуктивному предположению, отсюда следует, что все коэффициенты при векторах равны нулю. В частности, , что противоречит условию и предположению Следовательно, система векторов линейно независима. 

Глава 3. Специальные виды линейных операторов.

§1 Нормальные операторы.

Определение. Пусть V — эрмитово пространство. Линейный оператор А: V→V, обладающий свойством

А•А* = А*•А,                                         (1)

называется  нормальным. Его матрица в любом  базисе также называется нормальной.

Имеют место соотношения

(λЕ)* = ,             (А-λЕ)* = А*-,

Поэтому оператор А нормален вместе с А-λЕ. Из нормальности А вытекает, что 

(x|A*Ax) = (x|AA*x) = (A*x|A*x) =.

Заменяя А на А-λЕ, получаем

=,

а отсюда следует, что 

Ах = λх ó А*х =х.                                                                              (2)

Теорема. Эквивалентны следующие условия:

а) А: V → V — оператор, диагонализируемый  в ортонормированном базисе пространства V;

б) А — нормальный оператор.

Доказательство. а) => б). Если () – ортонормированный базис с =, то в силу (2) А* =, так что [А,А*] = 0, и из а) следует б).

Для доказательства обратной импликации б) => а) выберем собственное значение λ оператора А и положим

.

Снова из (2) следует что 

А*(),

а в таком случае

Аó(y|x) .

Стало быть, (Ау|x) = (y|A*x) = (y|x’) = 0, поскольку х’.

Так как (А*)* = А, то по симметрии подпространство также А* - инвариантно. Ограничения операторов А и А* на коммутируют, т.е. являются нормальными. Применяя индукцию по размерности n = dim V, мы можем считать, что на оператор А диагонализируется. Для это верно по определению, а поскольку V = +, доказательство завершено.

Как всякий линейный оператор, нормальный оператор A записывается в виде A = В + iС и, аналогично, A* = В — iС, где B, С — эрмитовы операторы, в свою очередь выражающиеся через A и A*:

B =(А+А*),       С =(А-А*).

Из  АА* = А*А следует, что ВС = СВ. Обратно, из перестановочности В и С  вытекает перестановочность А и  А*:

АА* =+= А*А,

т.е. нормальность А.

§2 Унитарные и ортогональные операторы.

Определение. Линейный оператор А на векторном пространстве со скалярным произведением называется унитарным (в евклидовом случае — ортогональным), если А*•А = Е = А•А*.

При n = 1 имеем z • = 1, т.е. унитарные операторы аналогичны комплексным числам, по модулю равным единице. В матричной форме (по отношению к ортонормированному базису) условие унитарности выражается равенством  А*•А = Е = А•А*.

Определение. Линейный оператор А: V→V, сохраняющий расстояние (метрику), т.е. такой, что

||Ax-Ay|| = ||x-y||                         ,

Называется  изометрией.

Так как Ах — Ау = А(х — у), то, очевидно, А — изометрия на V в точности тогда, когда ||Ax|| = ||x|| .

[Кострикин  А.И. Введение в алгебру. Часть  2. Линейная алгебра. –М.: Физико-математическая  литература, 2000. -367с.]

Определение. Линейный оператор А: V→V, действующий в евклидовом пространстве V, называют ортогональным оператором (или ортогональным преобразованием), если он сохраняет скалярное произведение в V, т.е. для

любых векторов x, уV выполняется равенство

(Ax, Ay) = (x, y).

Так как ортогональный оператор сохраняет  скалярное произведение, то он сохраняет  норму (длину) вектора и угол между  ненулевыми векторами. Действительно,

(Ах, Ах) = (х, х) =.

Теорема. Если линейный оператор А:V→Vв евклидовом пространстве V сохраняет евклидову норму: ||Ax|| = ||х||, xV, то этот оператор ортогональный.

Доказательство. Доказательство опирается на следующее  тождество:

(x, y) =--,

верное  для любых векторов х и у. Используя  это тождество и сохранение нормы  оператором А, получаем

(Ax, Ay)=--=--=(x, y),

где х и у — произвольные векторы  пространства V.

Теорема. Если матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисе ортогональна, то этот оператор является ортогональным. Наоборот, матрица ортогонального оператора в любом ортонормированном базисе является ортогональной.

Доказательство. Выберем в евклидовом пространстве V любой ортонормированный базис е. Тогда для любых векторов х и у, имеющих в этом ортонормированном базисе е столбцы координат х и у соответственно, выполнено равенство (x, у) = у (это запись скалярного произведения в ортонормированном базисе).

Пусть матрица А линейного оператора  А в ортонормированном базисе является ортогональной. Тогда выполняется  соотношение А = Е и, следовательно, равенство

()у =Еу

верно для любых столбцов х и у. Но это равенство представляет собой  матричную запись равенства скалярных  произведений (Ах, Ау) = (х, у) для векторов х и у, имеющих столбцы координат х и у в этом же ортонормированном базисе. Мы приходим к заключению, что оператор ортогональный.

Докажем обратное утверждение теоремы. В  любом ортонормированном базисе соотношение (Ax, Ay) = (x, y) в координатах имеет вид

(Ау)=у,

т.е. его можно записать в виде ()у = Еу. Из этого равенства, выполняющегося для любых столбцов х и у, следует равенство матриц  А = Е, что и означает ортогональность матрицы А.

[Канатников  А.Н. Линейная алгебра. -М: МГТУ  им. Н.Э.Баумана, 2002. -128с.]

§3 Симметрические операторы.

Определение. Линейный оператор А, действующем в евклидовом пространстве Е, называется симметрическим (или самосопряжённым), если он является сопряженным с самим собой, т.е. А* = А. Оператор А является самосопряженным тогда и только тогда, когда для любых векторов х, уЕ выполняется равенство

(Ах, у) = (х, Ау).

Теорема. Симметрический оператор в любом ортонормированном базисе евклидова пространства имеет симметрическую матрицу. Наоборот, если линейный оператор А в каком-либо ортонормированном базисе имеет симметрическую матрицу, то этот оператор симметрический.

Доказательство. Пусть линейный оператор А в некотором  ортонормированном базисе е имеет  матрицу А. Тогда матрицей сопряженного оператора А* в базисе е является матрица . Равенство операторов А* = А равносильно равенству матриц = А, но первое означает, что оператор симметрический, а второе – что его матрица симметрическая.

Отметим некоторые свойства симметрических операторов.

1. Тождественный оператор является симметрическим.

Действительно, матрица тождественного оператора  в любом базисе, в том числе  и ортонормированном, - единичная  матрица, а такая матрица симметрическая.

2. Сумма симметрических операторов – симметрический оператор.
3. Произведение симметрического оператора на действительное число – симметрический оператор.
4. Если симметрический оператор А имеет обратный оператор , то этот оператор симметрический.
5. Для симметрических операторов А и В произведение АВ является симметрическим оператором в том и только в том случае, когда операторы А и В перестановочны, т.е АВ = ВА.

Действительно, для симметрических операторов А  и В имеем 

(АВ)* = В*А* = ВА.

Поэтому равенство (АВ)* = АВ, означающее симметричность произведения АВ, равносильно равенству ВА = АВ, означающему перестановочность А и В.

Теорема. Собственные векторы симметрического оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть выполняются равенства  Ах = λх, Ау = μу, где λ . По условию А – симметрический оператор. Поэтому (Ах, у) = (х, Ау), которое для рассматриваемых векторов х и у принимает вид λ(х, у)=μ(х, у). Перенося правую часть в левую, заключаем, что (λ-μ)(х, у)=0. А так как λ-μ0, то (х, у)=0, т.е. векторы х и у ортогональны.

[Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты. –М.: Финансы и статистика, 2003. -576с.]

Определение. Линейный оператор А называется косоэрмитовым (или кососимметричным в случае евклидова пространства), если А* = —А.

Так как А** = А для любого АL(V), то оператор А + А* эрмитов, а А—А* косоэрмитов. Аналогично, эрмитовость А эквивалентна косоэрмитовости оператора iA. Поэтому справедлива