Некоторые специальные виды линейных операторов

     Содержание

Введение…………………………………………………………………………...3

Глава 1. Алгебра и группы………………………………………………………..4

§1. Определение группы………………………………………………………….4

§2. Полукольца, кольца…………………………………………………………...5

§3. Понятие  векторного пространства…………………………………………...6

§4. Понятие  евклидового и унитарного пространства……………………….....7

§5. Понятие  алгебры………………………………………………………………8

Глава 2. Общая теория линейных операторов…………………………………10

§1. Определение  линейного оператора…………………………………………10

§2. Действия с линейными операторами……………………………………….12

§3. Матрица  линейного оператора……………………………………………...15

§4. Обратный оператор………………………………………………………….18

§5. Сопряженный  линейный оператор………………………………………....19

§6 Собственный  вектор и собственное значение линейного  оператора……..21

Глава 3. Некоторые специальные виды линейных операторов………………22

§1. Нормальные операторы……………………………………………………..22

§2. Унитарные  и ортогональные операторы…………………………………...23

§3. Симметрические операторы………………………………………………...25

Приложение (задачи)…………………………………………………………….27

Заключение……………………………………………………………………….33

Список  литературы………………………………………………………………34 

Введение

  Немаловажную  роль в математике играют такие  понятия, как линейная алгебра,  группы, подгруппы, кольца и поля. Большое значение имеют различные  алгебры и группы матриц, которые  находят свое применение во  многих математических дисциплинах,  таких как алгебра, теория чисел,  геометрия и т.д.

  В  данной работе рассмотрены различные  виды линейных операторов, такие  как, обратимые, симметрические, кососимметрические, нормальные, унитарные  и ортогональные.

  Курсовая  работа включает в себя 3 главы.  В первую главу входят понятия  об  основных алгебраических структурах, определения которых необходимы  нам для изучения линейных  операторов различных видов. Во  второй главе рассматривается  общая теория линейных операторов, раскрываются понятия собственного  вектора и собственного значения  линейного оператора, а также  рассмотрен вид сопряженного  линейного оператора. Третья глава  является основной в этой работе, так как в ней содержится  материал о специальных видах  линейных операторов. В первом  параграфе рассматриваются нормальные  операторы, во втором – унитарные  и ортогональные, третьем –  симметрические, четвертом – кососимметрические, и в пятом – проекторы.

 

Глава 1. Алгебра и группы.

§1 Определение группы.

Определение. Алгебру Аó<А; •> называют полугруппой, если операция • на А бинарна и ассоциативна. Другими словами, если:

1) а•b = с;

2)) (а•b)•с = а•(b•с).

Полугруппу  А = <A;•> называют коммутативной, если операция • коммутативна, и конечной, если множество А конечно. Полугруппу <А;•> называют полугруппой с сокращением, если 

.

Таким образом, полугруппа <A; +> — полугруппа с сокращением, если

.

Теорема. В любой полугруппе Аó<А;+> с сокращением имеется не более чем один элемент такой, что

* + * = *.

Доказательство. Предположим, что для элементов * и  

полугруппы  А 

*+* = *^.

Тогда

(* + *) + = * + ( + ).

Отсюда  следует, что 

* = .

Определение. Полугруппу Аó<А; •> называют группой, если

^ .

Определение. Пусть Аó<A;•> — полугруппа и — подмножество A; тогда систему ó<;•> называют подполугруппой (соответственно подгруппой)полугруппы А, если система — полугруппа (соответственно группа). Другими словами, если подмножество множества А образует полугруппу (группу) относительно той же операции, которая рассматривается в A, то систему А' называют подполугруппой (подгруппой)  полугруппы А.

§2 Полукольца и кольца.

Определение. Алгебру Аó<A; +, •> называют полукольцом, если <A;+> — коммутативная полугруппа с сокращением, <A; •> —полугруппа и операции + и • связаны законом дистрибутивности.

Другими словами, система Аó<A; +, •> — полукольцо, если отношения + и • — бинарные операции на А, удовлетворяющие следующим условиям:

1. (a+b)+c = a(b+c);
2. a+b = b+a;
3. (a+x = b+x ⇒a=b) ^ (x+a = x+b ⇒ a = b);
4. (a•b)•c = a•(b•c);
5. ((a+b)•c = ac+bc) ^ (c•(a+b) = ca+cb).

Полукольцо <A; +, •>  называют коммутативным, если операция • коммутативна, — конечным, если множество A конечно.

Элемент 0 полукольца Аó<A; +, •>  называют нулем  полукольца А, если а+0 = 0+а = а.

Элемент e полукольца Аó<A; +, •>  называют единицей  полукольца А, если и а•e = e•а = а.

Таким образом, нуль полукольца — нейтральный  элемент сложения, а единица —  нейтральный элемент умножения.

Определение. Полукольцо Аó<A; +, •> называют  кольцом, если .

Другими словами, полукольцо А — кольцо, если, его аддитивная полугруппа —  группа.

[Нечаев В.И. Числовые системы. Пособие для студентов пед. институтов. –М.: Просвещение, 1975 г., 189 с.] 
 

§3 Понятие векторного пространства.

Определение. Векторным пространством над полем К называют аддитивную группу Е, для которой  определено отображение (х, λ)λх произведения ЕК в Е, удовлетворяющее следующим условиям:

1. (λμ)x = λ(μx) для всех λ, μК и хЕ;
2. 1х = х для всех хЕ;
3. λ(х+у) = λх+λу для всех λ, μК и х, уЕ;
4. (λ+μ)х = λх+μх для всех λ, μК и хЕ.

Элементы  векторного пространства над К называются его точками или векторами, а  элементы поля К — скалярами. Отображение  Е в Е, при котором все векторы  хЕ умножаются на один и тот же скаляр λ, называется  гомотетией с коэффициентом гомотетии.

Отметим некоторые простые свойства векторных  пространств, непосредственно вытекающие из условий 1—4 определения векторного пространства.

1°  λ(х-у) = λх-λу для всех векторов х, у и скаляров λ.

    Действительно, в силу условия  3, λх = λ((х-у)+у) = λ(х-у)+λу.

2°  (λ-μ)х = λх-μх для всех векторов х и скаляров λ, μ.

     Из 1° следует, в частности, 

3°  λ0 = 0 для всех скаляров λ.

     В самом деле, λ0 = λ(х-х).

Аналогично  из 2° следует

4° 0х = 0 для всех векторов х.

     Имеет место и свойство, обратное  свойствам 3°-4°:

5°  Если λх  = 0, то λ = 0 или х = 0.

    Действительно, при λ в силу условий 2 и 1 и свойства 3° имеем: х = 1х = ()х = = = 0.

6°  (-1)х = -х для всех векторов х.

     В самом деле, в силу условий  2 и 4 и свойства 4°

     х+(-1)х = 1х+(-1)х = (1+(-1))х = 0х = 0.

7°  nx = x+…+x для всех векторов х и натуральных чисел n.

[Райков  Д.А. Векторные пространства. –М.: Государственное издательство физико-математической литературы., 1962. -211с.]

§4 Понятие евклидового  и унитарного пространства.

Определение. Линейное пространство V называют евклидовым пространством, если в этом пространстве задано скалярное умножение, т.е. закон или правило, согласно которому каждой паре векторов x, уV поставлено в соответствие действительное число (x, у), называемое скалярным произведением. При этом выполняются следующие аксиомы скалярного умножения:

а) (x, у) = (у, x);

б) (x + у, z) = (x, z) +(у, z);

в) (λх, у) = λ(x, у), λR;

г) (x, x)0, причем (x, х) = 0 лишь в случае, когда х = 0.

Скалярное произведение часто обозначают так  же, как и произведение чисел, т.е. вместо (x, у) пишут ху. Скалярное произведение вектора на себя называют скалярным квадратом (по аналогии с квадратом числа).

[Канатников  А.Н. Линейная алгебра. –М.: Издательство  МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. -335с.]

Комплексное линейное пространство U называется унитарным, если каждой паре векторов х, у из U поставлено в соответствие комплексное число (х,у), называемое скалярным произведением, причем выполнены следующие аксиомы:

1. (х, у) =,
2. (λx, y) = λ(x, y),
3. (x+y, z) = (x, z)+(y, z),
4. (x, x)0 при x0; (0,0) = 0

для произвольных векторов х, у, z из U и произвольного комплексного числа λ.

Черта в первой аксиоме означает комплексное  сопряжение. Это единственное отличие  от аксиом евклидова пространства. Так, например, если в евклидовом пространстве имеет место равенство (х, λу) = λ(х, у), то в унитарном пространстве (х, λу) =(х, у).

[Воеводин  В.В. Линейная алгебра. –М.: Наука, 1980. -400с.] 

§5 Понятие алгебры.

Определение. Алгеброй называется упорядоченная пара A = (А, Ω), где A—непустое множество и Ω—множество операций на A.