Группы малых порядков, их свойства. Абелевы группы

    Некоммутативных групп девятого порядка не существует. Подобная ситуация напоминает аналогичную ситуацию, сложившуюся с группами четвертого порядка. Действительно, число 9 раскладывается на два одинаковых простых множителя — 3 · 3; число 4 также раскладывается на одинаковые простые множители — 2 · 2. Отсюда можно ожидать повторения данной ситуации на таких порядках, как 25 = 5 · 5, 49 = 7 · 7 и т.д.

    Число 6 раскладывается на два различных  простых множителя — 2 · 3. Как  мы видели, коммутативная группа, построенная  на одном 6-цикле, и коммутативная группа, построенная на 2- и 3-циклах, получились изоморфными. Можно ожидать, что группа десятого порядка (10 = 2 · 5) также имеет изоморфные коммутативные группы C₂C₅ » C₁₀. В самом деле, следующее соответствие целиком подтверждает наше предположение.

    Кроме коммутативной структуры, группа 9-ого  порядка, как и группа 6-ого, при  b = (14)(23) имеет диэдральную структуру :

    Теперь  мы вправе предположить, что в ряду групп 6-го и 10-го порядков окажутся также  группы 14-го (2 · 7), 22-го (2 · 11) и т.д. порядков, но не 15-го (3 · 5), поскольку число 15 нечетно, а значит, диэдральной группы для него не существует. 
 
 
 
 
 
 

     Заключение.

     В нашей работе мы преследовали цель изучить группы малых порядков и абелевы группы.

     Предметом  исследования в нашей работе являлись группы малых порядков,  абелевы группы и их свойства.

     Нами  были  изучены и проанализированы  работы  известных  учёных математиков и топологов.

     Исследованиями  в   данной области занимались: Гердт И.В., Куликов А.И., Александров П. С.

     Таким образом, анализ литературы проводился на основе книг, учебных пособий, публикаций из газет и журналов.

           Объектом исследования являлись  гомоморфизмы и изоморфизмы групп и алгоритм построения групп малых порядков.

     В ходе научного исследования мы  рассмотрели понятие группы, примеры групп, их простейшие свойства, примеры построения групп малых порядков, кольца Z целых чисел и циклические Абелевы группы и абелевы группы до 11-го порядка.

Основными результатами работы можно считать следующие:

1.Изучение  темы в научно-методической литературе.

2.Описание  истории возникновения теории групп.

3.Описание  абелевых групп.

4.Характеристика  групп гомоморфизмов и изоморфизмов.

5. Рассмотрение кольца Z целых чисел и циклические Абелевы группы.
6. Представление абелевых групп до 11-го порядка.

             Данная   квалификационная работа   представляет определённый интерес  для  студентов    физико-математического факультета, т.к. материалы могут быть с успехом применены на занятиях по алгебре, теории групп и топологии. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Литература.

1. Александров П. С. Введение в теорию групп. - М.: Наука, 1980.
2. Власова Л.И. Об определяемости групп группами гомоморфизмов . Вестник МГУ. Математика, механика. – 1979.
3. Гердт И.В. Малые абелевы группы . Фундамент, и прикл. мат. - 2007.
4. Гриншпон Я. О равенстве нулю группы гомоморфизмов абелевых групп . Изв. вузов. Математика. - 1998.
5. Завало С. Т., Костарчук В. Н., Хацет Б. И. Алгебра и теория чисел. Ч. 2. - Киев: Вища школа. Головное издательство, 1980.
6. Иванов А.В. Прямые суммы и полные прямые суммы абелевых групп . Абелевы группы и модули. Томск, 1980.
7. Коргалеев М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп, - М.: Наука, 1983..
8. Кострикин А. И. Введение в алгебру. - М., 1977.
9. Куликов А.И. Алгебра и начала анализа. –М., 1996.
10. Куратовский К. Теория множеств . К. Куратовский, А. Мостовский. - М.: Мир, 1970.
11. Крылов П.А. Об абелевых группах без кручения . Абелевы группы и модули. Томск, 1980.
12. Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Алгебра и теория чисел. - М.: Наука, 1977.
13. Маркушевич А.И. Введение в классическую теорию абелевых функций. М.: Наука, 1979..: Факториал, 1997.
14. Мишина А.П. Абелевы группы . Итоги науки и техники. Серия: Алгебра. Топология. Геометрия. 1965. - М.: ВИНИТИ, 1967.
15. Себельдин A.M. О группах гомоморфизмов абелевых групп без кручения . Абелевы группы и модули. Томск, 1976.
16. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории . - М.: Мир, 1977.
17. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы . - М.: Мир, 1974.