Группы малых порядков, их свойства. Абелевы группы

Содержание.

     Введение…………………………………………………………………………….……3

     Глава I. ……………………………………………………………………………….….5

     Глава II. Группа. Примеры групп. Простейшие свойства групп. ………………7                  

     Глава III.

                    §1. Подгруппы. Примеры. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп ………17

                    §2. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп………………………………….20

                    §3. Кольцо Z целых чисел и циклические Абелевы группы……………….22

                           §4. Представления Абелевых групп до 11-го порядка……………………..25

 

     Заключение……………………………………………………..................................31

     Литература……………………………………………………..………………………33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение.

        
            Актуальность исследования обусловлена тем, что изучение студентами групп малых порядков и абелевых групп важно для дальнейшего изучения математики. Понятие группы приобретает в настоящее время все большее господство над самыми различными разделами математики и ее разделами и относится к самым фундаментальным понятиям всей математики.  
            Понятие группы можно освоить на самых первых ступенях математического образования. Вместе с тем знакомство с этим понятием становится одним из самых естественных способов первого ознакомления с современной математикой вообще.

     Цель  работы. Целью нашей работы является изучение групп малых порядков и абелевых групп. Цель исследования заключается в подготовке теоретического материала для более глубокого самостоятельного изучения студентами, а также применение теоретических основ для решения задач.

В соответствии с поставленной целью, нами выдвинуты следующие задачи :

1. Найти и изучить тему в научно-методической литературе.
2. Описать историю возникновения теории групп.
3. Описать абелевы группы.
4. Охарактеризовать группы гомоморфизмов и изоморфизмов
5. Рассмотреть кольца Z целых чисел и циклические Абелевы группы
6. Представить абелевы группы до 11-го порядка

 
            Предметом исследования являются группы малых порядков,  абелевы группы и их свойства.  
            Объектом исследования является гомоморфизмы и изоморфизмы групп и алгоритм построения групп малых порядков.

     Теоретическая и практическая значимость дипломной  работы: данная работа может быть использована как студентами, так и преподавателями в процессе изучения теории групп, а также для получения дополнительного материала о группах малых порядков и абелевых группах. 

    Во  время  работы  были использованы  следующие  методы:

-  метод   описания

- сравнительный  метод

-  метод  анализа и синтеза

-  метод дедукции и индукции

 
Структура работы. Представляемая  работа состоит из введения, трёх глав, заключения и библиографии. Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, раскрываются цель, задачи, указываются предмет, объект и методы исследования.

Полный объем  квалификационной работы  составляет __ страницы.

Библиография  содержит 17 наименований.

     Содержание  работы. 
Разбиение на главы осуществлено так, что в первой главе освещаются исторические корни нашей работы.

     Вторая глава вводит само понятие группы, даёт примеры групп и рассматривает их простейшие свойства. В данной главе рассматриваются примеры построения групп малых порядков. Вводятся определения изоморфизма и гомоморфизма.

     Третья глава раскрывает понятия подгрупп, приводит примеры, рассматривает детально гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Также в ней рассмотрены кольца Z целых чисел и циклические Абелевы группы и представлены  абелевы группы до 11-го порядка.

     В заключении мы освещаем результаты исследования и делаем общие выводы. 
 
 

     Глава I.

     У теории групп три  исторических корня: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия. Математики, стоящие у истоков теории групп, — это Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа. Галуа был первым математиком, связавшим теорию групп с другой ветвью абстрактной алгебры — теорией полей, разработав теорию, ныне называемую теорией Галуа.

     Одной из первых задач, приведших к возникновению  теории групп, была задача получения  уравнения степени m, которое имело бы корнями m корней данного уравнения степени n (m < n). Эту задачу в простых случаях рассмотрел Худде (1659 г.). В 1740 г. Сондерсон заметил, что нахождение квадратичных множителей биквадратных выражений сводится к решению уравнения 6 степени, а Ле Сёр (1748 г.) и Вейринг (с 1762 по 1782 гг.) развили эту идею.

     Общую основу для теории уравнений, строящуюся на теории перестановок, в 1770—1771 гг. нашёл Лагранж, и на этой почве в дальнейшем выросла теория подстановок. Он обнаружил, что корни всех резольвент, с которыми он сталкивался, являются рациональными функциями от корней соответствующих уравнений. Чтобы изучить свойства этих функций, он разработал «исчисление сочетаний» (Calculdes Combinaisons). Современная ему работа Вандермонда (1770 г.) также предвосхищала развитие теории групп.

     Паоло Руффини в 1799 г. предложил доказательство неразрешимости уравнений пятой и высших степеней в радикалах. Для доказательства он использовал понятия теории групп, хоть и называл их другими именами. Руффини также опубликовал письмо, написанное ему Аббати, лейтмотивом которого была теория групп.

     Галуа обнаружил, что если у алгебраического  уравнения несколько корней, то всегда существует группа перестановок этих корней такая, что:

     1) всякая функция, инвариантная относительно подстановок группы, рациональна и, наоборот;

     2) всякая рациональная функция  от корней инвариантна относительно  перестановок группы.

     Свои  первые труды по теории групп он опубликовал в 1829 г., в возрасте 18 лет, но они остались практически незамеченными, пока в 1846 г. не было издано собрание его сочинений.

     Артур Кэли и Огюстен Луи Коши стали одними из первых математиков, оценивших важность теории групп. Эти учёные также доказали некоторые важные теоремы теории. Изучаемый ими предмет был популяризован Серретом, который посвятил теории секцию из своей книги по алгебре, Жорданом, чей труд «Действия над подстановками» (Traitédes Substitutions) стал классикой, и Евгением Нетто (1882 г.), чей труд был в 1892 г. переведён на английский язык Коулом. Большой вклад в развитие теории групп внесли также многие другие математики XIX века: Бертран, Эрмит, Фробениус, Кронекер и Матьё.

     Современное определение понятия «группа» было дано только в 1882 г. Вальтером фон Дюком.

     В 1884 г. Софус Ли положил начало изучению как групп преобразований того, что мы сейчас называем группами Ли и их дискретными подгруппами; за его трудами последовали работы Киллинга, Штуди, Шура, Маурера и Эли Картана. Теория дискретных групп была разработана Клейном, Ли, Пуанкаре и Пикаром в связи с изучением модулярных форм и других объектов.

     В середине XX века (в основном, между 1955 и 1983 гг.) была проведена огромная работа по классификации всех конечных простых групп, включающая десятки тысяч страниц статей.

     Ощутимый  вклад в теорию групп внесли и  многие другие математики, такие как Артин, Эмми Нётер, Людвиг Силов и другие. 
 
 
 
 
 

     Глава II.

     Группа. Примеры групп. Простейшие свойства групп.

     Пусть G — произвольное множество и предположим, что на нем задана некоторая бинарная (двухместная, от двух аргументов) операция «·», обычно называемая умножением, которая для любых двух элементов a, b из данного множества сопоставляет им единственным образом элемент, обозначаемый a · b или просто ab.

     При этом элемент ab называется произведением элементов a и b. Если при этом выполнены дополнительно следующие три условия (называемые аксиомами группы):

Определение 2.1

     Непустое  множество G, на котором определена бинарная операция (·), называется группой, если выполняются следующие аксиомы:

     1) операция (·) ассоциативна, т. е. ;

     2) в множестве G существует нейтральный элемент, т. е.

     (е-  правая единица)

     3) для каждого элемента в множестве G существует симметричный элемент a^-1, т. е. (a^-1-правый обратный элемент).

Определение 2.2

     Если  определенная на группе G бинарная операция  коммутативна, то группа G называется коммутативной или абелевой.(а*в = в*а)

Определение 2.3

     Если  операцию(·)  умножением, то группу G(∙) называют  мультипликативной (группой по умножению).

     Если  операцию (·)называют  сложением, то группуG(+)  называют аддитивной (группой по сложению).