Группы малых порядков, их свойства. Абелевы группы

Примеры:

 С*(·)-группа  ненулевых комплексных чисел;  R₊(·)-группа  положительных действительных чисел.

     Построим  отображение С по =>правилу φ:С^*→R₊

      α=a+bi,  φ(α)= R₊β=c+di,

     φ(β)= R₊α·β = (ac-bd)+(ad+bc)i

     φ(α·β)= =φ(α)·φ(β).

     φ-гомоморфизм. ЗначитR⁺(·) - группа.

Свойства  гомоморфизмов:

     Пусть φ-гомоморфизм группы G в группе G΄ (φ:G→G΄). Будем рассматривать группы по умножению:

     1) Отображение φ переводит единственный элемент группы G в единственный элемент группы G΄.

Доказательство.

     Пусть а G, тогда а·е=а. φ(а)=φ(а·е)=φ(а)*φ(е), т.о. =а΄·φ(е^*). Т.о. а΄·φ(е)=а΄ (1), a΄ Gа΄·е΄=d (2). Учитывая, что е΄- группа и единственность единого элемента в группе, делаем вывод: φ(е)=е΄.

     2) Для a G (φ(-а)=-φ(а)), т.е. образ обратного элемента = элементу обратному образу, (либо φ(а)^-1)=(φ(а)^-1).

Определение 3.5

     Пусть G(·) и G( ) группы. φ:G®G΄ гомоморфизм.

Определение 3.6

     Ядром гомоморфизма φ называют множество всех прообразов нейтрального элемента группы G΄данного гомоморфизма.

Определение 3.7

     Группа G(·) называется изоморфной группой G( ), если изоморфное отображение 1-й группы во 2-ю. G@G΄.

     3) φ(G) является подгруппой группы G΄.

Теорема 3.4

Каждая  инвариантная подгруппа является ядром.

     Доказательство.

    H = Ker(φ) 

    φ:G® G/H

    G^ν®C/H, где g® gH

    Ker ν_n=H

Замечание 3.1

Не любая подгруппа инвариантна.

Рассмотрим  пример:

    Возьмём группу S₃ = G(▲), рассмотрим её подгруппы:

    {e, δ, δ²}

    {e, τ₁}

    {e, τ₂}

    { e, τ₃}

    δ τ₁ τ₁ δ

    δ  τ₁ δ τ₁  - не инвариантна

    ч.т.д.

Определение 3.8

    Группа  называется абелевой, если она коммутативна.

_{в абелевых группах  все подгруппы  инвариантны.} 
 

     §3. Кольцо Z целых чисел и циклические Абелевы группы.

Определение 3.9

     1) Непустое множество K, на котором определены операции сложения и умножения, называют кольцом, если выполняется => условия:

     I. K(+) – абелева группа, т. е.

     

     II. Операция умножения ассоциативна, т.е.    

     III. Операция умножения дистрибутивна относительно операции сложения, т. е.

Определение 3.10

     Если операция умножения в кольце K коммутативна, то кольцо называется коммутативным.

     Примеры. Z(+,∙) – коммутативное кольцо целых чисел.

     Q(+,∙)–  коммутативное кольцо рациональных  чисел. 

     R(+,∙)– коммутативное кольцо действительных чисел.

      – множество четных чисел, 2Z(+) – коммутативное кольцо.

     B = {0},     B(+,∙)– нулевое кольцо.

      K(+,∙ )– коммутативное кольцо.

     N, Z₃, Q₊ – не являются кольцами, т. к. не содержат нейтральный относительно сложный элемент – ноль.

Определение 3.11

     Кольцо, элементами которого являются числа, называют числовым кольцом.

     Вывод.

     Множество чисел являются числовым кольцом, если оно замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения.

2) Простейшие свойства  кольца.

     Теорема 3.5

     Пусть К = К,+, –, ∙, 1 - кольцо. Тогда для элементов а, b, с кольца:

     (1) еслиa+b= а, тоb = 0;

     (2) если a+b = 0, тоb= - а;

     (3) -(-a) = a;

     (4)  0∙a = a∙0 = 0;

     (5)  (- a) b = а(- b)= - (ab);

     (6) (- а)(- b) = a∙b;

     (7) (а - b) с = ас - bс и c(a - b) =ca-cb.

     Доказательство.

      (1) Если а+b=а, тоb=0+b=(-a+a)+b=-a+(a+b)=-a+a=0.

     (2) Если а+b=0, тоb=0+b=(-а+а)+b=-а+(а+b)= -а+0 = -а.

     (3) В аддитивной группе кольца (-а)+(-(-а))=-а+а.

Отсюда, по закону сокращения, => равенство -(- а)=а.

     (4) В силу дистрибутивности умножения относительно сложных 0∙a+0∙а=(0+0)∙a= 0∙а, т.e. 0∙а+0∙а=0∙а. В силу (1) из последнего равенства => 0∙а=0.

     (5) В cилу (4) и дистрибутивности умножения относительно сложных ab+(-a)b=(a+(-a))b=0∙b=0, т.е. аb+(- а)b=0. Отсюда в силу (2) => (-a)b=-(ab).

Аналогично  доказывается, что a(-b)=-(ab).

     (6) В силу (5) и (3) (- а)∙(-b) = - ((-а)-b) = -(-(аb)) = а∙b.

     (7) В силу (5) и дистрибутивности умножения  относительно сложных (а-b)∙с=(а+(-b))∙c=а∙с+(-b)∙с=а∙с+(-b∙с)=а∙с-b∙c. Аналогично доказывается, что c∙(a - b) = c∙a-c∙b.

     (8) Разрешимость уравнения x+a=b (y+a=b).

     3) Определение 3.12

     Кольцо К называется кольцом без делителей нуля, если:

     Определение 3.13

       Кольцо К (+,*) называется кольцом с делителями нуля, если

     Примеры.

     1) Z(+,*), Q(+,*), K(+,*), C(+,*)- кольцо без делителей нуля.

     2) - кольцо с делителями нуля.

    3) Все поля кольца без делителя  нуля.

     4) Z_m= -кольцо классов вычетов по модулю m, если m- простое, тоZ_m- кольцо без делителей нуля; если m- составное, то Z_m – кольцо с делителем нуля.

    Рассмотрим Z(+), все её подгруппы легко описать, для наглядности можно представить числовую прямую

       _{-2                -1               0                 1                 2}

 

     Если  z Z₁ , n- натуральное число, n

     _{Тогда      Z=gh+z}

     _{Q Z и z Z, но:}

     

     _{Это есть широко известная  теорема о делении  с остатком.} 

§4. Представления Абелевых групп до 11-го порядка.

 

    Тождественный элемент e образует группу первого порядка. Обозначим ее как C₁. Несмотря на немногочисленность ее элементов, она, тем не менее, удовлетворяет всем четырем условиям определения группы; в качестве элементов g, g^–1, g₁, g₂, g₃ будет выступать один элемент e. Положительная (+1) и отрицательная (– 1) единицы образуют группу второго порядка C₂. С группой третьего порядка C₃ мы ранее еще не сталкивались. Следующие подстановки и 0,1-матрицы составят такую группу:

,

,

    Базисные  единицы комплексного числа {i₀, i₁, i₂, i₃} ранее нами уже рассматривались. Они образуют группу четвертого порядка C₄. Однако это не единственная группа из четырех элементов.

    В самом деле, в роли образующего элемента a группы C₄, в силу условия цикличности , может выступать либо i₁, либо i₃ — в обоих случаях таблицей умножения является табл. 3.1, что также отвечает ранее приведенной таблице. Но можно в качестве образующих взять две несвязанные транспозиции a и b. В этом случае мы также получим группу четвертого порядка , но которая уже перемножается в соответствии с табл. 3.2 или, если перейти на язык только индексов, табл. 3.3.

Табл. 3.1         Табл. 3.2        Табл. 3.3

    Последняя таблица нам также нужна для  получения регулярных подстановок:

e = (0),   a = (01)(23),   b = (02)(13),   ab = (03)(12),

которые будут изоморфны исходным подстановкам группы :

e = (0),     a = (01),     b = (23),     ab = (01)(23).

    Ситуация  окажется несколько иной, если в  качестве образующих одной группы C₂C₃ взять несвязанные 2-цикл и 3-цикл, а в качестве образующих другой C₆ — единственный 6-цикл .

    Группы  шестого порядка, в отличие от групп четвертого порядка, имеют только одну коммутативную структуру, в чем мы могли убедиться ранее, рассматривая шестиугольник (рис. 2.2) и треугольник (рис. 2.1) симметрии относительно биссектрис.

    Перейдя к рассмотрению групп шестого  порядка, мы пропустили группу пятого порядка. Однако нетрудно догадаться, что группы, порядок которых равен простому числу (2, 3, 5, 7, ...) всегда будут иметь и простое циклическое строение. Но чем больше делителей у порядка группы, пусть даже и одинаковых, тем разнообразнее варианты ее строения. Далее нам предстоит рассмотреть пять различных групп восьмого порядка. Анализ начнем с коммутативных групп.

    Поскольку восемь можно представить тремя  способами — 1 · 8, 2 · 4, 2 · 2 · 2, существуют три различных коммутативных группы: первая C₈ строится с помощью одного-единственного 8-цикла, вторая C₂C₄ — на двух несвязанных 2- и 4-циклах, наконец, третья — на трех несвязанных 2-циклах.

    Из  некоммутативных групп 8-ого порядка имеется две: одна обладает симметрией диэдра , другая — кватерниона . Диэдральная группа получается с помощью 4-цикла и транспозиции, индексы которой совпадают с индексами 4-цикла (табл. 3.4).

    Таблица 3.4 
 

    Кватернион образуется на двух 4,4-циклах, несмежные индексы которых взаимосвязаны так, что при возведении в квадрат получается одна и та же подстановка — 2,2,2-цикл (табл. 3.5).  
Таблица 3.5 

    Для группы диэдра были приведены только три наиболее характерных соотношения. Однако общее число возможных соотношений определяется числом перестановок всех степеней образующих a и b. Для группы кватерниона полный перечень соотношений выглядит следующим образом:

    Если  в качестве образующих a и b взять два несвязанных друг с другом 3-цикла, то получится коммутативная группа , которая не может быть сведена к циклической C₉. Последнее означает, что существуют две различных коммутативных группы девятого порядка: