Группы малых порядков, их свойства. Абелевы группы

Определение 2.4

     Группа, элементами которой являются числа, называют числовой группой.

     Примеры различных групп, а также естественные ситуации, в которых появляются группы мы приведем чуть ниже. Очевидными примерами являются множество целых чисел по сложению, множество ненулевых рациональных чисел по умножению и т. д. Отметим несколько простых следствий из аксиом группы: единичный элемент и обратный элемент определяются единственным образом. Действительно, предположим, что существует два единичных элемента e₁, e₂, тогда применение аксиомы (аксиома 2) дает нам следующую цепочку равенств e₁ = e₁e₂ = e₂. Аналогично, если для некоторого элемента a существует два обратных b₁, b₂, то, используя аксиомы (аксиома 1)–(аксиома 3), мы получаем следующую цепочку равенств b₁ = b₁e = b₁(ab₂) = (b₁a)b₂ = eb₂ = b₂.

Примеры:

     Z(+) – абелева группа целых чисел.

     Q(+) – абелева группа рациональных  чисел. 

     R(+) – абелева группа действительных чисел.

       – множество четных чисел, Z₂ (+) – абелева группа.

     Q₊– множество положительных рациональных чисел, Q₊(∙) – абелева группа положительных  рациональных чисел.

     Q*–  множество отличных от нуля  рациональных чисел, Q* (∙) – абелева группа отличных от нуля рациональных чисел.

     R₊(∙) , R*(∙) – абелевые группы.

     M = {1,-1},M(∙)– абелева группа.

     B = {0},B(+)– абелева группа.

     R,× - не группа, т.к. для 0 нет симметричного по операции умножения элемента.

     R\{0}, Q\{0}, C{0} – коммутативные группы.

     G={A= |a_ij R, |A|≠0} – некоммутативная группа.

     Если M — произвольное подмножество группы G, то мы можем рассмотреть операцию умножения на множестве M, которая является отображением · : M × M → G. Операцию · на множестве M мы будем называть индуцированной операцией. Подмножество H группы G называется подгруппой, если оно само является группой относительно индуцированной операции. Легко проверить, что подмножество является подгруппой, если оно замкнуто относительно произведения (т. е. для любых двух h₁, h₂   H элемент h₁ · h₂ вновь лежит в H) и замкнуто относительно взятия обратного (т. е. для любого h   H элемент   h^–1 вновь лежит в H).

Определение 2.5

         Если G, H — группы, то отображение φ : G → H, сохраняющее операцию (т. е. для всех g₁, g₂   G выполнено (g₁ · g₂)φ = g₁φ · g₂φ), называется гомоморфизмом.

Определение 2.6

       Множество Ker(φ) = {g   G | gφ = e} называется  ядром гомоморфизма, а множество Gφ = {gφ | g   G} называется образом гомоморфизма. 

Определение 2.7

     Если  Ker(φ) = {e}, а  Gφ = H, т. е. если φ является биекцией, то отображение φ называется изоморфизмом, а группы G и H изоморфными (обозначается G  H).

     Теорема о гомоморфизмах утверждает, что H = Ker(φ) — нормальная подгруппа группы G и Gφ   G / H. Изоморфизм можно мыслить для себя, как такую «похожесть» двух групп, что мы их не различаем (хотя реально они могут быть разными множествами). Таким образом, теория, строго говоря, изучает классы изоморфизма групп. Заметим, что и в обыденной жизни мы тоже нередко устанавливаем изоморфизмы более или менее высокого уровня абстракции. Так, например, есть класс изоморфизма мебели, называемый понятием «шкаф» и мы по некоторым признакам безошибочно определяем, относится ли данный объект к «шкафам» или нет. Когда нам не хватает столь высокого уровня абстракции, мы спускаемся к более низкому уровню и начинаем делить шкафы на «кухонные», «книжные», «платяные» и т. д. Понятие изоморфизма для групп — это как раз тот инструмент, с помощью которого мы на нашем уровне абстракции различаем или отождествляем объекты.

    Примерами групп, известных нам с начальной  школы, являются целые, рациональные, действительные, комплексные числа по сложению, ненулевые рациональные, действительные, комплексные числа по умножению. Все эти группы являются абелевыми. Другой важный пример групп дает нам следующая конструкция. Пусть X — произвольное множество и Sym_X — множество всевозможных биекцией множества X на себя. Зададим умножение на Sym_X как композицию. Тогда Sym_X относительно операции композиции является группой и называется симметрической группой на множестве X или группой подстановок (иногда используется также термин группа перестановок, но нам он кажется неудачным, об этом чуть ниже). Если множество X конечно и |X| = n, то можно считать, что X = {1, ..., n} и Sym_X обозначается за Sym_n. Если Ψ — некоторое свойство отображений, которое сохраняется при композиции, то подмножество отображений, удовлетворяющих свойству Ψ, группы Sym_X образует подгруппу группы Sym_X. Покажем, что композиция отображений удовлетворяет аксиоме ассоциативности (ГР1) (проверка остальных аксиом существенно проще, они вытекают из определения биекции). Для того, чтобы доказать, что композиция отображений ассоциативна, необходимо сначала понять, когда же отображения равны.

    Несмотря  на очевидность определения, оно  нередко вызывает сложности.                                                           Отображения φ : A → B и ψ : A → B (где A, B — произвольные множества) равны, если для любого x   A его образы xφ и xψ равны. Пусть теперь φ, ψ, χ   Sym_X и x   X. Тогда x((φψ)χ) = (x(φψ))χ = ((xφ)ψ)χ, с другой стороны, x(φ(ψχ)) = (xφ)(ψχ) = ((xφ)ψ)χ, что доказывает ассоциативность композиции.

    Этот  пример не только позволяет строить  большое количество различных групп (чуть ниже мы убедимся, что все группы), но и показывает широкую область применения теории групп. Везде, где есть хоть какая-то симметрия (т. е. биекция), немедленно возникают и группы. Задачи о построении с помощью циркуля и линейки, о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, дифференциальных уравнений в первообразных и т. д. естественным образом сводятся к задачам в теории групп. Различные комбинаторные задачи сводятся к подсчету объектов, удовлетворяющих некоторым свойствам и вновь к теории групп.

     Если G — группа, X — множество и задан гомоморфизм φ : G → Sym_X, то говорят, что группа G действует на множестве X. Если Ker(φ) = {e}, то действие называется точным. Для «облегчения» обозначений мы будем отождествлять g с его образом gφ и для произвольного x  X его образ относительно gφ будем записывать xg. Введем отношение эквивалентности ~ на X по правилу: элементы x, y   X являются эквивалентными, если существует такой g   G, что xg = y. Классы эквивалентности называются орбитами группы G. Говорят, что группа G действует транзитивно (а представление является транзитивным), если существует лишь одна орбита. Гомоморфизм φ : G → Sym_X называется подстановочным представлением группы G (именно из-за термина «подстановочное представление» термин «группа перестановок» считается неудачным, так как термин «перестановочное представление» имеет другое значение). Если Ker(φ) = {e}, то представление называется точным.

     Рассмотрим  теперь произвольную группу G и ее подгруппу H. Группа G действует на множестве смежных классов по подгруппе H умножением справа: (Hg₁)g₂ = H(g₁g₂). Таким образом, существует транзитивное представление φ : G → Sym_G/H. Если H не содержит отличных от единичной нормальных подгрупп группы G, то это представление является точным. В частности, если H = {e} то представление G → Sym_G/{e} = Sym_G всегда является точным и называется регулярным представлением группы G. Таким образом, любую группу можно рассматривать как группу подстановок. Оказывается, любое транзитивное представление группы G можно получить таким образом.

Вывод.

       Множество чисел является группой  по сложению, если оно замкнуто  относительно операций сложения  и вычитания, и группой по  умножению – если оно замкнуто  относительно операций умножения  и деления (кроме деления на ноль).

Свойства  групп:

     1) в произведении из n элементов группы скобки можно расставлять произвольно.

     2)

     3)

     4)

     5)уравнение  ax=b (ya=b) имеет в группе G (*) единственное решение.

     6) "a,b,cÎG выполняются законы сокращения a·b=a·cÞb=с (b·a=c·aÞb=c)

Определение 2.8

       Непустое множество G(*) называется группой, если: 1) (ассоциативность);

     2) уравнение ax=b (ya=b) разрешимы в G однозначны. 

Теорема2.1

  Определения 2.1 и 2.8 эквивалентны.

Определение 2.9

      :

      1) а¹=а;  

     2) аⁿ=а*а*…*а(n раз), ;

     3) а⁰ ;

     4) а^-n=а^-1*а^-1*…*а^-1(nраз), ).

Свойства 2.1

     1)a^т× а ^п = а ^т+n = а ^п+т= а  ⁿ×  а ^т,

     2) (aⁿ)^m=a^n*m

Замечание 2.1

(aⁿ)^-1=a^-n.

Определение 2.10

     Все группы являются подгруппами групп  перестановок, с точностью до изоморфизма.

     G = ρ(G)

Вывод:

    В связи с этим, группы возникают как группы симметрии.

Например, рассмотрим правильный треугольник.

     

       

     (рис. 2.1)

Данный  пример – группа третьего порядка.

     Теперь  построим группу из 6-и элементов. На рисунке 2.2 мы видим вписанный шестигранник. Данная группа состоит из 6-и элементов.

     

       
 

     (рис. 2.2)

     В свою очередь, существует группа также  из 6-и элементов, но полученная путём  вращения и симметрического отображения, относительно биссектрис, правильного треугольника (изображённого на рис. 2.1).

     Попробуем доказать, что данные группы различны. Для этого построим таблицы. Рассмотрим группу из 6-и элементов (правильный шестиугольник – рис. 2.2)