Группы малых порядков, их свойства. Абелевы группы

      (табл. 2.1)

Из таблицы  2.1 видно, что данная группа коммутативна.

     Рассмотрим  теперь группу G(▲) (рис. 2.1), состоящую из следующих элементов: Ɛ, δ, δ² τ₁, τ₂ τ₃

Построим  таблицу:

     (табл. 2.2)

Из данной таблицы 2.2 видно, что данная группа не коммутативна, т.е. две группы,  состоящие из одинакового количества элементов, не совпадают.

     Пусть G — произвольная группа, H — ее подгруппа и g — произвольный элемент группы G. Множество Hg = {hg | h   H} называется смежным классом (правым смежным классом) элемента g. Введем отношение g₁ ≡ g₂ (mod H) на множестве элементов группы G по правилу:g₁ ≡ g₂ (mod H) в том и только в том случае, если Hg₁ = Hg₂. Использование обозначения, сходного с отношением делимости для целых чисел (см. выше) неслучайно, поскольку отношение делимости является частным случаем равенства смежных классов. Действительно, в качестве группы G берется множество   целых чисел по сложению, а в качестве подгруппы H берется подмножество k  чисел, которые делятся на k. Очевидно, что определенное нами отношение является эквивалентностью, множество классов эквивалентности обозначается через G / H, мощность |G / H| множества классов эквивалентности обозначается еще как |G : H| и называется индексом подгруппы H в группе G. Очевидно, что для любого g   G справедливо |Hg| = |H|, откуда мы сразу получаем важную теорему Лагранжа: |G| = |G : H| · |H|, в частности порядок подгруппы всегда делит порядок группы.

     На  множестве G / H можно естественным образом определить операцию умножения:Hg₁ · Hg₂ : = Hg₁ · g₂. Для того чтобы определение было корректным, т. е. чтобы выполнялось равенство множеств Hg₁ · Hg₂ = {h₁g₁ · h₂g₂ | h₁, h₂   H} и Hg₁ · g₂ = {hg₁ · g₂ | h   H}, необходимо и достаточно, чтобы для любого g   G выполнялось равенство g^–1Hg = {g^–1hg = h | h   H} = H (это условие мы будем коротко записывать H^G   H). Выражение g^–1Hg называется сопряжением с помощью элемента g и часто обозначается H^g. Выражение gHg^–1 = H^g–1 мы будем записывать ^gH. Подгруппа H, удовлетворяющая условию H^G   H, называется нормальной подгруппой группы G (обозначается H   G), а получившаяся группа G / H называется факторгруппой группы G по подгруппе H. Понятия нормальной подгруппы и факторгруппы являются одними из важнейших в теории групп, поскольку позволяют частично сводить изучение групп к меньшим группам (частично, так как по данным H и G / H группа G определяется неоднозначно). Группа, не содержащая нормальных подгрупп, называется простой.

     Очевидно, что пересечение любого количества подгрупп вновь является подгруппой. Это позволяет нам определить подгруппу, порожденную множеством M, как наименьшую подгруппу, содержащую подмножество M, т. е. пересечение всех подгрупп группы G, содержащих множество M. Подгруппа, порожденная множеством M, будет обозначаться  M . Легко проверить, что  M  является множеством всевозможных произведений элементов из M и обратных к ним. Группа, порожденная одним элементом a называется циклической, а ее порядок | a | : = |a| называется порядком элемента a. Легко проверить, что порядок элемента — это такое наименьшее число n, для которого   равно e. Из теоремы Лагранжа следует, что порядок элемента всегда делит порядок группы.

Определение 2.11

     Группа  называется циклической, если она порождается одним элементом. Такая группа имеет вид a^m

     a^m* aⁿ= a^m+n

причём  может получиться a^k=e.

Следствие 1.

     В    группе G, отличной от единицы, существует подгруппы тоже не единичные.

     _g G

     g _e

Следствие 2.

     Если  группа G имеет простое число элементов, то она циклическая и все эти группы изоморфны. Это согласно теоремы Лагранжа. Т.е. примерами таких групп являются группы, состоящие из 2,3,5,7,11 и т.д. элементов. 
 
 
 
 
 

     Глава III.

     §1. Подгруппы. Примеры. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.

Теорема о гомоморфизмах для групп.

     Мы  уже знаем определение гомоморфизма и изоморфизма, исходя из предыдущей главы.

Определение 3.1

     Непустое  подмножество Н группы G(*)называется  подгруппой группы G,если Н является группой относительно операции(*).

Теорема 3.1.

     Ø подмножество Н гр. G является подгруппой группы G ó выполняется =>условие: 1) h₁,h₂ H, h₁·h₂ H;

     2) h Hh^-1 H.

Теорема 3.2.

     Ø подмножество Н гр. G является подгруппой гр. Góдля элементов выполняется условие 3) h₁,h₂ H, h₁· H.

     Доказательство  на основе Т. 3.1.:

Дано:

     Ø=H G(·), G – группа, Н подгруппа группы G.

Доказать:

     1) h₁,h₂ H, h₁·h₂ H. 2) h H, h^-1 H.

     Решение:

     Из  того что Н подгруппа группы G(·) =>H(·)-группа => 1) h₁,h₂ H, h₁·h₂ H. 2) h H, h^-1 H | h·h^-1 H.

     Обратное  утверждение:

Дано:

      Ø≠H G(·), G – группа, Н подгруппа группы G, 1) h₁,h₂ H, h₁·h₂ H. 2) h H, h^-1 H.

Доказать:    H(·)-подгруппа.

     Решение:

Чтобы показать на основе определения, что  Н является подгруппой:

     1) =>H(·)-группоид;

     2) h₁,h₂,h₃ H => (H G) h₁,h₂,h₃ G => (h₁·h₂)·h₃=h₁(h₂·h₃) =>H(·) – полугруппа;

     3) По п. 2 из условия получаем: h H, h^-1 H =>h·h^-1 H =>e H (e-единственный элемент). e H | h H, h·e=e·h=h;

     4) По условию 2, h H h^-1 H =>hh^-1 G =>hh^-1 e. Т.о. h H h^-1 H | hh^-1=e. Т.о. Н-группа

                                                                         Ø≠H G(·)  =>H(·) – подгруппа группы G.

Ко 2ой теоремы: h₂ H ≤H    

       h₁ H        =>h₁· H.

     Одним из важнейших примеров подгрупп является  понятие циклической подгруппы  группы G.

     Пусть а произвольный элемент гр. G. Обозначим через (а) множество всех H<G (Н подгруппа группы G).

Теорема 3.3

(а)<G.

     Доказательство.

     1) a^m, aⁿ (a)   a^m·aⁿ=a^m+n (a) замкнуто относительно операции сложения.

m, n z =>m+n z. (a) – группоид;

     2) Показать обратный элемент.  a^m (a)

      m z=>-m z     =>a^-m (a)

      a^m·aⁿ=a^m+(-m)=a⁰=e.   На основе Т. 3.1. (a)<G.

Определение 3.2

     Множество (а) всех целых степенней элементов  группы G называют циклической подгруппой группы G.

Примеры:

     1. Множество Q^*(·) – коммутативные группы  Q^*=Q\{0}. 2 Q(2)={2ⁿ|n z} = {… , 1, 2, 4, …}

(2)<Q^*. Этот пример ∞ подгруппы.

     2. С^*(·) – коммутативные группы. Выберем элемент: i C^*, тогда (i)={iⁿ|n z}={i, 1, 1, i} либо {1, i, -1, -i}

     i¹=i          n=4k         i^4k=(i⁴)^k=1

     i²=-1        n=4k+1     i^4k+1=i^4k·i=i

     i³=-1        n=4k+2     i^4k+2=i^4k·i²=-1

     i⁴=1         n=4k+3     i^4k+3=i^4k·i³=-i         (i)-{i, -1, 1, i}, 1=i⁰

     i⁵=i n z(i)<С^* (пример конечной подгруппы). 
 
 
 
 

     §2. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.

Определение 3.3

     Отображение φ гр. G(·) в G( ) называют гомоморфным, если для элементов a,b Gφ(a·b)=φ(a) φ(b).

      a,b G, φ(a·b)=φ(a) φ(b)

      т.е. образ произведения равен произведению образов.

Определение 3.4

     Отображение φ гр. G в G΄называют гомоморфным отображением, если выполняется условие (1) и выполняется условие (2) для элемента G΄или группу G΄ a G | φ(a)=a΄(2). φ называют изоморфным, если выполняется условие 1, 2 ( a G΄ a G | φ(a)=a΄) и условие (3) a,b G, φ(a)=φ(b)=>a=b(3). [a≠b=>φ(a)≠φ(b)]