Геометрические построения на местности

               Министерство общего и профессионального 

                     образования  Свердловской области

                                МОУО г. Екатеринбурга

             Образовательное учреждение –  гимназия № 47 
 
 

                   Образовательная область - математика

                                   Предмет - геометрия

         
 
 
 
 

       ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ   ПОСТРОЕНИЯ

                      НА   МЕСТНОСТИ

 
 
 

Исполнитель: ученица 8 класса

                        Корепанова Наталья Владимировна 

Научный руководитель: Дегтярева Надежда Васильевна,

                                          МОУ-гимназия № 47,  учитель 

Внешний рецензент: Аверьянова Лидия Николаевна,

                                    УГТУ-УПИ, доцент 
 
 
 
 
 
 
 
 

г. Екатеринбург, 2000г. 
 
 

                                                                           

                                                              

СОДЕРЖАНИЕ 

                                                                                                           Стр. 

Введение                                                                         3 

Построения  на местности                                              4 

Решение задач                                                                6 

Заключение                                                                   15 

Список  литературы                                                      16 

     ВВЕДЕНИЕ

 
 
 

     В школе мы довольно подробно изучаем  геометрические построения с помощью  циркуля и линейки и решаем много задач. А как решить такие же задачи на местности? Ведь невозможно вообразить себе такой огромный циркуль, который мог бы очертить окружность школьного стадиона или линейку для разметки дорожек парка.

     На  практике картографам для составления  карт, геодезистам для того, чтобы размечать участки на местности, например, для закладки фундамента дома, приходится использовать специальные методы.

     Цель  настоящего реферата – изучение некоторых  методов решения геометрических задач на местности. Кроме того, мечтая в будущем работать в области конструирования, я поставила себе дополнительную задачу – освоить приемы конструирования на компьютере. Для этого я изучаю многие программы – текстовый редактор Word, графический редактор PhotoShop, редактор Web-страниц FrontPage и др. 

     Реферат занял третье место на научно-практической конференции школьников Кировского района г. Екатеринбурга, проходившей 12 февраля 2000 г. в Уральском государственном  техническом университете (секция «Математика», 7 – 8 классы). 

     Файл  данного реферата в формате Office 2000 помещен на моей персональной страничке в Internet  по адресу: http://korepan.web.ur.ru/nata.

     Связаться со мной можно по электронной почте korepan@mail.ur.ru. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

         

     ПОСТРОЕНИЯ  НА МЕСТНОСТИ

 
 
 

     Знание  геометрии и умение применять  эти знания на практике полезно в  любой профессии. Традиционно построения на местности производят геодезисты для съемки плана земельного участка и   строители для закладки фундаментов. Однако, такие знания бывают довольно часто нужны и в других областях деятельности. Всемирно известный писатель Артур Конан Дойль был врачом. Но он очень хорошо, видимо, знал геометрию. В рассказе «Обряд дома Месгрейвов» он описал, как Шерлоку Холмсу нужно было определить, где будут конец тени от вяза, который срубили. Он знал высоту этого дерева ранее. Шерлок Холмс так объяснил свои действия: «… я связал вместе два удилища, что дало мне шесть футов, и мы с моим клиентом отправились к тому месту, где когда-то рос вяз. Я воткнул свой шест в землю, отметил направление тени и измерил ее. В ней было девять футов.

     Дальнейшие  мои вычисления были уж совсем несложны. Если палка высотой в шесть  футов отбрасывает тень в девять футов, то дерево высотой в шестьдесят четыре фута отбросит тень в девяносто шесть футов, и направление той и другой, разумеется, будет совпадать».

     Можно подумать, что работа на местности  ничем существенно не отличается от работы циркулем и линейкой на обыкновенной бумаге. Но это не так. На местности расстояния между точками довольно велики и нет таких линеек и циркулей, которые могли бы помочь нам. Да и вообще чертить на земле какие-либо линии затруднительно. Таким образом, построения на местности, основываясь на геометрических законах, имеют свою специфику:

       Во – первых,  все прямые  не проводятся  на земле,  а  прокладываются, т. е. отмечается на них, например, колышками, достаточно густая сеть точек. Обычно прокладку прямых на местности называют провешиванием прямых.

       Во – вторых,   запрещается  при  построениях   проводить  какие–либо

     дуги. Поэтому, циркуля у нас фактически нет.  Все,  что остается от циркуля,

     это возможность  откладывать  на  данных  (проложенных)  прямых  конкретные  расстояния,  которые  должны  быть  заданы  не  численно,  а  с  помощью  двух  точек,  уже  обозначенных  колышками,  где-то  на  местности.  Сами  расстояния  будут  измеряться  шагами,  ступнями,  пальцами  рук,  или  любыми  подходящими  для  этой  цели  предметами.

               При геодезических работах используются специальные колышки длиной 15-20 см и диаметром 2-3 см, в торец которых забиваются гвоздики для более точного обозначения концов отмеряемого отрезка, и вехи – деревянные заостренные шесты длиной 1,5-2 м  и диаметром 2-4 см.        

     Как правило, участки местности представляют собой не идеально ровную поверхность, как тетрадный лист, на земле есть возвышения и углубления. Чтобы они не искажали геометрические образы прокладываемых линий, на местности строят не наклонные отрезки, а их ортогональные проекции на горизонтальную плоскость – горизонтальные проложения. Их можно определить, зная угол наклон –  угол, образованный линией местности и ее проекцией на горизонтальную плоскость. Эти углы измеряются специальными приборами эклиметрами.

     Поскольку в настоящем реферате  ставится  не задача изучения основ геодезии, а применения знаний по  геометрии  к решению практических задач, мы не будем пользоваться никакими приборами -  ни  рулеткой, ни астролябией, ни экером, ни теодолитом . Работать так,  конечно,   трудно,   но   всё  же   попробуем   решить   предложенные  ниже  задачи только с помощью колышек или вех и неотградуированного измерительного устройства, например, веревки, хотя принципиально можно обойтись и без нее.          
 
 
 
 
 

                                                             

      

                                                   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

     Задача 1. Проложить  прямую

 

     На  местности  колышками  обозначены  две  удалённые  друг  от  друга  точки.  Как  проложить через них прямую  и,  в частности,  как можно без помощника устанавливать колышки на  прямой  между данными точками? 

     Решение! 

     Пользуясь  зрительным  эффектом,  состоящим  в  загораживание  двух  колышков  третьим,  стоящим  на  общей  с  ними  прямой,  нетрудно  установить  ещё  один  колышек  в  некоторой  точке  С  на  продолжении отрезка  с  концами  в  двух  данных  точках  А  и В.  после  этого  точки  отрезка  АВ  можно построить с помощью того  же  эффекта,  поскольку они будут лежать  на  продолжении либо  отрезка  АС,  либо  ВС (в зависимости от  того,  какая из  точек -  А  или В -  находятся ближе к точке С).  Вообще,  любая точка прямой  АВ  будет лежать  на  продолжении хотя  бы  одного  из  отрезков  АВ, АС  или ВС. 
 
 
 

       
 

     Задача 2. Точка  пересечения  прямых

 

     На  местности  колышками  обозначены  две  точки  одной  прямой  и  две  точки  другой  прямой.  Как  найти  точку  пересечения  этих  прямых? 

     Решение! 

     Пользуясь  зрительным  эффектом,  указанным  в  решении  задачи  1,  легко  найти  точку  пересечения  прямых  в  том  случае,  если  сразу  ясно,  что  она  лежит  на  продолжениях  обоих  отрезков  с  концами  в  данных  точках.  В  противном  случае  достаточно  сначала  проложить  одну  или  обе  прямые  так,  чтобы  на  каждой  из  них  с  одной  стороны  от  предполагаемой  точки  пересечения  были  отмечены  по  две  точки. 
 
 

     

     Задача 3. Симметрия  относительно  точки 

 

     На  местности  обозначены  точки  А и В.  Найдите точку С,  симметричную  точке  А  относительно  точки В. 

     Решение! 

     Продолжим  прямую  АВ за  точку В и отложим на  ней точку С на  расстоянии  АВ  от  точки В.  Для этого понадобится   измерить  в  подходящих  единицах  длины  расстояние  между  точками  А  и  В. 
 
 
 
 
 

     

Задача 4. Параллельная  прямая

 

     На  местности  обозначены  три  данные  точки:  А,  В  и  С,  не  лежащие на  одной прямой. Через точку А  проложите  прямую,  параллельную  прямой  ВС. 

     Решение! 

     Продолжим  прямую  АВ  за  точку В  и отложим на  ней точку D  на  расстоянии  АВ  от  точки В.  Продолжим прямую  СD  за  точку С  и отложим  на  ней  точку  Е  на  расстоянии  СD  от  точки С.  Тогда  отрезок  АЕ  будет параллелен  отрезку ВС,  являющемуся средней линией  треугольника  АDЕ.  Заметим,  что предложенный  способ  выгодно отличается  от  множества других  способов,  опирающихся на  измерение углов или на  деление отрезка  пополам. 
 
 
 

       
 
 
 
 
 
 

Задача 5. Нахождение середины отрезка.  

     Найдите  середину  отрезка  АВ,  заданного на  местности двумя точками  А  и В. 

     Решение! 

     Возьмём  какую-либо  точку  С,  не  лежащую на  прямой  АВ.  Продолжим  прямую CВ  за  точку С  и отложим на  ней точку D на  расстоянии  2ВС  от  точки С.  Продолжим прямую  АD  за  точку А и отложим на  ней точку Е  на  расстоянии  АD  от  точки А.  Искомая середина  F  отрезка АВ  лежит на  его пересечении  с  прямой  ЕС.  Действительно,  отрезок СЕ    параллелен  отрезку AG  -  средней линии  треугольника  CDE  (здесь G  -  середина  отрезка CD).  Так как,  кроме того,  BC = CG,  то  CF  -  средняя линия треугольника  ABG,  откуда  AF = FB.