Геометрические построения

Муниципальное общеобразовательное  учреждение

Средняя общеобразовательная  школа № 17 г. Пензы

 

 

 

РЕФЕРАТ

На  тему:

«ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ»

 

 

 

 

Выполнил: ученик 8 Б класса

  Хохлов Игорь Вадимович

Руководитель: Дорофеева 

Людмила Геннадьевна

 

 

г. Пенза, 2011г.

СОДЕРЖАНИЕ

 

                                                                                 Стр.

 

Введение                                                                           3

История циркуля                                                            3

Окружность  вокруг нас                                                  6

                Построение касательной к окружности                            9

                Решение задач                                                                     12

                Заключение                                                                          14

               Список литературы                                                             16

 

 

 

                                         

 

 

 

 

                                                 ВВЕДЕНИЕ

Цель реферата: на примере ряда задач показать, что при решении задач на построение можно обходиться только одним инструментом, познакомиться с историей создания циркуля.

Задачи реферата: изучить научно – историческую  литературу по теме; подбор соответствующих теме реферата задач и их доказательство; показать красоту и занимательность задач на  построение. Ознакомиться с конструированием на компьютере и изучить редакторы, применяющиеся для этого, создать презентацию. 

В школе мы выполняем геометрические построения с помощью окружностей, изучаем касательные к окружности, но не строим их. Я хотел бы узнать, всегда ли можно построить касательную к окружности и как это сделать.   Геометрические построения - это способ решения задачи, при котором ответ получают графическим путем.    Построения выполняют чертежными инструментами при максимальной точности и аккуратности работы, так как от этого зависит правильность решения. А когда появились первые циркули? И кто придумал этот замечательный инструмент?   Раздел геометрии, в котором изучаются геометрические построения, называется конструктивной геометрией.   Основным понятием конструктивной геометрии является понятие построить геометрическую фигуру. Это понятие принимается без определения, конкретный его смысл известен из практики, где оно означает: начертить, провести (линию), отметить (точку). В интересах логической строгости изложения основное понятие конструктивной геометрии - построить фигуру - характеризуется через основные требования (общие аксиомы конструктивной геометрии).

 

ИСТОРИЯ ЦИРКУЛЯ

 

Циркуль знаком каждому человеку со школы - на уроках черчения нельзя обойтись без этого  инструмента для рисования окружностей и дуг. Кроме того, его используют для измерения расстояний, например, на картах, его применяют в геометрии и для навигации. Обычно циркуль делается из металла и состоит из двух «ножек», на конце одной из них находится игла, на второй пишущий предмет, обычно графитный грифель. В случае если циркуль измерительный, на обоих его концах расположены иглы.              Само слово циркуль происходит от латинского circulus - «круг, окружность, кружок», от латинского же circus - «круг, обруч, кольцо». В русский язык циркуль или циркул пришел от польского cyrkuɫ или немецкого Zirkel.

Сейчас уже  нельзя сказать, кто именно изобрел  этот инструмент - история не сохранила  для нас его имя, но легенды  Древней Греции приписывают авторство  Талосу, племяннику знаменитого Дедала, первого «воздухоплавателя» древности.

                              

     История циркуля насчитывает уже несколько тысяч лет - судя по сохранившимся начерченным кругам, инструмент был знаком еще вавилонянам и ассирийцам (II - I века до нашей эры). На территории Франции, в галльском кургане был найден железный циркуль (I век нашей эры), во время раскопок в Помпеях было найдено много древнеримских бронзовых циркулей. Причем в Помпеях найдены инструменты уже совсем современные: циркули с загнутыми концами для измерения внутренних диаметров предметов, «кронциркули» для измерения максимального диаметра, пропорциональные - для кратного увеличения и уменьшения размеров. При раскопках в Новгороде был найден стальной циркуль-резец для нанесения орнамента из мелких правильных кружочков, очень распространенного в Древней Руси. Со временем конструкция циркуля практически не изменилась, но ему придумали массу насадок, так что теперь он может вычерчивать окружности от 2 миллиметров до 60 сантиметров, кроме того, обычный графитный грифель можно заменить насадкой с рейсфедером для черчения тушью. Есть несколько основных типов циркулей: разметочный или делительный. Его применяют для снятия и перенесения линейных размеров; чертежный или круговой, его применяют для вычерчивания окружностей диаметром до 300 миллиметров; чертежный кронциркуль для вычерчивания окружностей от 2 до 80 миллиметров в диаметре; чертежный штангенциркуль для вычерчивания окружностей диаметром больше 300 миллиметров; пропорциональный - для изменения масштабов снимаемого размера. Циркуль используется не только в черчении, навигации или картографии - применение ему нашлось и в медицине: например, большой и малый толстотные циркули применяются для измерения поперечных размеров тела человека и для измерения размеров черепа соответственно, а циркуль - калипер используется для измерения толщины подкожно-жировой складки. Также известен циркуль Вебера, немецкого психофизиолога и анатома, разработанный им для определения порога кожной чувствительности. Но циркуль - не только всем известный инструмент. Этим словом названо маленькое созвездие южного полушария к западу от «Наугольника» и «Южного треугольника», рядом с α - Центавра. К сожалению, на территории России это созвездие не наблюдается. Кроме того, циркуль является символом неуклонной и беспристрастной справедливости, совершенной фигурой круга с центральной точкой, источником жизни. Наряду с квадратом циркуль определяет пределы и границы прямой линии. В ритуальной архитектуре циркуль символизирует трансцендентное знание, архетип, контролирующий все работы, навигатора. У китайцев циркуль означает правильное поведение. Циркуль - атрибут Фо-хи, легендарного китайского императора, считавшегося бессмертным. Сестра Фо-хи имеет квадрат, и вместе они - мужской и женский принципы, гармония инь и янь. У греков циркуль наряду с глобусом являлся символом Урании, покровительницы астрономии. Циркуль, совмещенный с наугольником - одна из самых распространенных эмблем, символов и знаков масонов. На этой эмблеме циркуль символизирует Небесный Свод, а наугольник - землю. Небо в данном случае символически связано с местом, где чертит план Великий Строитель Вселенной. Буква «G» в центре в одном из значений - сокращение слова «геометр», используемого в качестве одного из названий верховного существа.

 

ОКРУЖНОСТЬ ВОКРУГ НАС

 

Окружность - это  линия, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости, называемой центром окружности.

Окружность –  удивительно гармоничная фигура, древние греки считали её самой совершенной. Совершенство окружности – в расположении всех её точек на одинаковом расстоянии от центра. Именно поэтому окружность – единственная кривая, которая может “скользить сама по себе ”, вращаясь вокруг центра.

Окружность как  совершенная геометрическая форма  всегда привлекала к себе внимание художников, архитекторов. В неповторимом архитектурном облике Санкт-Петербурга восторг и удивление вызывает “чугунное кружево” – садовые  ограды, перила мостов и набережных, балконные решётки, фонари. Чётко просматриваемое на фоне фасадов зданий летом, в изморози зимой, оно придаёт особое очарование городу. На рисунке 1 изображены ворота Таврического дворца, созданного в конце 18 века архитектором Ф.И.Волковым. Особую воздушность придают воротам окружности, сплетённые в орнамент.

                        Рис.1. Ворота Таврического дворца. С.-Петербург

Торжественность и устремлённость ввысь – такой  эффект в архитектуре зданий достигается  использованием арок, представляющих дуги окружностей (рис. 2).

рис.2. К. Росси. Арка Главного штаба. С.-Петербург

Окружности и дуги являются основными элементами готических храмов средневековья (рис.3.)

Рис.3. Витраж собора св. Витта. Прага.

Основное свойство окружности даёт ответ на вопросы, почему для её вычерчивания используют циркуль и почему колёса делают круглыми, а не квадратными или, например, треугольными. Кстати, о колесе. Это одно из самых великих изобретений человечества. Оказывается, додуматься до колеса было не так просто, как это может показаться. Ведь даже ацтеки, жившие в Мексике, почти до 16 веке не знали колеса.

Окружность обладает ещё одним  интересным свойством. Возьмём верёвочку  и свяжем её в кольцо, положив  полученное кольцо на плоскость, сделаем  из него разные фигуры: квадрат, треугольник, окружность и т.д.

Площадь, ограниченная окружностью (т. е. площадь круга), - наибольшая среди  поученных таким образом площадей.

 

 

 

 

 

ПОСТРОЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ  К ОКРУЖНОСТИ.

 

К числу конструктивных задач в курсе школьной планиметрии  относится построение циркулем и линейкой касательной к окружности.

Возможны три случая:  
а) точка А лежит на окружности; 
б) точка С лежит вне круга; 
в) точка В лежит в круге.

 

Случай а) Задача имеет  единственное решение.

Построение касательной  к окружности w (O,R) в точке A принадлежащей окружности.

Касательная к точке, лежащей  на окружности (рис. 1, а). Касательная  к окружности должна быть перпендикулярна  радиусу, проведенному через точку  касания. Поэтому проводят радиус ОА и в точке А строят перпендикуляр к ОА. Прямая ВС — искомая касательная. На рисунке показано построение касательной к окружности с помощью чертежной линейки и угольника.

Касательная к  окружности может быть построена  и другим способом (рис.1,6). Через  центр окружности О и заданную точку А проводят прямую и на ее продолжении откладывают отрезок АВ, равный радиусу. Через точку. А строят прямую DC, перпендикулярную прямой ОВ, она и будет касательной к окружности в точке А.

Случай б)  
 Более содержательной и поучительной задачей является построение к окружности w (А,R) касательной, проходящей через точку С, не принадлежащую ей. 
 Задача имеет два решения.

     Способ1

1. Строим серединный перпендикуляр к отрезку АС.
2. Находим середину отрезка АС (точка D).
3. Строим окружность с центром в точке D и радиусом AD.
4. Находим точки пересечения окружностей E и F.
5. Строим прямые CF и EF. Это искомые касательные.

 

 

 

 

Способ 2

Касательную из точки А к окружности можно  провести следующим образом:

1. На отрезке ОА как на диаметре  строят окружность радиуса R=0,5[OA];

2. Точки 1 и 2 пересечения полученной  окружности с заданной определяют  положение точек касания;

3. Отрезки [1A] и [2A] определяют  положение касательных t1 и t2 проведенных  из точки А к окружности.

 

Случай в). Задача не имеет  решений.

 

Задача 1. ПОСТРОЕНИЕ ОТРЕЗКА, ЧЕТВЁРТОГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО К ТРЁМ ДАННЫМ ОТРЕЗКАМ.

Дано: а, б, с – отрезки.

Построить: отрезок х такой, чтобы а:б=с:х.

Построение: Берём произвольную точку О и проводим окружности (О; а) и (О; б). Из произвольной точи А на окружности (О; а) описываем (А; с) и отмечаем точку В пересечения её с окружностью (О; а). Если теперь две окружности (А; d) и (В; d) произвольного радиуса d>| а –б |, пересекающие (О; б) в точках А1 и В1, то отрезок х=| А1 В1| - искомый.

Доказательство: треугольник АОА1 подобен треугольнику ВОВ1 (по трём сторонам), поэтому АОА1= ВОВ1 и АОВ=А1 ОВ1. Равнобедренные треугольники АОВ и А1 ОВ1 подобны следовательно,

а : б = с : |А1В1|.

Приведённое построение возможно, при с<2а. При c>=2а и б<2а строим отрезок, четвёртый пропорциональный к отрезкам а, с и б; в противном случае (с>=2а и б>=2а) сначала строим отрезок na, при этом n берём таким, чтобы c<2па* (или б < 2па). Строим отрезок у, четвёртый пропорциональный к отрезкам па, б и с. Если теперь построить отрезок х = п у, то получим четвёртый пропорциональный отрезкам а, б и с.

 

Задача 2. РАЗДЕЛЕНИЕ ДУГИ АВ ОКРУЖНОСТИ (О,r) ПОПОЛАМ.

Можно предположить, что центр О окружности известен.

Построение: Пологая а =|АВ|, проводим окружности (O ,a), (А,r) и (В,r); в пересечении получим точки С и D. В пересечении окружностей (С,|СВ|) и (D,|AD|) получим точку Е. Если теперь начертить окружности (С, |ОЕ|), то в пересечении их получим точки Х и Х1. Точка Х делит пополам дугу АВ , точка Х1 делит пополам дугу , дополняющую первую до полной окружности. (В том случае, когда окружность(О,r) начерчена, из двух окружностей (С, |ОЕ|) и(D,|ОЕ|) можно описывать только одну, которая а пересечении с окружностью (О,r) определит точки Х и Х1 ). В геометрии циркуля прямую линию принято считать построенной, как только определены две её точки.

                                             ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Благодаря этой работе я познакомился с историей возникновения циркуля, посмотрел  на окружающие меня предметы с позиции  геометрии, стал лучше ориентироваться в черчении, ознакомился с правилами выполнения творческой работы, получил новые знания и применил их на практике.

Решение задач на построение циркулем и линейкой – полезное времяпровождение, позволяющее по-новому посмотреть на известные свойства геометрических фигур и их элементов.

Мне бы хотелось как можно больше использовать свои новые полученные знания на практике.

В настоящем реферате рассмотрены  наиболее актуальные задачи, связанные  с геометрическими построениями.. Рассмотрены различные задачи и даны их решения. Приведенные задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии и могут использоваться для практических работ. Ценно то, что для их решения не требуется знаний больших, чем в объеме 8 классов.

Кроме того, при работе над рефератом  мною освоен текстовый редактор Word, графический редактор PhotoShop, редактор Web- страниц FrontPage.

Таким образом, цель реферата достигнута, задачи реферата выполнены.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ