Задача 6. Деление отрезка  в  данном  отношении 

     Отрезок,  заданный  на  местности  двумя  точками  А и В,  требуется  разделить  в  отношении,  в  котором  находятся  длины  двух  отрезков  KL и MN,  заданных  на  местности точками K, L и M, N.  Как это сделать? 
 
 
 
 

       
 

     Решение! 

       Построение  точки  F,  делящей отрезок АВ  в отношении AF:BF =KL: MN,  произведём аналогично  построению  середины  отрезка  АВ,  описанному  в  решении  задачи  5.  Отличие  будет  состоять  в  том,  что  точку  С  выберем на  расстоянии  KL  от  точки В,  а точку D  -  на  расстоянии  2MN  от  точки С.  В этом  случае  прямая  EC              по-прежнему  будет  параллельна  отрезку  AG,  а значит,  разделит  отрезок АВ  в том же  отношении,  в  котором  она  делит  отрезок  BG.

Задача 7. Построение биссектрисы  угла

 

     На  местности  обозначены  три  точки  A, M  и N,  не  лежащие на  одной  прямой. Проложите  биссектрису  угла  MAN. 

     Решение! 

     Выберем  на  стороне  данного  угла  точки  В  и С,  а на  другой -  точки D  и Е  так,  чтобы выполнялись равенства

     AB = BC = AD = DE.

     Найдём  точку  О  пересечения прямых  ВЕ  и CD.  Тогда прямая  АО  будет искомой биссектрисой,  поскольку в равнобедренном  треугольнике  ACE биссектриса AF  является  одновременно  и медианой,  а значит,  проходит  через  точку  О  пересечения медиан  EB  и CD. 
 
 
 
 
 

       
 
 
 

Задача 8. Построение перпендикуляра  к  прямой 

     Проложите  на  местности  какую-нибудь  прямую,  перпендикулярную  прямой,  проходящей  через  заданные  точки  А  и В.  Как проложить перпендикуляр  к  прямой  АВ,  проходящей  через данную  точку H? 

     Решение! 

     Продолжим  прямую  АВ  за  точку В  и отложим на  ней точку С  на  расстоянии  АВ  от  точки В.  Кроме того,  отложим на  том же  расстоянии  от  точки В  ещё две точки D  и E  в двух  разных,  но  не  противоположных  направлениях.  Найдём  точку  F  пересечения прямых  AE и CD,  а также точку G  пересечения прямых  AD  и CE.  Прямая  FG  перпендикулярна  прямой  АВ.  Действительно,  точка А, Е,D  и С  равноудалены  от  точки В,  т.е.  лежат на  одной окружности  с  центром  В  и диаметром АС.  Следовательно,  вписанные углы  ADC  и AEC  прямые,  поэтому AD  и CE – высоты  треугольника  AFC.  Так как все три высоты  этого треугольника  пересекаются  в одной точке G,  то  прямая  FG  перпендикулярна стороне АС. Для того  чтобы проложить перпендикуляр к прямой  АВ  через данную  точку  H,  достаточно  теперь  проложить через эту точку прямую,  параллельную  прямой  FG.   

               
 
 
 
 
 
 

       

Задача 9. Построения под  заданным  углом 

 

     На  местности  обозначены  точки  А  и В.  Найдите точки C,  D  и E,  для которых выполнены равенства BAC=45°, BAD=6O,°  BAE=3O°. 

     Решение! 

     Проложим  перпендикуляр  к прямой  АВ,  пересекающий  в какой–то  точке  луч  АВ.  Без ограничения общности  считаем для удобства,  что эта точка пересечения и есть  точка В.  На  перпендикуляре  по  разные  стороны  от  точки  В  отложить  точки С  и F,  удалённые  от  точки В  на  расстояние  АВ.  Тогда угол  ВАС  равен 45°  (из  равнобедренного   прямоугольного  треугольника  АВС). На  прямой  AF  отложим точку G  на  расстоянии  АВ  от  точки А,  а затем  на  прямой  ВС отложим точку D  на  расстоянии CG  от  точки В.  Тогда угол  ВАD  равен 6О°,  так как по  теореме  Пифагора  для  прямоугольного  треугольников  АВС,  ACG  и ABD  имеют  место  равенства 

                                   

       

     Для  построения  точки  Е теперь  остаётся  проложить биссектрису  угла  BAD. 
 

       
 
 
 

Задача 10. Измерение высоты  дерева.

     Высоту  деревьев  можно  определить  при  помощи  шеста.  Этот  способ  состоит  в  следующем.

       Запасшись  шестом  выше  своего  роста,  воткните  его  в   землю  отвесно  на  некотором  расстоянии  от  измеряемого  дерева.  Отойдите  от  шеста  назад,  по  продолжению  Dd  до  того  места А,  с которого,  глядя  на  вершину  дерева,  вы  увидите  на  одной  линии  с  ней  верхнюю  точку  b шеста.  Затем,  не  меняя положения головы,  смотрите  по  направлению горизонтальной  прямой  aC,  замечая точки с  и  С,  в которых луч зрения  встречает шест  и ствол.  Попросите помощника сделать  в  этих  местах  пометки,  и  наблюдение  окончено.  Остаётся  только  на  основании  подобия  треугольников  adc  и aBC  вычислить ВС  из  пропорции  

     ВС : bc = aC  : ас,

     Откуда

 

     

 

       Расстояния  bc,  aC  легко  измерить  непосредственно.  К  полученной  величине  ВС  нужно  прибавить  расстояние  CD  (которое также измеряется  непосредственно),  чтобы  узнать  искомую  высоту  дерева.    
 
 
 
 
 
 

       
 

     ЗАКЛЮЧЕНИЕ

           

     .

     В настоящем реферате рассмотрены  наиболее актуальные задачи, связанные с геометрическими построениями на местности – провешиванием прямых, делением отрезков и углов, измерением высоты предмета. Приведено большое количество задач и даны их решения. Приведенные задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии и могут использоваться для практических работ. Ценно то, что для их решения не требуется знаний больших, чем в объеме 8 классов.

     Кроме того, при работе над рефератом освоен текстовый редактор Word,  графический редактор  PhotoShop, редактор  Web- страниц FrontPage.

Таким образом, цель реферата – изучение методов  геометрических построений на местности – достигнута, задачи реферата – ознакомиться с конструированием на компьютере и изучить редакторы, применяющиеся для этого – выполнены.      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                  СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
 
 

     1. Сергеев И.Н., Олехник С.Н., Гашков  С.Б. «Примени математику»,

     М., Наука, 1989. 

     2. Балк М.Б., Балк Г.Д. «Математика после уроков», М., Просвещение, 1971. 

     3. Четверухин Н.Ф. «Методы геометрических  построений», М., Учпедгиз,  1952.  

       

         4.  Косякин А.С., Никулин А.С., Смирнов  А.С. «Землеустроительные 

     работы»,  М., Недра, 1988.