Формирование понятий равенства, неравенства, уравнения в традиционной и вариативной системах обучения

С помощью заданий  в разделе “Проверь себя!” вы сможете составить сначала проверочную  работу, а затем и контрольную (контрольная работа по данной теме подводится не сразу по завершении ее изучения, а после рассмотрения следующей!) [Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., 1999]

1.2.6. Что такое уравнение?

 

 

Система РО.

Описание методики работы над построением и решением уравнений  начнем с рассмотрения различных определений уравнения.

В школьной энциклопедии уравнение  определено как “два выражения, соединенные  знаком равенства; в эти выражения  входят одна или несколько переменных, называемых неизвестным. Решить уравнение  – значит найти все те значения неизвестных (корни или решения уравнения), при которых оно обращается в верное равенство или установить, что таких значений нет”. Там же дано определение уравнения как  “аналитической записи задачи о разыскивании значений аргументов, при которых значения двух функций равны”.

Понятно, что под аналитической  записью и понимается запись равенства,  левая или правая  части которого  содержат неизвестную (неизвестные) букву (или число). Именно буквенное выражение  определяет функцию от входящих в  него букв, заданную на допустимых числовых значениях.

Введение записи задачи (о  нахождении неизвестной величины) с  помощью уравнения начинается с  конкретной задачи [Абрамова О.Г., 1999]. Способы составления и решения уравнений опираются на отношение целого и его частей, а не на 6 правил нахождения неизвестных при сложении, вычитании,  умножении, делении.

Для того, чтобы  найти способ решения уравнения, достаточно определить сначала по схеме, а позже и сразу по формуле, чем является неизвестная величина: частью или целым. Если известная величина является целым, то для ее нахождения нужно сложить, а если она часть, то из целого нужно вычесть известные части. Таким образом, ребенку не нужно запоминать правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого.

Успешность  ребенка, его навык при решении  уравнений будут зависеть от того, может ли ребенок переходить от описания отношения между величинами с  помощью схемы к описанию с  помощью формулы и наоборот. Именно этот переход от уравнения как одного из вида формул к схеме и определения с помощью схемы характера (часть или целое) неизвестной величины являются теми основными умениями, которые дают возможность решать любые уравнения, содержащие действия сложения и вычитания. Другими словами, дети должны понять, что для правильного выбора способа решения уравнения, а значит, и задачи нужно уметь видеть отношение целого и частей в чем и поможет схема. Схема здесь выступает в качестве средства решения уравнения, а уравнение, в свою очередь, как средство решения задачи. Поэтому большинство заданий ориентировано на составление уравнений по заданной схеме и на решение текстовых задач путем составления схемы и с ее помощью составления уравнения, позволяющего найти решение задачи [Филякина Л. Е., 1999].

Традиционная  школа.

Изучение уравнений  в начальных классах традиционной школы происходит в несколько  этапов. Программой традиционной школы  предусмотрено знакомство детей  с уравнениями первой степени  с одной неизвестной. Большое значение в плане подготовки к введению уравнений имеют упражнения на подбор пропущенного числа в равенствах, деформированных примерах, вида 4+€=5, 4–€=2, €–7=3, и т.п. в процессе выполнения таких упражнений дети привыкают к мысли, что неизвестным может быть не только сумма или разность, но и одно из слагаемых (уменьшаемое или вычитаемое). До 2 класса неизвестное число обозначается, как правило, так: €, ?, *. Теперь же для обозначения неизвестного числа используют буквы латинского алфавита. Равенство вида 4 + х = 5 называют уравнением. Равенство, где есть буква, называют уравнением [Моро М.И., 1971].

На первом этапе  уравнения решают на основе состава  числа. Учитель знакомит с понятием неизвестного, понятием уравнение, показывает разные формы чтения, учит записывать уравнения по диктовку, разбирает понятия “решить уравнение”, “что называется корнем”, “что есть решение уравнения”, учит проверять решенные уравнения.

На втором этапе  решение уравнений происходит с  использованием зависимости между компонентами. В этом случае при нахождении неизвестного числа можно пользоваться приемом замены данного уравнения равнозначным ему уравнением. Опорой перехода может быть граф. Приведу примеры уравнений и замены их равнозначными уравнениями с опорой на графы.

 

х × 4 = 16    

х = 16 : 4                  

х = 4

4 × 4 = 16

х : 5 = 7

х = 7 × 5

х = 35

35 : 5 = 7

После того как  учащиеся научатся решать простейшие уравнения, включаются более сложные  уравнения видов: 48 – х = 16 + 9,    а – (60 – 14) = 27, 51 – (х + 15) = 20, решение которых выполняется также на основе взаимосвязи между результатами и компонентами арифметических действий, ведется подготовка к решению задач способом составления уравнений. Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений. Уравнения указанных видов вводятся постепенно. Сначала простейшие уравнения усложняются тем, что их правая часть задается не числом, а выражением. Далее включаются уравнения, в которых известный компонент задан выражением. Полезно учить читать эти уравнения с названием компонентов. Наконец, приступают к решению таких уравнений, где один из компонентов является выражением, включающим неизвестное число, например: 60 – (х + 7) = 25, (12 – х) + 10 = 18.

При решении  уравнений такого вида приходится использовать дважды правила нахождения неизвестных  компонентов. Рассмотрим.

Обучение решению  таких уравнений требует длительных упражнений в анализе выражений  и хорошего знания правил нахождения неизвестных компонентов. На первых порах полезны упражнения в пояснении решенных уравнений. Кроме того, следует чаще решать такие уравнения с предварительным выяснением, что неизвестно и какие правила надо вспомнить, чтобы решить данное уравнение. Такая работа предупреждает ошибки и способствует овладению умением решать уравнения [Пышкало, А.М., 1974].

Особое внимание следует уделять проверке решения  уравнения. Учащиеся должны четко знать, усвоить последовательность и смысл  действий, выполняемых при проверке: найденное число подставляют вместо буквы в выражение, затем вычисляют значение этого выражения и, наконец, сравнивают его с заданным значением или с вычисленным значением выражения, стоящего в другой части уравнения. Если получаются равные числа, значит, уравнение решено верно.

Дети могут  выполнять проверку устно или  письменно, но при этом всегда должны быть четко выделены основные ее звенья: подставляем…, вычисляем…, сравниваем…

Выводы  по главе 1

Проанализировав учебно-методическую литературу по математике и методике обучения математике, можно дать определения понятиям равенство, неравенство, уравнение и выделить основные отличия методик формирования исследуемых понятий в традиционной и вариативной системах обучения.

Равенства. Два выражения называются тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны. Пусть f  и g – два числовых выражения. Соединим их знаком равенства. Получим предложение f=g, которое называют числовым равенством.

Неравенства. Пусть f  и g – два числовых выражения. Соединим их знаком «>» (или «<»). Получим предложение f>g (или f<g), которое называют числовым неравенством.

Изучение числовых выражений, равенств и неравенств, а  так же уравнений начинается еще с первого класса, в период изучения нумерации в пределах 10.

В традиционной системе обучения дети учатся сначала сравнивать числа, затем выражения с целью установления отношений «больше», «меньше», «равно», учатся записывать результаты с помощью знаков «<», «>», «=» и читать полученные равенства и неравенства.  
Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется с помощью установления взаимно однозначного соответствия. Попутно выполняется счет элементов множеств и сравнение полученных чисел.

В дальнейшем при  сравнении чисел учащиеся опираются на знание их места в натуральном ряду: девять меньше, чем десять, потому что при счете число девять называют перед числом десять. Установленные отношения записываются с помощью знаков «<», «>», «=», учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств, но сами термины вводятся только во втором классе. Исторически сложившаяся классическая система школьного образования при всем разнообразии ее форм подчинена задаче усвоения учащимися определенной суммы знаний, умений и навыков. Формирование понятий равенства, неравенства, уравнения начинается с первых дней обучения детей в школе. Сначала учащиеся учатся сравнивать предметы, числа, затем выражения. Сравнить выражения – значит сравнить их значения.

Уравнения. Пусть f(x) и g(x) – два выражения с переменной х и областью определения Х.тогда высказывательная форма вида f(x)=g(x) называется уравнением с одной переменной.

Изучение уравнений  в начальных классах традиционной школы происходит в несколько этапов. Программой предусмотрено знакомство детей с уравнениями первой степени с одной неизвестной. Равенство, где есть буква, называют уравнением.

На первом этапе  уравнения решают на основе состава  числа. Учитель знакомит с понятием неизвестного, понятием уравнение, показывает разные формы чтения, учит записывать уравнения под диктовку, разбирает понятия “решить уравнение”, “что называется корнем”, “что есть решение уравнения”, учит проверять решенные уравнения.

На втором этапе решение уравнений происходит с использованием зависимости между компонентами. В этом случае при нахождении неизвестного числа можно пользоваться приемом замены данного уравнения равнозначным ему уравнением.

После того как учащиеся научатся решать простейшие уравнения, включаются более сложные уравнения, решение которых выполняется также на основе взаимосвязи между результатами и компонентами арифметических действий, ведется подготовка к решению задач способом составления уравнений. Наконец, приступают к решению таких уравнений, где один из компонентов является выражением, включающим неизвестное число.

В системе развивающего обучения уже в первом классе дается определение равенства. «Если в  записи есть знак «=», она называется равенством».

Этапы формирования отношений «больше» - «меньше» выделяются такие же, как и в традиционной школе. Сравнивание предметов, чисел, выражений.

Методика обучения решению уравнения несколько отличается от традиционной системы. Способы составления и решения уравнений опираются на отношение целого и его частей, а не на 6 правил нахождения неизвестных при сложении, вычитании, умножении, делении. Для того, чтобы найти способ решения уравнения, достаточно определить сначала по схеме, а позже и сразу по формуле, чем является неизвестная величина: частью или целым. Если известная величина является целым, то для ее нахождения нужно сложить, а если она часть, то из целого нужно вычесть известные части. Таким образом, ребенку не нужно запоминать правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого. Подготовка к введению уравнений начинается с первого класса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 2. Опытно – экспериментальная работа по выявлению уровня усвоения младшими школьниками понятий равенства, неравенства, уравнения в традиционной и развивающей системах обучения

1. Диагностика уровня усвоения детьми равенств, неравенств, уравнений

 

 

Исследование  проводилось на базе МОУ СОШ №4 в классах 2а – экспериментальный  класс -  и 2б – контрольный. Эксперимент  состоялся в третьей четверти, когда понятия равенства, неравенства, уравнения детям были знакомы в полной мере.

Данным двум классам была дана самостоятельная  работа (приложение 1) с целью выявления уровня усвоения ими темы «Равенства, неравенства, уравнения».

В экспериментальном 2а классе обучаются 24 человека. В день проведения самостоятельной работы присутствовали все.

                                                                                        Таблица 2.1.

Результаты  работ учащихся экспериментального класса до эксперимента

№, имя ученика	оценка
Витя К.	5
Миша А.	4
Катя Ч.	3
Марина Б.	4
Рома М.	5
Оля С.	3
София Х.	4
Данил Е.	4
Леша П.	3
Максим К.	5
Олеся Р.	3
Диана А.	4
Петя Г.	3
Олег Н.	4
Никита П.	5
Рита Ж.	4
Инна К.	4
Саша Н.	3
Лена Р.	3
Вика З.	4
Наташа Н.	5
Руслан В.	5
Денис У.	3
Настя В.	4