Формирование понятий равенства, неравенства, уравнения в традиционной и вариативной системах обучения

Содержание:

Введение………………………………………………………………..…………3

ГЛАВА 1. Теоретические основы понятий равенство, неравенство, уравнение…………………………………………………………………….…6

1. Сущность понятий равенство, неравенство, уравнение……………………………………………………………….………..6
2. Сравнительный анализ методики ознакомления с равенствами, неравенствами, уравнениями в традиционной школе и системе развивающего обучения……………………………………………………….12
1. Непосредственное сравнивание предметов……………………………….13
2. Моделирование отношений равенства и неравенства……………………16
3. Подбор величин по формулам равенства и неравенства…………………22
4. Переход от неравенства к равенству и наоборот………………………….27
5. Как из части составить целое………………………….…………..…….….33
6. Что такое уравнение?........................................................................................37

Выводы по главе 1

ГЛАВА 2. Опытно – экспериментальная работа по выявлению уровня усвоения младшими школьниками понятий равенства, неравенства, уравнения в традиционной и развивающей системах обучения……………………..……………………………………………..…44

1. Диагностика уровня усвоения детьми равенств, неравенств, уравнений……………………………………………………………………..44
2. Система развивающих упражнений по теме «Равенства, неравенства, уравнения»……………………………………………………………..……..53

Выводы по главе 2

Заключение ……………………………………………………………………61

Литература……………………………………………………..……………..….…63

Приложения ………………………………………………………………….…….65

ВВЕДЕНИЕ

 

 

В соответствии с новой программой обучения в  начальный курс математики включены элементы алгебры. Учащиеся 1 – 4 классов  должны получить первоначальные сведения о математических выражениях, числовых равенствах и неравенствах, ознакомиться с буквенной символикой, с переменной, научиться решать несложные уравнения и неравенства.

Алгебраический  материал изучается, начиная с первого  класса в тесной связи с арифметическим. Введение элементов алгебры способствует обобщению понятий о числе, арифметических действиях, математических отношениях и вместе с тем готовят детей к изучению алгебры в следующих классах.

Обучаясь в 1 – 4 классах, дети должны научиться  читать и записывать выражения, высказывания, включающие знаки отношений «<», «>», «=»,  усвоить правила порядка выполнения действий в выражениях, содержащих два и более действия, практически познакомиться с преобразованием выражения на основе использования изученных свойств арифметических действий. Работа над выражением тесно связана с изучением самих действий и оказывает большое влияние на владение школьниками таких понятий, как равенства, неравенства, уравнения. И поэтому, недостаточно ясное представление о простейших алгебраических действиях и отношениях является причиной ошибок при выполнении первоклассниками ряда заданий. Только глубокое понимание структуры выражения и твердое знание правил использования тех или иных математических символов могут предупредить дальнейшее непонимание науки [Давыдов В.В., 1999]. Все это обуславливает необходимость разработки системы упражнений по формированию понятия выражения, равенства, неравенства и уравнения у учащихся начальной школы с учетом возникающих трудностей и объясняет актуальность выбранной мной темы.

Целью работы является исследование эффективности методик формирования понятий равенства, неравенства, уравнения в начальной школе в традиционной и развивающей системах обучения.

Реализация  поставленной цели требует решения совокупности задач:

- выяснить, используя  эмпирические методы анализа  литературы, суть формируемых понятий;

- проанализировать  методики формирования знаний  и умений младших школьников  по теме «равенства, неравенства,  уравнения» в традиционной и  развивающей системах обучения;

- организовать  опытно – экспериментальную работу  по диагностике уровня усвоения  детьми понятий равенства, неравенства,  уравнения;

- разработать  систему коррекционно-развивающих  упражнений по формированию знаний, умений и навыков учащихся по теме «Равенства, неравенства, уравнения».

Гипотеза: процесс изучения равенств, неравенств, уравнений достигает более высоких результатов при использовании методов развивающей системы обучения.

Исследование  проходило по трем этапам:

1. Констатирующий этап, цель которого – оценить уровень сформированности понятий равенства, неравенства, уравнения у учащихся.
2. Формирующий этап, его цель – применить на практике экспериментальную коррекционно-развивающую программу, разработанную на основе результатов констатирующего этапа.
3. Контрольный этап проводился с целью оценить динамику развития умений школьников по теме: «Равенства, неравенства, уравнения».

Объектом  исследования является процесс обучения математике в начальной школе.

Методика изучения равенств, неравенств, уравнений в начальной школе – предмет исследования.

В работе использовались методы:

- теоретические  (анализ учебно – методической литературы, моделирование);

- эмпирические (диагностирующие, формирующие эксперименты, изучение письменных работ учащихся)

- методы математической  статистики.

Теоретическая значимость работы заключается в систематизации методов формирования понятий равенства, неравенства, уравнения в начальной школе.

Данный материал может быть практически использован  в начальной школе, в чем и заключается практическая применимость исследования.

Исследование  проводилось на базе МОУ СОШ №4 г. Михайловки, 2а класс (классный руководитель Канус Р.Ф.) и 2б класс (классный руководитель Лихтенвайд Л.Г.)

Структура работы: работа состоит из введения, двух глав, выводов по каждой из них, заключения, списка литературы(30  источников), приложений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 1. Теоретические основы понятий равенство, неравенство, уравнение

1. Сущность понятий равенство, неравенство, уравнение

 

 

Равенства.

Два выражения называются тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны.

Пусть f  и g – два числовых выражения. Соединим их знаком равенства. Получим предложение f=g, которое называют числовым равенством [Стойлова Л.П., 1989]. Возьмем, например, числовые выражения 3+2 и 6–1 и соединим их знаком равенства 3+2=6–1. Оно истинное. Если же соединить знаком равенства 3+2 и 7–3, то получим ложное числовое равенство 3+2=7–3. Таким образом, с логической точки зрения числовое равенство – это высказывание, истинное или ложное.

Числовое равенство истинно, если значения числовых выражений, стоящих  в левой и правой частях равенства, совпадают.

Истинные числовые равенства обладают свойствами [Стойлова, Л.П., 1989]:

1. Если к обеим частям истинного равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.
2. Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.

Замена выражения  другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным  преобразованием данного выражения  на этом множестве.

В начальном  курсе математики выполняют, как  правило, только тождественные преобразования числовых выражений. Теоретической основой таких преобразований являются свойства сложения и умножения, различные правила: прибавления суммы к числу, числа к сумме, вычитания числа из суммы и др.

Неравенства.

Пусть f  и g – два числовых выражения. Соединим их знаком «>» (или «<»). Получим предложение f>g (или f<g), которое называют числовым неравенством[Стойлова Л.П., 1989].

Например, если соединить выражение 6+2 и 13–7 знаком «>», то получим истинное числовое неравенство 6+2>13–7. Если соединить те же выражения знаком «<», получим ложное числовое неравенство 6+2<13–7. Таким образом, с логической точки зрения числовое неравенство – это высказывание, истинное или ложное.

Истинные числовые неравенства обладают рядом свойств [Стойлова Л.П., 1989]:

1. Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство.
2. Если обе части истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и положительное значение, то получим также истинное числовое неравенство.
3. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и отрицательное значение, то получим также истинное числовое неравенство.

Следует обратить внимание, что на практике иногда последовательность математических символов, включающую знаки отношений: «<», «>», «=», называют выражением. Например, учитель дает задания: прочитайте выражение: (90+30):10>90:10; из данных выражений выпишите только верные: 7+3·5=22, (7+3)·5=22, 7+3·5=50 и т.д. Конечно, в этих  случаях речь должна идти о равенствах и неравенствах, которые являются конкретными видами высказываний. Подобные случаи свидетельствуют о поверхностных знаниях учителя, что безусловно, отразится на знаниях учащихся. Поэтому есть основания утверждать, что нечеткое понимание педагога, казалось бы, элементарного материала может привести детей к непониманию и противоречиям.

Неравенства с одной переменной.

Пусть f(x) и g(x) – два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда неравенство вида f(x)>g(x) или f(x)<g(x) называется неравенством с одной переменной. Множество Х называется областью его определения [Стойлова Л.П., 1989].

Значение переменной х из множества Х, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство – это значит найти множество его решений.

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие  равносильности.

Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

При доказательстве теорем о равносильности неравенств используются свойства истинных числовых неравенств.

Теорема 1. Пусть неравенство f(x)>g(x) задано на множестве Х и h(x) – выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f(x)>g(x) и f(x)+ h(x)> g(x)+ h(x) равносильны на множестве Х.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:

1. Если к обеим частям неравенства f(x)>g(x) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(x)+d > g(x)+d, равносильное исходному.
2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть  неравенство f(x)>g(x) задано на множестве Х и h(x) – выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества Х выражение h(x) принимает положительные значения. Тогда неравенства f(x)>g(x) и f(x)·h(x)>g(x)· h(x) равносильны на множестве Х.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(x)>g(x) умножить на одно и то же отрицательное число d,то получим неравенство f(x)·d > g(x)·d, равносильное данному.

Теорема 3. Пусть неравенство f(x)>g(x) задано на множестве Х и h(x) – выражение, определенное на том же множестве, м для всех х их множества Х выражение h(x) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(x)>g(x) и f(x)· h(x)> g(x)· h(x) равносильны на множестве Х.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(x)>g(x) умножить на одно и о же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(x)·d<g(x)·d, равносильное данному [Стойлова Л.П., 1989].

Уравнения.

Пусть f(x) и g(x) – два выражения с переменной х и областью определения Х.тогда высказывательная форма вида f(x)=g(x) называется уравнением с одной переменной[Стойлова Л.П., 1989].

Значение переменной х из множества Х, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения (или его решением). Решить уравнение – это значит найти множество его корней.