Формирование понятий равенства, неравенства, уравнения в традиционной и вариативной системах обучения

Чтобы решить какое-либо уравнение, его сначала преобразовывают, заменяя другим, более простым; полученное уравнение опять преобразовывают, заменяя более простым и т.д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Но чтобы эти корни были корнями заданного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называют равносильными.

Замена уравнения  равносильным ему уравнением называется равносильным преобразованием.

Теорема 1. Пусть  уравнение  f(x)=g(x) задано на множестве Х и h(x) – выражение, определенное на том же множестве. Тогда уравнения f(x)=g(x) (1) и f(x)+ h(x)=g(x)+ h(x) (2) равносильны.

Доказательство. Обозначим через Т₁ – множество решений уравнения (1), а через Т₂ – множество решений уравнения (2). Тогда уравнения (1) и (2) будут равносильны, если Т₁=Т₂. Чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из Т₁ является корнем уравнения (2) и, наоборот, любой корень из Т₂ является корнем уравнения (1).

Пусть число а – корень уравнения (1). Тогда а принадлежит Т₁, и при подстановке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое равенство f(a)=g(a), а выражение h(x) обращает в числовое выражение h(a), имеющее смысл на множестве Х. Прибавим к обеим частям истинного равенства f(a)=g(a) числовое выражение h(a). Получим, согласно свойствам истинных числовых равенств, истинное равенство  f(a)+h(a)=g(a)+h(a), которое свидетельствует о том, что число а является корнем уравнения (2).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).

Пусть теперь а – корень уравнения (2). Тогда а принадлежит Т₂ и при подстановке в уравнение (2) обращает его в истинное числовое равенство f(a)+h(a)=g(a)+h(a). Прибавим к обеим частям этого равенства числовое выражение - h(a). Получим истинное числовое равенство f(a)=g(a), которое свидетельствует о том, что число а – корень уравнения (1).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является корнем уравнения (1). Так как множества  корней данных уравнений совпадают, то по определению равных множеств Т₁=Т₂, а значит, уравнения (1) и (2) равносильны.

Данную теорему  можно сформулировать иначе: если к  обеим частям уравнения с областью определения Х прибавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множестве, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые используются при решении уравнений:

1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть  уравнение f(х)=g(х) задано на множестве Х и h(x) – выражение, определенное на том же множестве и не обращается в нуль ни при каких значениях х из множества Х. Тогда уравнения f(х)=g(х) и  f(x)· h(x)=g(x)· h(x) равносильны.

Доказательство  этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.

Теорему 2 можно  сформулировать иначе: если обе части  уравнения с областью определения Х умножить на одно и то же выражение, которое определено на том же множестве и не обращается на нем в нуль, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Из этой теоремы  вытекает следствие: если обе части  уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному[Стойлова Л.П., 1989].

 

2. Сравнительный анализ методики ознакомления с равенствами, неравенствами, уравнениями в традиционной школе и в системе РО

 

 

Изучение  алгебраического материала начинается с подготовительного класса и проходит в тесной связи с изучением арифметического и геометрического материала.

Учащиеся  начальных классов знакомятся с  такими важнейшими понятиями как  равенство, неравенство, уравнение.

Что же такое  равенство, неравенство, уравнение?

Пусть а и  в — числовые выражения. Числовые выражения или числа, между которыми стоит знак равенства, называются числовыми  равенствами [Бантова М.А., 1984].

Неравенство — отношение, связывающее два  числовые выражения или два числа  посредством одного из знаков ”>” (больше), ”<” (меньше), ”³” (больше или равно), ”£” (меньше или равно), ”¹” (не равно) [Бантова М.А., 1984].

Равенство с  переменной f(х) = g(х) называется уравнением с одной переменной [Бантова М.А., 1984].

Переходим к  краткому обзору методики ознакомления с числовыми равенствами, неравенствами, уравнениями в традиционной школе.

Понятия о  равенствах, неравенствах, уравнениях раскрываются во взаимосвязи.

Числовые равенства  и неравенства изучаются параллельно. Упражнения с равенствами и неравенствами используются для раскрытия и применения арифметических знаний, а также для выработки вычислительных навыков.

Ознакомление  с равенствами и неравенствами  в традиционной школе непосредственно  связывается с изучением нумерации  и арифметических действий и происходит в несколько этапов [Александрова Э.И., 1999].

1.2.1 Непосредственное  сравнивание предметов

 

 

На подготовительном этапе в дочисловой период, нужно  в процессе практических упражнений с использованием пар понятий  научить детей сравнивать предметы и устанавливать отношение “больше”, “меньше”, “одинаково”. Приведем примеры наиболее распространенных пар понятий: больше - меньше, выше - ниже, шире - уже, правее - левее, старше - моложе, тяжелее - легче, толще - тоньше, дальше - ближе, быстрее - медленнее.

С первых же уроков отрабатывается умение сравнивать численности  множеств. При этом начинать нужно  с упражнений на установление между  множествами взаимно однозначного соответствия.

Основой таких  упражнений могут служить различные  ситуации из обыденной жизни: каждому ученику в классе взаимно однозначно соответствует его ранец; каждой чашке в чайном приборе однозначно отвечает блюдце, на которое ставят чашку.

Предлагая учащимся упражнения на сравнение численности  множеств, целесообразно начинать с множеств, каждое из которых составлено из однородных предметов, например, одно множество состоит из треугольников, другое — из квадратов. Через некоторое время переходят к сравнению множеств разнородных предметов.

Полезно ознакомить учащихся с различными приемами попарного соотнесения предметов двух множеств. Первым приемом будет являться наложение предметов на наборном полотне друг на друга. Второй прием — изымание по одному предмету из каждого множества и откладывание полученных пар. Третий прием — сравнение двух множеств, элементы которых нельзя изымать, например, множеств предметов, изображенных на рисунке. Четвертый прием целесообразно применять для сравнения двух множеств, нарисованных предметов, если эти предметы не расположены линейно. Такое сравнение предметов “один к одному” дает возможность устанавливать не только, где больше, а где меньше, но и на сколько больше, на сколько меньше. Уже в подготовительный период включают упражнения на преобразование неравночисленных множеств в равночисленные и обратно.

Таким образом  происходит непосредственный способ сравнения  предметов в традиционной школе[Моро М.И., 1971].

Система РО. Необходимость  сравнения по какому-либо признаку возникает в ситуации восстановления какого-либо объекта, обладающего изучаемыми свойствами.

Именно задача восстановления (а затем и воспроизведения) вынуждает ребенка выделить свойства предметов и сконструировать  способы их сравнения по выделенному  признаку.

Сначала ребенок  выполняет практическое действие сравнения  различных реальных предметов, которые можно взять в руки. В школе дети должны работать не с рисунками, а с реальными предметами. Желательно, чтобы каждый ребенок имел возможность работать с предметным материалом. Если такой возможности нет, и учитель использует демонстрационные пособия, то с ним работает не учитель, а дети (по очереди выходя к доске), с их помощью показывая, как они мыслят [Воронцов А.Б., 1998].

Затем ребенок  сравнивает объекты, которые нельзя взять в руки.

Каким же образом  это происходит?

а) выделяются те признаки предмета, по которым его можно сравнивать с другими;

б) находят разные способы сравнения предметов, например, при сравнении по длине дети опираются  на зрительное восприятие, т.е. первоначально  сравнивают “на глаз”, а затем, когда  этот способ не срабатывает, находят другие способы (наложение, приложение).

Научившись  сравнивать предметы (полоски, стороны  геометрических фигур или тел  и др.) по длине, ширине и высоте, ребенок  попадает в ситуацию, когда этого  его умения станет недостаточно для  сравнения. Например, когда вместо привычных полосок — прямоугольников он сталкивается с кругом, у которого ребенок не может обнаружить ставшие привычными длину и ширину, тогда он стоит перед необходимостью сравнения по другому признаку — площади.

Такой общий  подход к появлению новых признаков сравнения предметов позволяет ребенку уже на первых этапах обучения использовать его при решении целого класса частных задач на сравнение, что в свою очередь, значительно расширяет набор признаков, по которым можно сравнивать предметы. Например не только по длине (ширине, высоте), площади, объему, массе, форме, цвету, материалу, количеству, но и по углам, расположению на плоскости и в пространстве, по составу частей и даже по “красоте”. Сравнение по “красоте” является ключом к формированию каллиграфического навыка.

Таким образом, действуя с реальными предметами, их признаками и результатами сравнения  по заданному признаку, дети выделяют существенные связи и отношения  между компонентами действия выполняя три основных типа заданий:

а) есть предметы, известен признак — необходимо установить результат сравнения;

б) есть предметы, известен результат сравнения —  нужно установить, какой признак  был выбран;

в) известны признак  и результат сравнения — подобрать  соответствующие предметы.

Вариативность этих заданий очевидна, что позволяет  в полном объеме контролировать свои действия и по мере необходимости  их перестраивать.

Сравнивая предметы по тому или иному признаку, дети устанавливают отношение равенства  или неравенства (на первых порах фиксируя результат сравнения с помощью слов: “они одинаковые”, “равные”, “их столько же” или “они неодинаковые, разные, неравные” и т.д.).

Необходимо  заметить, что чем больше слов-синонимов  для описания отношений равенства  и неравенства будет использовать учитель, тем легче будет детям “переводить” тексты арифметических задач на язык математики. Для введения сравнения групп предметов сначала необходимо ввести понятие комплекта, включающего составные части, а затем научиться сравнивать комплекты по составу частей. При сравнении комплектов по составу (набору) частей будет иметь значение не цвет, не размер частей, а только их набор. Это даст возможность сравнивать разные группы предметов по отношению к определенному комплекту, включающему тот или иной набор частей [Давыдов В.В., 1999].

1.2.2. Моделирование отношений равенства  и неравенства

 

 

• предметное: с помощью полоски
• графическое:

а) с помощью  копирующего рисунка;

б) с помощью  отрезков (схемы).

О введении графической  схемы хотелось бы рассказать поподробнее. [Воронцов А.Б., 1998]

Для подведения детей к использованию графической  модели необходимо задать конкретно-практическую задачу. Вы показываете детям две  разные по объему “фигуристые” банки  или бутылки и просите детей  с помощью рисунка показать, что  объем одной банки больше объема другой. Опыт показывает, что дети начинают рисовать форму банок, т.е. делают копирующий рисунок. Тогда вы подходите к детям и начинаете “придираться”: то форма не такая, то горлышко слишком узкое и т.д., т.е. должны осознать бессмысленность такого изображения (копирующего рисунка), тем более, что банки при сравнении по объему можно использовать разные по форме, но одинаковые по объему.

А потом начинается диалог:

Учитель: — Что  вы хотели сообщить рисунком?

Дети: — В  каком отношении находятся объемы банок.

Учитель: — А  как мы сообщаем о результатах  сравнения?

Дети: — С  помощью длин полосок.

Учитель: — Попробуйте нарисовать, в каком же отношении  находятся объемы банок.

Если дети нарисовали полоски, то можно продолжать разговор дальше. Если снова стали рисовать банки, нужно дать время для обсуждения в группах и прийти к выводу о неудачности такого способа.

Учитель: — Нужно  ли рисовать форму банок или легче  нарисовать полоски?

Дети: — Легче  нарисовать полоски.

Учитель: — Нарисуйте.

Окажется, что разные дети нарисовали полоски, разные по длине, ширине.

Учитель: “Какой же длины и ширины можно рисовать полоски?” Обсуждая этот вопрос, дети придут к выводу, что полоски должны быть одинаковыми или разными  по длине в зависимости от результата сравнения, а вот ширина полоски значения не имеет.

Учитель: — Если ширина может быть любой, то полоску  какой ширины мы будем рисовать?

Для осознания  того, что ширину полоски можно  совсем не рисовать, можно предложить детям такое задание: “По моей команде изобразите в тетради результат сравнения площадей фигур” (они должны быть равны). После выполнения задания темой обсуждения должна стать скорость выполнения: почему одни нарисовали быстрее, а другие медленнее. В результате вы приходите к выводу, что удобнее ширину вообще не рисовать, а изображать только длину полоски. Если величины (длина, площадь, объем) оказались одинаковыми, то изображают равные по длине отрезки, а если неодинаковыми, то и отрезки неодинаковые. Таким образом вводится изображение величин с помощью отрезков (Рис. 1.1).